2.1-2.3 菲涅耳公式

1、第第2章章 光波在介質(zhì)界面上的反射和折射光波在介質(zhì)界面上的反射和折射 (The reflection and refraction of light wave in the interface of medium ) 由光的電磁理論可知，光在介質(zhì)界面上的反射由光的電磁理論可知，光在介質(zhì)界面上的反射和折射，實(shí)質(zhì)上是光與介質(zhì)相互作用的結(jié)果，因而和折射，實(shí)質(zhì)上是光與介質(zhì)相互作用的結(jié)果，因而進(jìn)行一般的理論分析進(jìn)行一般的理論分析非常復(fù)雜非常復(fù)雜。在這里，采用簡化。在這里，采用簡化的處理方法，不考慮光與介質(zhì)的微觀作用，只根據(jù)的處理方法，不考慮光與介質(zhì)的微觀作用，只根據(jù)麥克斯韋方程組和電磁場的邊界條件進(jìn)行討

2、論。麥克斯韋方程組和電磁場的邊界條件進(jìn)行討論。2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction law)(0 i, r, t (119)lltk rillEE el 現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性，分界現(xiàn)假設(shè)二介質(zhì)為均勻、透明、各向同性，分界面為無窮大的平面，入射、反射和折射光均為平面面為無窮大的平面，入射、反射和折射光均為平面光波，其電場表示式為光波，其電場表示式為式中，腳標(biāo)式中，腳標(biāo) i，r，t 分分別代表入射光、反射別代表入射光、反射光和折射光。光和折射光。12kiktkrOnz界面界面irtxrixjyr 是界面上任意點(diǎn)的矢

3、徑，在上圖所示的坐標(biāo)情況是界面上任意點(diǎn)的矢徑，在上圖所示的坐標(biāo)情況下，有下，有根據(jù)電磁場的邊界條件，可得根據(jù)電磁場的邊界條件，可得irtirit (120)()0 (121)()0 (122)kkrkkr入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；入射光、反射光和折射光具有相同的頻率；入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，入射光、反射光和折射光均在入射面內(nèi)，ki、kr和和 kt 波矢關(guān)系如圖所示。波矢關(guān)系如圖所示。2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction law)iiiirrrrttttexp itexp itexp itEAkrEAk

4、rEAkr 反射定律和折射定律（三種光傳播方向的關(guān)系）反射定律和折射定律（三種光傳播方向的關(guān)系）)(0 i, r, t (119)lltk rillEE el代入邊值關(guān)系代入邊值關(guān)系 ，該式總是成立，故，該式總是成立，故irtnEEn E irtirit ()0()0 kkrkkr進(jìn)一步，根據(jù)圖所示的幾何進(jìn)一步，根據(jù)圖所示的幾何關(guān)系，可得可由關(guān)系，可得可由（121）式式和和（122）式得到式得到iiriittsinsin (123)sinsin (124)rkkkk又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，可將上可將上二式改寫為二式改寫為iiriittsinsin (125)sinsin (126)rnnnn/knc這

5、就是介質(zhì)界面上的這就是介質(zhì)界面上的反射定律和折射定律反射定律和折射定律。BACn1n2Okrkikt分界面分界面tir2.1 反射定律和折射定律反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction law)2. 2 菲涅耳公式菲涅耳公式 (Fresnel formula ) 光的電磁理論除了給出描述光在界面上傳播方光的電磁理論除了給出描述光在界面上傳播方向的反射定律和折射定律外，還給出入射光、反射向的反射定律和折射定律外，還給出入射光、反射光和折射光之間的光和折射光之間的振幅、相位振幅、相位關(guān)系。關(guān)系。 光在介質(zhì)界面上的反射和折射特性與電矢量光在介質(zhì)界面上的反射和折

6、射特性與電矢量 E的振動(dòng)方向密切相關(guān)。由于平面光波的橫波特性，的振動(dòng)方向密切相關(guān)。由于平面光波的橫波特性，電矢量電矢量 E 可在垂直傳播方向的平面內(nèi)任意方向上振可在垂直傳播方向的平面內(nèi)任意方向上振動(dòng)，而它總可以分解成垂直于動(dòng)，而它總可以分解成垂直于入射面入射面（光線與法線（光線與法線形成入射面形成入射面）振動(dòng)的分量和平行于入射面振動(dòng)的分振動(dòng)的分量和平行于入射面振動(dòng)的分量，一旦這兩個(gè)分量的反射、折射持性確定，則任量，一旦這兩個(gè)分量的反射、折射持性確定，則任意方向上振動(dòng)的光的反射、折射特性也即確定。菲意方向上振動(dòng)的光的反射、折射特性也即確定。菲涅耳公式就是確定這兩個(gè)振動(dòng)分量反射、折射特性涅耳公式就

7、是確定這兩個(gè)振動(dòng)分量反射、折射特性的定量關(guān)系式。的定量關(guān)系式。1.s 分量和分量和 p 分量分量 通常把通常把垂直于入射面垂直于入射面（通過入射光和界面法線（通過入射光和界面法線方向的平面）振動(dòng)的分量叫做方向的平面）振動(dòng)的分量叫做 s 分量，把分量，把平行于入平行于入射面射面振動(dòng)的分量叫做振動(dòng)的分量叫做 p 分量。為討論方便起見，規(guī)分量。為討論方便起見，規(guī)定定 s 分量和分量和 p 分量的正方向如圖所示。分量的正方向如圖所示。ktkrkiO212ErsErpErsErpErpErsn1n21.s 分量和分量和 p 分量分量xyzo1pE1sH1pE1sH2pE2sH2. 反射系數(shù)和透射系數(shù)反射

8、系數(shù)和透射系數(shù)假設(shè)介質(zhì)中的電場矢量為假設(shè)介質(zhì)中的電場矢量為)i(0 i, r, t lltk rllEE el（127）其其 s 分量和分量和 p 分量表示式為分量表示式為)i(0 s, p lltk rlmlmEEem（128） 則定義則定義 s 分量分量、p 分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為分量的反射系數(shù)、透射系數(shù)分別為0000 rmmimtmmimErEEtE（129）（130）3. 菲涅耳公式菲涅耳公式 假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光同相位，假設(shè)界面上的入射光、反射光和折射光同相位，根據(jù)電磁場的邊界條件及根據(jù)電磁場的邊界條件及 s 分量、分量、P 分量的正方向規(guī)分量的正方向規(guī)定，可得

9、定，可得isrsts EEE（131）ip1rp1tp2coscoscos HHH（132）和和利用利用 ，上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)镠Eisrs11ts22) coscos EEnE n（133）再利用折射定律，并由（再利用折射定律，并由（131）式和（）式和（133）式消去）式消去Ets，經(jīng)整理可得經(jīng)整理可得rs21is21sin(sin(EE）12s12sin( 134sin(r）=-（）將將 （128）式代入上式，利用（）式代入上式，利用（121）式關(guān)系，并根據(jù)）式關(guān)系，并根據(jù)反射系數(shù)定義，得到反射系數(shù)定義，得到由由 （134）式和（）式和（133）式消去）式消去 Ers，經(jīng)運(yùn)算整理得經(jīng)運(yùn)算整理

10、得11s11222cos 135coscosntnn=-（）3. 菲涅耳公式菲涅耳公式isrsts HHH（2）ip1rp1tp2coscoscos (1)EEE00 (3)rrHEHE 且透明介質(zhì)有且透明介質(zhì)有1r因此上面（因此上面（2）式可變?yōu)椋┦娇勺優(yōu)?由邊界條件由邊界條件, 各切向分量之間關(guān)系可表示為各切向分量之間關(guān)系可表示為根據(jù)根據(jù)010102iprptp000 rrrEEE 即即1ip1rp2tp rrrEEE1ip1rp2tp (3)n En En E聯(lián)立聯(lián)立(1)(1)和和(3) ,(3) ,并代入并代入1122sinsinnn得得 p 分量分量振幅反射比振幅反射比:rp12p

11、ip12()()EtgrEtg振幅透射比振幅透射比:ip1rp1tp2coscoscos (1)EEE21p12122sincossin()cos()tpipEtE( (134) )式和式和( (135) )式就是式就是 s 分量的反射系數(shù)和透射系數(shù)分量的反射系數(shù)和透射系數(shù)表示式。利用類似方法，可以推出表示式。利用類似方法，可以推出 p 分量的反射系數(shù)分量的反射系數(shù)和透射系數(shù)表示式，和透射系數(shù)表示式， 這就是著名的菲涅耳公式：這就是著名的菲涅耳公式：1211221211221211121122sin()coscos= (136)sin()coscos2cossin2cos= (137)sin(

12、)coscosssnnrnnntnn 122112122112211112122112()coscos= (138)()coscos2sincos2cos= (139)sin()cos()coscospptgnnrtgnnntnn3. 菲涅耳公式菲涅耳公式 于是，如果已知界面兩側(cè)的折射率于是，如果已知界面兩側(cè)的折射率 n1、n2 和入和入射角射角1，就可由折射定律確定折射角就可由折射定律確定折射角2，進(jìn)而可由進(jìn)而可由上面的菲涅耳公式求出反射系數(shù)和透射系數(shù)。下圖上面的菲涅耳公式求出反射系數(shù)和透射系數(shù)。下圖繪出了在繪出了在、n1 n2 兩種情況下，反射系數(shù)、兩種情況下，反射系數(shù)、透射系數(shù)隨入射角透

13、射系數(shù)隨入射角 1的變化曲線。的變化曲線。3. 菲涅耳公式菲涅耳公式 10306090-1.0-0.500.51.0tptsrprs B56.3n1=1.0, n2=1.5 10306090-1.0-0.500.51.0rprs B33.7n1=1.5, n2=1.0 C41.8010203040500.00.40.81.21.62.02.42.83.2 rs rp ts tp3. 菲涅耳公式菲涅耳公式2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)如圖所示，若有一個(gè)平面如圖所示，若有一個(gè)平面光波以入射角光波以入射角1斜入射介斜入射介質(zhì)

14、分界面，平面光波的強(qiáng)質(zhì)分界面，平面光波的強(qiáng)度為度為 Ii，則每秒入射到界則每秒入射到界面上單位面積的能量為面上單位面積的能量為 菲涅耳公式給出了入射光、反射光和折射光之菲涅耳公式給出了入射光、反射光和折射光之間的場間的場振幅和相位振幅和相位關(guān)系（有關(guān)相位關(guān)系在后面還將關(guān)系（有關(guān)相位關(guān)系在后面還將深入討論），現(xiàn)在，進(jìn)一步討論反映它們之間能量深入討論），現(xiàn)在，進(jìn)一步討論反映它們之間能量關(guān)系的反射率和透射率。在討論過程中，不計(jì)吸收、關(guān)系的反射率和透射率。在討論過程中，不計(jì)吸收、散射等能量損耗，因此，入射光能量在反射光和折散射等能量損耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而總能量保持不變。射

15、光中重新分配，而總能量保持不變。ii1cosWI考慮到光強(qiáng)表示式考慮到光強(qiáng)表示式 ，上式可寫，上式可寫成成 21i0 i101co s 1 4 0 )2WE（類似地，反射光和折射光的能量表示式為類似地，反射光和折射光的能量表示式為21r0r101cos 141)2WE（22t0 t201cos 142)2WE（1IE200 （17）22. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)由此可以得到反射率、透射率分別為由此可以得到反射率、透射率分別為2riWRrW2t22i11coscosWnTtWn將菲涅耳公式代入，即可得到入射光中將菲涅耳

16、公式代入，即可得到入射光中 s 分量和分量和 p分量的反射率和透射率的表示式分別為分量的反射率和透射率的表示式分別為2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)2212ss212sin () (145)sin ()Rr2212pp212tan () (146)tan ()Rr22212ss21112cossin2sin2 (147)cossin ()nTtn22212pp22111212cossin2sin2 (148)cossin ()cos (nTtn）2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and

17、transmissivity)由上述關(guān)系式，顯然有由上述關(guān)系式，顯然有1ssRT1ppRT 綜上所述，光在界面上的反射、透射特性由三綜上所述，光在界面上的反射、透射特性由三個(gè)因素決定個(gè)因素決定: 入射光的偏振態(tài)入射光的偏振態(tài)，入射角入射角，界面兩側(cè)介界面兩側(cè)介質(zhì)的折射率。質(zhì)的折射率。 下圖給出了按光學(xué)玻璃下圖給出了按光學(xué)玻璃( (n1.52) )和空氣界面計(jì)和空氣界面計(jì)算得到的反射率算得到的反射率 R 隨入射角隨入射角1變化的關(guān)系曲線。變化的關(guān)系曲線。2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)10900%50%100%RpRsRn

18、n1 n2RBC2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)從上圖可看出：從上圖可看出： 一般情況下，一般情況下， ，即反射率與偏振狀態(tài)有，即反射率與偏振狀態(tài)有關(guān)。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情況關(guān)。在小角度（正入射）和大角度（掠入射）情況下，下， 。在正入射時(shí)，。在正入射時(shí)，spRRspRR221sp21 (149)nnRRnn相應(yīng)有相應(yīng)有21sp2214 (150)n nTTnn（）在掠入射在掠入射( )時(shí)時(shí)， 。spRR10s902. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmi

19、ssivity)當(dāng)光以某一持定角度當(dāng)光以某一持定角度1 = B入射時(shí)射時(shí)，Rs 和和 Rp 相差最相差最大，且大，且 Rp= 0，在反射光中不存在在反射光中不存在 p 分量。分量。10900%50%100%RpRsRnn1 n2RBC2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)此時(shí)，根據(jù)菲涅耳公式有此時(shí)，根據(jù)菲涅耳公式有B +2 = 900，即該入射角即該入射角與相應(yīng)的折射角與相應(yīng)的折射角互為余角互為余角。利用衍射定律，可得該。利用衍射定律，可得該特定角度滿足特定角度滿足2B1tan (151)nn該角該角 B 稱為布儒斯特角。例如

20、，當(dāng)光由空氣射向玻稱為布儒斯特角。例如，當(dāng)光由空氣射向玻璃時(shí)，璃時(shí)，n1=1，n2=1.52，布儒斯特角為布儒斯特角為B = 56040。2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)反射率反射率 R 隨入射角隨入射角 l 變化的趨勢是：變化的趨勢是：1 B時(shí)，時(shí)，R 隨著隨著 l 的增大急劇上升，到達(dá)的增大急劇上升，到達(dá) Rs=RP=1。10900%50%100%RpRsRnn1 n2RBC2. 3 反射率和透射率反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity)反射率反射率 R 隨入射角隨入射角 l 變化的趨勢是：變化的趨勢是：但是，對(duì)于光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)（但是，對(duì)于光由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)（n1 n2）和和光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)光由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)（ n1 n2時(shí)時(shí)，存在一個(gè)存在一個(gè)臨界角臨界角