高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法

1、高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法(理科)經(jīng)典例題剖析例1、已知三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，滿足條件，試判斷：點(diǎn)與是否一定共面？解析：要證明平面，只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量和線性表示答案:證明：如圖，因?yàn)樵谏?，且，所以同理，又，所以又與不共線，根據(jù)共面向量定理，可知，共面由于不在平面內(nèi)，所以平面點(diǎn)評(píng)：空間任意的兩向量都是共面的與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.例2、如圖,在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，aa14，點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)，（i）求證：acbc1；（ii）求證：ac1/平面cdb1；解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象

2、能力和推理論證能力.答案：（1）是的中點(diǎn)，取pd的中點(diǎn)，則，又四邊形為平行四邊形，（4分）（2）以為原點(diǎn)，以、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，在平面內(nèi)設(shè)，由由是的中點(diǎn)，此時(shí)（8分）（3）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)為故直線與平面所成角的正弦為（12分）解法二：（1）是的中點(diǎn)，取pd的中點(diǎn)，則，又四邊形為平行四邊形，（4分）（2）由（1）知為平行四邊形，又同理，為矩形，又作故交于，在矩形內(nèi)，為的中點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，（8分）（3）由（2）知為點(diǎn)到平面的距離，為直線與平面所成的角，設(shè)為，直線與平面所成的角的正弦值為點(diǎn)評(píng)：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求

3、斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來例3、如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面是的菱形，為的中點(diǎn).()求與底面所成角的大?。?)求證：平面；()求二面角的余弦值.解析：求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法，比較好的方法是向量法答案：(i)取dc的中點(diǎn)o，由pdc是正三角形，有podc又平面pdc底面abcd，po平面abcd于o連結(jié)oa，則oa是pa在底面上的射影pao就是p

4、a與底面所成角adc=60，由已知pcd和acd是全等的正三角形，從而求得oa=op=pao=45pa與底面abcd可成角的大小為456分(ii)由底面abcd為菱形且adc=60，dc=2，do=1，有oadc建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則,由m為pb中點(diǎn)，padm，padcpa平面dmc4分(iii)令平面bmc的法向量，則，從而x+z=0；,，從而由、，取x=1，則可取由(ii)知平面cdm的法向量可取，所求二面角的余弦值為6分法二：（）方法同上 （）取的中點(diǎn)，連接，由（）知，在菱形中，由于，則，又，則，即，又在中，中位線，則，則四邊形為，所以，在中，則，故而，則（）由（）知，則為二面角的平

5、面角，在中，易得，故，所求二面角的余弦值為例4、如圖，在長方體中，點(diǎn)在線段上.（）求異面直線與所成的角；（）若二面角的大小為，求點(diǎn)到平面的距離.解析：本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類問題中，要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好的方法.答案：解法一：（）連結(jié)。由已知，是正方形，有。平面，是在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，得，則異面直線與所成的角為。作，垂足為，連結(jié)，則所以為二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以。設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.即，即，.故點(diǎn)到平面的距離為。解法二：分別以為軸、軸、軸，建立空間直角坐

6、標(biāo)系.（）由，得設(shè)，又，則。則異面直線與所成的角為。（）為面的法向量，設(shè)為面的法向量，則. 由，得，則，即 由、，可取又，所以點(diǎn)到平面的距離。例5、如圖所示：邊長為2的正方形abfc和高為2的直角梯形adef所在的平面互相垂直且de=，ed/af且daf=90。（1）求bd和面bef所成的角的余弦；（2）線段ef上是否存在點(diǎn)p使過p、a、c三點(diǎn)的平面和直線db垂直，若存在，求ep與pf的比值；若不存在，說明理由。解析：1.先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論：2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。答案：（1）因?yàn)閍c、ad、ab兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系，則b（2，0，0），d（0，0，2），e（1，1，2），f（2，2，0），則設(shè)平面bef的法向量，則可取，向量所成角的余弦為。即bd和面bef所成的角的余弦。（2）假設(shè)線段ef上存在點(diǎn)p使過p、a、c三點(diǎn)的平