組合和二項式定理

1、排列、組合和二項式定理1.兩個原理.（1）分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點都是把一個事件分成若干個分事件來進行計算。只不過利用分類計算原理時，每一種方法都可能獨立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計數(shù)原理，重在分“類”，類與類之間具有獨立性和并列性；利用分步計數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較復雜的問題，常先分類再分步,分類相加，分步相乘. （2）一個模型： 影射個數(shù) 若A有年n個元素，B有m個元素，則從A到B能建立個不同的影射n件不同物品放入m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同

2、放法？ （解：種）四人去爭奪三項冠軍，有多少種方法？從集合A=1，2，3到集合B=3，4的映射f中滿足條件f（3）=3的影射個數(shù)是多少？求一個正整數(shù)的約數(shù)的個數(shù)（3）含有可重元素的排列問題.對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個不同元素a1，a2,.an其中限重復數(shù)為n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 則S的排列個數(shù)等于. 如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù). 2.排列數(shù)中、組合數(shù)中.(1)排列數(shù)公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n?。ǎ┑膫€位數(shù)字為 （答：3）；（2）滿足的 （答：8）(2)組合數(shù)公式；規(guī)定，.如已知，

3、求 n，m的值（答：mn2）(3)排列數(shù)、組合數(shù)的性質(zhì)：；從n個不同元素中取出m個元素后就剩下n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m個元素的方法是一一對應的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出n-m個元素的唯一的一個組合.（或者從n+1個編號不同的小球中，n個白球一個紅球，任取m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有一類是不含紅球的選法有）根據(jù)組合定義與加法原理得；在確定n+1個不同元素中取m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，則需從剩下的n個元素中再取m-1個元素，所以有C，如果不取這一元素，則需從剩余n個元素中取出m個元素，所以共有C

4、種，依分類原理有. ；.(4)常用的證明組合等式方法. 裂項求和法. 如：（利用）n.n!=(n+1)!-n! 導數(shù)法. 數(shù)學歸納法. 倒序求和法. 一般地：已知等差數(shù)列an的首項a1，公差為d，a1Ca2Ca3Can1C=（2a1nd)2n-1 遞推法（即用遞推）如：. 構(gòu)造二項式. 如： 證明：這里構(gòu)造二項式其中的系數(shù)，左邊為，而右邊.更一般地：ACBD3.解排列組合問題的依據(jù)是：分類相加（每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結(jié)果，只需一種方法就能完成這件事），分步相乘（一步得出的結(jié)果都不是最后的結(jié)果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了

5、，才能完成這件事，各步是關(guān)聯(lián)的），有序排列，無序組合如（1）將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種（答：）；（2）從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有 種（答：70）；（3）從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_（答：23）；（4）72的正約數(shù)（包括1和72）共有 個（答：12）；（5）的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構(gòu)成_個三角形（答：90）； （6）用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種

6、顏色，則共有 種不同涂法（答：480）；（7）同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有 種（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，則不同的映射共有 個（答：7）；（9）滿足的集合A、B、C共有 組（答：）3.解排列組合問題的方法有：一般先選再排，即先組合再排列，先分再排。弄清要完成什么樣的事件是前提，解決這類問題通常有三種途徑 (1)以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素 (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置即采用“先特殊后一般”的解題原則.(3)先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)

7、或組合數(shù) 前兩種方式叫直接解法，后一種方式叫間接(剔除)解法 注：數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。如（1）某單位準備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的6種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種（答：300）；（2）某銀行儲蓄卡的密碼是一個4位數(shù)碼，某人采用千位、百位上的數(shù)字之積作為十位個位上的數(shù)字（如2816）的方法設(shè)計密碼，當積為一位數(shù)時，十位上數(shù)字選0. 千位、百位上都能取0. 這樣設(shè)計出來的密碼共有_種（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位

8、偶數(shù)_個（答：156）；（4）某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_（答：6）；（5）四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。恰有兩個空盒的放法有_種；甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_種（答：84；96）；（6）設(shè)有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有_種（答：31）(7)在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以確定三角形的個

9、數(shù)為_（答：15）。4.常見的題目類型（1）相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_（答：2880）；（2）某人射擊槍，命中槍，槍命中中恰好有槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_（答：20）；（3）把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是_（答：144）（2）不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采

10、用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。如（1）3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_種（答：24）；（2）某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為_（答：42）。（3）多排問題單排法。如若2n個學生排成一排的排法數(shù)為x，這2 n個學生排成前后兩排，每排各n個學生的排法數(shù)為y，則x,y的大小關(guān)系為_（答：相等）；（4）多元問題分類法。如（1）某化工廠實驗生產(chǎn)中需依次投入2種化工原料，現(xiàn)有5種原料可用，但甲、乙兩種原料不能同時使用

11、，且依次投料時，若使用甲原料，則甲必須先投放. 那么不同的實驗方案共有_種（答：15）；（2）某公司新招聘進8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個部門.其中兩名英語翻譯人員不能同給一個部門；另三名電腦編程人員也不能同給一個部門，則不同的分配方案有_種（答：36）；（3）9名翻譯中，6個懂英語，4個懂日語，從中選撥5人參加外事活動，要求其中3人擔任英語翻譯，選撥的方法有_種（答：90）；（5）有序問題組合法。如（1）書架上有3本不同的書，如果保持這些書的相對順序不便，再放上2本不同的書，有 種不同的放法（答：20）；（2）百米決賽有6名運動A、B、C、D、E、F參賽，每個運動員的速度都不同，則運動員

12、A比運動員F先到終點的比賽結(jié)果共有_種（答：360）；（3）學號為1，2，3，4的四名學生的考試成績且滿足，則這四位同學考試成績的所有可能情況有_種（答：15）；（4）設(shè)集合，對任意，有，則映射的個數(shù)是_（答：）；（5）如果一個三位正整數(shù)形如“”滿足，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)（如120、363、374等），那么所有凸數(shù)個數(shù)為_（答：240）；（6）離心率等于(其中且)的不同形狀的的雙曲線的個數(shù)為_（答：26）。（6）選取問題先選后排法。如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是_（

13、答：576）。（7）至多至少問題間接法。如從7名男同學和5名女同學中選出5人，至少有2名女同學當選的選法有_種（答：596）提醒：亦可分類來求.（8）相同元素分組可采用隔板法。如（1）10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？（答：36；15）；（2）某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？（答：84）*小球入筐型* 5個小球放入三個不同的筐子有多少放法每筐至少一個，有多少放法？小球相同小球不同注意：小球相同還是不同，是至少一個還是隨便，多元一次方程的不定正整數(shù)

14、（還是非負整數(shù)）解的個數(shù)（隔板法）.如的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式 （如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應. 即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負數(shù)解的x個數(shù)，即用中等于，有，進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為 .注：不定方程的解的個數(shù)方程（）的正整數(shù)解有個. 方程（）的非負整數(shù)解有 個. 方程（）滿足條件(,)的非負整數(shù)解有個.方程（）滿足條件(,)的正整數(shù)

15、解有（9）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_種（答：37440）；（10）“錯位問題”及其推廣貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為.推廣: 個元素與個位置,其中至少有個元素錯位的不同組合總數(shù)為提醒: 在求解排列與組合應用問題時，應(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；(2)通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；(4)列出式子計算和作答 5.二項式定理：，其

16、中組合數(shù)叫做第r+1項的二項式系數(shù)；展開式共有n+1項，其中第r+l項稱為二項展開式的通項，二項展開式通項的主要用途是求指定的項（特定項、常數(shù)項、有理項）等有關(guān)問題。二項式定理有兩個特殊形式：在解題時經(jīng)常用到，且很方便，需熟記。特別提醒：項與項數(shù)、項的系數(shù)與二項式系數(shù)、奇數(shù)項與奇次項、偶數(shù)項與偶次項的區(qū)別分別是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第項的二項式系數(shù)為，第項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？注意展開式的

17、逆用，注意展開式中的項是否去首、少尾；必須關(guān)注n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)(r=0的情形容易忽視)，且rn。如（1）的展開式中常數(shù)項是_（答：14）；（2）的展開式中的的系數(shù)為_ （答：330）；（3）數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_（答：3）；(4)展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_項（答：7）；(5)若的值能被5整除，則的可取值的個數(shù)有_個（答：5）；(6)若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是 （答：）； (7)函數(shù)的最大值是_（答：1024）.（8） 已知等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q求和：a1Ca2Ca3Can1C解：a1Ca2Ca3Can1Ca1Ca1

18、qCa1q2Ca1qnCa1(CqCq2CqnC)a1(1q)n6、二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項（第1項）的二項式系數(shù)取得最大值。當n為奇數(shù)時，中間兩項（第和1項）的二項式系數(shù)相等并同時取最大值。如（1）在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為_（答：426）；（2）在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則_（答：17,18或19）。（3）二項式系數(shù)的和：；。如（1）如果，則 （答：128）；（2）化簡（答：）7、賦值法：應

19、用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。（4）F(x)=(ax+b)n展開式的各項系數(shù)和為f(1);奇數(shù)項系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為；.證明組合恒等式或二項展開式系數(shù)求和時通常用構(gòu)造法和賦值法：構(gòu)造一個相應的二項展開式，再對該二項展開式進行賦值，或者構(gòu)造同一問題的不同解法，通過變更問題解決。如（1）已知，則等于_（答：）；（2），則_（答：2004）；（3）設(shè),則_（答：）。8、系數(shù)最大項的求法：系數(shù)若就是二項式系數(shù)，利用二項式系數(shù)的最大值性質(zhì)來求，否則設(shè) 的系數(shù)為 ，那么 為最大的必要而不充分的條件是：且（若比商的話，注意的