2022版新教材高考數(shù)學一輪復習高考大題專項六概率與統(tǒng)計課件新人教B版

1、高考大題專項高考大題專項( (六六) )概率與統(tǒng)計概率與統(tǒng)計第十章第十章2022【考情分析考情分析】 一、考查范圍全面概率與統(tǒng)計解答題對知識點的考查較為全面,近五年的試題考點覆蓋了概率與統(tǒng)計的各個章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法、統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體、回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、古典概型、條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復試驗的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識和基本方法.二、考查方向分散從近五年的高考試題來看,對概率與統(tǒng)計的考查主要有四個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,其中回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)

2、字特征估計總體的數(shù)字特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識、概率分布列等知識交匯考查;三是期望與方差的綜合應用,常與離散型隨機變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查;四是以生活中的實際問題為背景將正態(tài)分布與隨機變量的期望和方差相結(jié)合綜合考查.三、考查難度波動前幾年來看,高考對概率與統(tǒng)計解答題的考查難度相對穩(wěn)定,一般都控制在中等或中等偏上的程度,多放在解答題的第18或19題位置,近兩年難度有所提升,甚至放在后兩道解答題位置,綜合性較強.但實施新高考后,因為文理同卷,

3、難度又回到中等.【典例剖析典例剖析】 題型一相關(guān)關(guān)系的判斷及回歸分析【例例1】近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展,共享經(jīng)濟覆蓋的范圍迅速擴張,繼共享單車、共享汽車之后,共享房屋以“民宿”“農(nóng)家樂”等形式開始在很多平臺上線.某創(chuàng)業(yè)者計劃在某景區(qū)附近租賃一套農(nóng)房發(fā)展成特色“農(nóng)家樂”,為了確定未來發(fā)展方向,此創(chuàng)業(yè)者對該景區(qū)附近六家“農(nóng)家樂”跟蹤調(diào)查了100天.得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表,x為收費標準(單位:元/日),t為入住天數(shù)(單位:天),以頻率作為各自的“入住率”,收費標準x與“入住率”y的散點圖如圖.x50100150200300400t906545302020(1)若從以上六家“農(nóng)家樂”中隨機抽取兩

4、家深入調(diào)查,記為“入住率”超過0.6的農(nóng)家樂的個數(shù),求的概率分布列.(3)若一年按365天計算,試估計收費標準為多少時,年銷售額l最大?(年銷售額l=365入住率收費標準x)解題心得在求兩變量相關(guān)系數(shù)和兩變量的回歸方程時,由于r和 的公式組成比較復雜,求它們的值計算量比較大,為了計算準確,可將其分成幾個部分分別計算,這樣等同于分散難點,各個攻破,提高了計算的準確度.題型二獨立性檢驗的綜合問題【例2】 (2020新高考全國1,19)為加強環(huán)境保護,治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研,隨機抽查了100天空氣中的pm2.5和so2濃度(單位:g/m3),得下表:pm2.5so20,50

5、(50,150(150,4750,3532184(35,756812(75,1153710(1)估計事件“該市一天空氣中pm2.5濃度不超過75,且so2濃度不超過150”的概率;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),完成下面的22列聯(lián)表:pm2.5so20,150(150,4750,75(75,115(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,在犯錯誤的概率不超過1%的前提下是否可以認為該市一天空氣中pm2.5濃度與so2濃度有關(guān)聯(lián).=p(2k)0.050.010.001k3.8416.63510.828pm2.5so20,150(150,4750,756416(75,1151010(3)零假設(shè)為h0:該市一天空氣中pm2.

6、5濃度與so2濃度無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值=0.01的獨立性檢驗,推斷h0不成立,即認為該市一天空氣中pm2.5濃度與so2濃度有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.解題心得有關(guān)獨立性檢驗的問題的解題步驟:(1)作出22列聯(lián)表;(2)計算隨機變量2的值;(3)查臨界值,檢驗作答.對點訓練1手機支付也稱為移動支付,是指允許用戶使用其移動終端(通常是手機)對所消費的商品或服務進行賬務支付的一種服務方式.隨著信息技術(shù)的發(fā)展,手機支付越來越成為人們喜歡的支付方式.某機構(gòu)對某地區(qū)年齡在15到75歲的人群“是否使用手機支付”的情況進行了調(diào)查,隨機抽取了100人,其年齡頻率分布

7、表和使用手機支付的人數(shù)如下所示:(年齡單位:歲)年齡段15,25)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75頻率0.10.320.280.220.050.03使用人數(shù) 828241221(1)若以45歲為分界點,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的22列聯(lián)表,依據(jù)=0.001的獨立性檢驗,能否認為“使用手機支付”與年齡有關(guān)聯(lián).是否使用手機支付年齡低于45歲年齡不低于45歲使用不使用(2)若從年齡在55,65),65,75的樣本中各隨機選取2人進行座談,記選中的4人中“使用手機支付”的人數(shù)為x,求隨機變量x的分布列和數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù): =p(2k)0.050.010.0050.001k3

8、.8416.6357.87910.828解 (1)由統(tǒng)計表可得,低于45歲人數(shù)為70人,不低于45歲人數(shù)為30人,可得列聯(lián)表如下是否使用手機支付年齡低于45歲年齡不低于45歲使用6015不使用1015零假設(shè)為h0:“使用手機支付”與年齡無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值=0.001的獨立性檢驗,推斷h0不成立,即認為“使用手機支付”與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.(2)由題意可知,年齡段在55,65),65,75中不使用手機支付的人數(shù)分別為3,2.x的所有可能取值為0,1,2,3,相應的概率為 于是x的分布列為 題型三離散型隨機變量的分布列類型一互斥事件、獨立

9、事件的概率及分布列【例3】 隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代入“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試.在一次報名中,每個學員有5次參加科目二考試的機會(這5次考試機會中任何一次通過考試,就算順利通過,即進入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報名),其中前2次參加科目二考試免費,若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2 000個學員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計,得到下表:考試情況男學員女學員第1次考科目二人數(shù)1 200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次

10、未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試,在本次報名中,若這對夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機會為止.(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率;(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為x,求x的分布列與數(shù)學期望.解 事件ai表示男學員在第i次考科目二通過,事件bi表示女學員在第i次考科目二通過(其中i=1,2,3,4

11、,5).(1)事件m表示這對夫妻考科目二都不需要交補考費.解題心得使用簡潔、準確的數(shù)學語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復.對點訓練2(2020廣西桂林高三模擬)某企業(yè)為抓住機遇,計劃在某地建立獼猴桃飲品基地,進行飲品a,b,c的開發(fā).(1)在對三種飲品市場投放的前期調(diào)研中,對100名試飲人員進行抽樣調(diào)查,得到對三種飲品選擇情況的條形圖.若飲品a的百件利潤為400元,飲品b的百件利潤為300元,飲品c的百件利潤為700元,請估計三種飲品的平均百件利潤;(2)為進一步提高企業(yè)利潤,企業(yè)決定對飲品c進

12、行加工工藝的改進和飲品d的研發(fā).已知工藝改進成功的概率為 ,開發(fā)新飲品成功的概率為 ,且工藝改進與飲品研發(fā)相互獨立.求工藝改進和新品研發(fā)恰有一項成功的概率;若工藝改進成功則可為企業(yè)獲利80萬元,不成功則虧損30萬元,若飲品研發(fā)成功則獲利150萬元,不成功則虧損70萬元,求該企業(yè)獲利的數(shù)學期望.類型二超幾何分布【例4】 某市為了解本市1萬名小學生的普通話水平,在全市范圍內(nèi)進行了普通話測試,測試后對每個小學生的普通話測試成績進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)總體(1萬名小學生普通話測試成績)服從正態(tài)分布n(69,49).(1)從這1萬名小學生中任意抽取1名小學生,求這名小學生的普通話測試成績在62,90內(nèi)的概率;(2

13、)現(xiàn)在從總體中隨機抽取12名小學生的普通話測試成績,對應的數(shù)據(jù)如下:50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.從這12個數(shù)據(jù)中隨機選取4個,記x表示大于總體平均分的個數(shù),求x的方差.參考數(shù)據(jù):若yn(,2),則p(-y+)0.683,p(-2y+2)0.954,p(-3y+3)0.997.解題心得判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布,關(guān)鍵是要看隨機變量是否滿足超幾何分布的特征:不放回抽樣;一個總體(共有n個)內(nèi)含有兩種不同的事物a(有m個),b(有n-m個),任取n個,其中恰有x個a.符合以上特征即可斷定隨機變量服從超幾何分布.滿足超幾何分布模型的事件的總體都是由較

14、明顯的兩部分組成,如男生,女生;正品,次品;優(yōu),劣等.對點訓練3(2020內(nèi)蒙古呼和浩特高三質(zhì)檢)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:克),重量的分組區(qū)間為(490,495,(495,500,(510,515,由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求重量超過500克的產(chǎn)品數(shù)量;(2)在這40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)y為重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求y的分布列及數(shù)學期望.解(1)重量超過500克的產(chǎn)品數(shù)量是40(0.075+0.055+0.015)=26件;(2)由題意知y的所有可能取值為0,1,2;重

15、量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是40(0.055+0.015)=12件,重量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是28件.類型三古典概型及分布列的綜合【例5】 為提升學生的文化素養(yǎng),養(yǎng)成多讀書、讀好書的文化生活習慣,某中學開展圖書漂流活動,讓圖書發(fā)揮它的最大價值,該校某班圖書角有文學名著類圖書5本,學科輔導書類圖書3本,其他類圖書2本,共10本不同的圖書,該班班委會從圖書角的10本不同的圖書中隨機挑選3本不同的圖書參加學校的圖書漂流活動.(1)求選出的三本圖書來自兩個不同類別的概率;(2)設(shè)隨機變量x表示選出的3本圖書中,文學名著類本數(shù)與學科輔導類本數(shù)差的絕對值,求隨機變量x的分布列和數(shù)學期望.解題心得利用古典

16、概型求解分布列的概率一定要注意事件的等可能性以及事件的組成,若涉及排列、組合求解基本事件的個數(shù),則需分清元素有序與無序,分清排列還是組合,做到不重不漏.對點訓練4(2020山西臨汾高三模擬)元旦期間,某轎車銷售商為了促銷,給出了兩種優(yōu)惠方案,顧客只能選擇其中的一種.方案一:每滿6萬元,可減6千元;方案二:金額超過6萬元(含6萬元),可搖號三次,其規(guī)則是依次從裝有2個幸運號、2個吉祥號的一號搖號機,裝有2個幸運號、2個吉祥號的二號搖號機,裝有1個幸運號、3個吉祥號的三號搖號機各搖號一次,其優(yōu)惠情況為:若搖出3個幸運號則打6折,若搖出2個幸運號則打7折;若搖出1個幸運號則打8折;若沒搖出幸運號則不

17、打折.(1)若某型號的車正好6萬元,兩個顧客都選擇第二種方案,求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率;(2)若購買一款價格為10萬元的轎車,應選擇哪種付款方案.類型四二項分布【例6】 某興趣小組在科學館的帕斯卡三角儀器前進行探究實驗.如圖所示,每次使一個實心小球從帕斯卡三角儀器的頂部入口落下,當它在依次碰到每層的菱形擋板時,會等可能地向左或者向右落下,在最底層的7個出口處各放置一個容器接住小球,該小組連續(xù)進行200次試驗,并統(tǒng)計容器中的小球個數(shù)得到柱狀圖:(1)用該實驗來估測小球落入4號容器的概率,若估測結(jié)果的誤差小于5%,則稱該實驗是成功的.試問:該興趣小組進行的實驗是否成功?(2)再取3

18、個小球進行試驗,設(shè)其中落入4號容器的小球個數(shù)為x,求x的分布列與數(shù)學期望.(計算時采用概率的理論值).解題心得對于實際問題中的隨機變量x,如果能夠斷定它服從二項分布b(n,p),則其概率、均值與方差可直接利用公式 (k=0,1,2,n),e(x)=np,d(x)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關(guān)公式,可以避免煩瑣的運算過程,提高運算速度和準確度.對點訓練5某發(fā)電廠新引進4臺發(fā)電機,已知每臺發(fā)電機一個月中至多出現(xiàn)1次故障,且每臺發(fā)電機是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修,每臺發(fā)電機出現(xiàn)故障的概率為 .(1)若一個月中出現(xiàn)故障的發(fā)電機臺數(shù)為x,求x的分布列及數(shù)學期望e

19、(x)和方差d(x);(2)該發(fā)電廠至少有多少名工人,才能保證每臺發(fā)電機在任何時刻同時出現(xiàn)故障時,能及時進行維修的概率不少于90%?(3)已知一名工人每月只有維修1臺發(fā)電機的能力,每臺發(fā)電機不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修,就使該廠產(chǎn)生2萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤,若該發(fā)電廠現(xiàn)有2名工人,要使求該發(fā)電廠每月獲利的均值不少于6萬元,則該發(fā)電廠每月需支付給每位工人的工資最多為多少萬元?(2)設(shè)該廠有n名工人,則“每臺發(fā)電機在任何時刻同時出現(xiàn)故障能及時進行維修”為事件“發(fā)生故障的發(fā)電機臺數(shù)xn”,即x=0,x=1,x=n,這n+1個互斥事件的和事件,則 題型四樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合【例7】

20、 某學校高二年級舉行了由全體學生參加的一分鐘跳繩比賽,計分規(guī)則如下表:每分鐘跳繩個數(shù)145,155)155,165)165,175)175,185)185,+)得分1617181920年級組為了解學生的體質(zhì),隨機抽取了100名學生的跳繩個數(shù)作為一個樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從樣本的100名學生的跳繩個數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(2)若該校高二年級共有2 000名學生,所有學生的一分鐘跳繩個數(shù)x近似服從正態(tài)分布n(,2),其中2225,為樣本平均數(shù)的估計值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:估

21、計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));若在全年級所有學生中隨機抽取3人,每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差.附:若隨機變量x服從正態(tài)分布n(,2),則p(-x+)0.683,p(-2x+2)0.954,p(-3x+3)0.997.解 (1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件a,則事件a包括以下四種情況:兩人得分均為16分;兩人中一人16分,一人17分;兩人中一人16分,一人18分;兩人均17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人,則由古典概型的概率計算公式可得解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題,在理解,2

22、意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于x=對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖像的對稱性解決的.對點訓練7某市要對全市中小學生“體能達標”情況進行了解,決定通過隨機抽樣選擇幾個樣本學校對學生進行體能達標測試,并規(guī)定測試成績低于60分為不合格,否則為合格,若樣本學校學生不合格人數(shù)不超過其總?cè)藬?shù)的5%,則該樣本學校體能達標為合格.已知某樣本學校共有1 000名學生,現(xiàn)從中隨機抽取40名學生參加體能達標測試,首先將這40名學生隨機分為甲、乙兩組,其中甲乙兩組學生人數(shù)的比為3 2,測試后,兩組各自的成績統(tǒng)計如下:甲組的平均成績?yōu)?0,方差為16,乙組的平均成績?yōu)?0,方差為36.(1)估計該樣本

23、學校學生體能測試的平均成績;(2)求該樣本學校40名學生測試成績的標準差s;(注:1.本題所有數(shù)據(jù)的最后結(jié)果都精確到整數(shù);2.若隨機變量z服從正態(tài)分布,則p(-z+)0.683,p(-2z+2)0.954,p(-3z+3)0.997)題型五概率與分布列及其他知識綜合交匯【例8】 (2019全國1,理21)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠,隨機選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認為治

24、愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和,一輪試驗中甲藥的得分記為x.(1)求x的分布列;(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計得分為i時,最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=p(x=-1),b=p(x=0),c=p(x=1).假設(shè)=0.5,=0.8.證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列;求p4,并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.解 (1)x的所有可能取值為-1,0,1.p(x=-1)=(1-),p(x=0)=+(1-)(1-),p(x=1)=(1-)