951重積分應用

1、第五節(jié)一、立體體積一、立體體積 二、曲面的面積二、曲面的面積 三、物體的質(zhì)心三、物體的質(zhì)心 四、物體的轉動慣量四、物體的轉動慣量 五、物體的引力五、物體的引力 重積分的應用 第九章 一、問題的提出一、問題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應用中. . 若要計算的某個量若要計算的某個量u u對于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域d d具有可加性具有可加性( (即當閉區(qū)域即當閉區(qū)域d d分成許多小閉區(qū)域時，所求量分成許多小閉區(qū)域時，所求量u u相應地分成許多部分量，且相應地分成許多部分量，且u u等等于部分量之和于部分量之和) )，并且在閉區(qū)域，并且在閉區(qū)域d d內(nèi)任取一個

2、直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 d時，相應地部分量可近似地表示為時，相應地部分量可近似地表示為 dyxf),(的形式，其中的形式，其中),(yx在在 d內(nèi)這個內(nèi)這個 dyxf),(的的元素元素，記為，記為稱為所求量稱為所求量u udu，所求量的積分表達式為所求量的積分表達式為ddyxf ),(二、立體體積二、立體體積則其體積為則其體積為 dyxyxfvdd),( 曲頂柱體曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面的頂為連續(xù)曲面),(yxfz ,),(dyx 占有占有空間有界域空間有界域 的立體的體積為的立體的體積為 zyxvddd解解 解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周

3、得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域為平面上的投影域為xy,:222ayxdxy 則立體體積為則立體體積為 dayxyxavd 2222)2( 2002)2(ardrarrad365a 把體積表達為二重積分時，被積函數(shù)是上面的邊界面減去下面把體積表達為二重積分時，被積函數(shù)是上面的邊界面減去下面的邊界面，積分區(qū)域是立體在的邊界面，積分區(qū)域是立體在xoy 坐標面上的投影坐標面上的投影解解,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a xoyza2例例3 3. 求半徑為求半徑為a 的球面

4、與半頂角為的球面與半頂角為 的的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為: cos20ar 0 20 rrvdddsind2rm則立體體積為則立體體積為zyxvdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443a0dsin20d設曲面的方程為：設曲面的方程為：),(yxfz ,dd 設設小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點點.),(,(的的切切平平面面上上過過為為yxfyxms ,dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為在在如圖，如圖， d),(yxmdaxyzs o 三、曲面的面積三、曲面

5、的面積 ddadaa0lim 曲曲面面的的面面積積.dsdadadsszd ，則有，則有為為截切平面截切平面為為柱面，截曲面柱面，截曲面軸的小軸的小于于邊界為準線，母線平行邊界為準線，母線平行以以 ；madzdn,面面上上的的投投影影在在為為xoydad ,cos dad,11cos22yxff dffdayx221 曲面曲面s的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyaxydyzxz 22)()(1設曲面的方程為設曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為曲面面積公式為： .122dzdxazxdxyzy 設曲面的方程為設曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面

6、面積公式為： ;122dydzayzdzxyx 同理可得同理可得,222yxaa 解解)0,( yxoxyza 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 2aa.l2a0 xyz )( aazyx:曲面曲面立體立體所圍所圍與與222 yxaz 例例4的的表表面面積積。求由求由解解 解方程組解方程組得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayxazyx 22222yxaz 0 xz y.ld.222yxaz azyx 22.a2a.在在 平面上的投影域為平面上的投影域為xy,:222ayxdxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2

7、ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaasxyd 222441故故dxdyxyd 2rdrraada 0222041 22 a ).15526(62 a 四、平面薄片的重心四、平面薄片的重心,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法當薄片是均勻的，重心稱為當薄片是均勻的，重心稱為形心形心.,1 dxdax .1 dyday dda 其其中中設物體占有空間域設物體占有空間域 ,),(zyx 有連續(xù)密度函數(shù)有連續(xù)密度函數(shù)則則 公式公式 , 即即:采用采用 元素法

8、元素法可導出其質(zhì)心可導出其質(zhì)心 zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常數(shù)時常數(shù)時當當 zyx 則得則得形心坐標形心坐標：,dddvzyxxx ,dddvzyxyy vzyxzz ddd 的體積的體積為為 zyxvddd4例例5. 5. 求位于兩圓求位于兩圓 sin2 r sin4 r和和的形心的形心. . 2d解解: : 利用對稱性可知利用對稱性可知0 x而而 dyxyaydd1 drr ddsin312rr dsin4sin22 37 之間均勻薄片之間均勻薄片

9、0dsin31oyxc五、平面薄片的轉動慣量五、平面薄片的轉動慣量,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 薄片對于薄片對于 軸軸的的轉動慣量轉動慣量x薄片對于薄片對于 軸的轉動慣量軸的轉動慣量y類似可得空間立體類似可得空間立體 : zyxzyxixddd),( )(22zy zyxzyxiyddd),( )(22zx zyxzyxioddd),( )(222zyx 對對 x 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對對 y 軸的轉動慣量軸的轉動慣量對原點的轉動慣量對原點的轉動慣量 對對 z 軸軸 的轉動慣量的轉動慣量: zyxzyxyxizddd),()(22解解aboyxdxdyxidy 2

10、 babydxxdy0)1(02 .1213 ba dxdyyidx 2 .1213 ab 解解: 取球心為原點取球心為原點, z 軸為軸為 l 軸軸,:2222azyx 則則 zi zyxyxddd)(22 5158a olzxy 20d dsin03 rrad04 例例7.7.求均勻球體對于過球心的一條軸求均勻球體對于過球心的一條軸 l 的轉動慣量的轉動慣量.設球設球 所占域為所占域為(用球坐標用球坐標) 解解先求形心先求形心,1 dxdxdyax.1 dydxdyay 建建立立坐坐標標系系如如圖圖oyx, hba 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因為為矩矩形形板板均均勻勻,由由對對稱稱性性知知形形心

11、心坐坐標標2bx ，2hy .hb將將坐坐標標系系平平移移如如圖圖oyxhbuvo 對對u軸軸的的轉轉動動慣慣量量 dududvvi2 22222hhbbdudvv .123 bh 對對v軸的轉動慣量軸的轉動慣量 dvdudvui2 .123 hb 薄片對薄片對 軸上單位質(zhì)點的引力軸上單位質(zhì)點的引力z,zyxffff 五、平面薄片對質(zhì)點的引力五、平面薄片對質(zhì)點的引力,)(),(23222 dayxxyxffdx ,)(),(23222 dayxyyxffdy .)(),(23222 dayxyxaffdz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f解解 由積分區(qū)域的對稱性知由積分區(qū)域的對稱性知, 0 yxff d

12、ayxyxaffdz 23)(),(222 dayxafd 23)(1222oyzxfdrrardafr 0222023)(1.11222 aarfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aarfarxyzo例例9. 求半徑求半徑 r 的均勻球的均勻球2222rzyx 對位于對位于)(), 0 , 0(0raam 的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力的單位質(zhì)量質(zhì)點的引力.解解: 利用對稱性知引力分量利用對稱性知引力分量0 yxff zfvazyxazgd)(23222 點點0mazd rrzazgd)( 200232222)(ddzrazrrr2334arg rrzazgd)( zdazyxyx23222)(dd幾何應用：曲頂柱體的體積、曲面的面積幾何應用：曲頂柱體的體積、曲面的面積物理應用：重心、轉動慣量、物理應用：重心、轉動慣量、對質(zhì)點的引力對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關物理知識）注意審題，熟悉相關物理知識）六、小結六、小結思考題思考題.)0(cos,cos之之間間的的均均勻勻薄薄片片的的重重心心求求位位于于兩兩圓圓babrar ab xyo薄片關于薄片關于 軸對稱軸對稱x, 0 y則則 ddddxx dr