平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案

1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義教案課題：§2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 教材：普通高中課程標準實驗教科書（人教a版）數(shù)學必修4一、教學目標1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關(guān)的判斷和運算；3、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。二、教學重、難點教學重點：1、平面向量數(shù)量積的含義與物理意義 2、性質(zhì)與運算律及其應用教學難點：1、平面向量數(shù)量積的概念 2、 平面向量數(shù)量積的運算律（2）、（3）的證明三、教學過程活動

2、一：創(chuàng)設問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？期望學生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運算。 2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？期望學生回答：物理模型概念性質(zhì)運算律應用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 活動二：探究數(shù)量積的概念sf1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s，那么力f所做的功：w= |f| |s| cos。 （2）這個公式的有什么特點？請完成下列

3、填空：w（功）是 量，f（力）是 量，s（位移）是 量，（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。3、提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學生回答：線性運算的結(jié)果是向量

4、，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。4、學生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號5、研究數(shù)量積的幾何意義（1）給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：ob1=cos（2）提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學生回答：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上的投影cos 的乘積?；顒尤禾骄繑?shù)量積的運算性質(zhì)1、提出問題6：比較·與×的大小，你有什么結(jié)論？ 2、請證明上述結(jié)論。 設

5、和b都是非零向量，則 1、 ·=0 2、當與同向時，·=；當與反向時，·= -， 特別地，·=2或= 3、·×3、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)活動四：探究數(shù)量積的運算律 1、提出問題7：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也適用？預測：學生可能會提出以下猜想： ·= · （·）= (·) （ + ）· =· + · 2、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請同學們先來討論：猜測的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學生回答：左邊是與向

6、量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測是不正確的。 3、明晰：數(shù)量積的運算律：已知向量、 、和實數(shù)，則：（1）·= · （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·4、學生活動：證明運算律2在證明時，學生可能只考慮到>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：當<0時，向量與，與的方向的關(guān)系如何？此時，向量與及與的夾角與向量與的夾角相等嗎？5、師生活動：證明運算律（3）活動五：應用與提高1、學生獨立完成：已知=5,=4, 與的夾角=120

7、6;，求·2、師生共同完成：已知=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運算過程類似于哪種實數(shù)運算？3、學生獨立完成：對任意向量 ，b是否有以下結(jié)論：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 224、師生共同完成：已知=3，=4, 且 與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直？并討論：通過本題，你有什么體會？5、反饋練習1、判斷下列各題正確與否：、若0，則對任一非零向量，有·0、若0，··，則2、已知abc中，=, =，當· <0或·0時，試判斷a

8、bc的形狀?；顒恿盒〗Y(jié)1、本節(jié)課我們學習的主要內(nèi)容是什么？2、平面向量的數(shù)量積有哪些應用？3、本節(jié)課主要采用了什么研究方法？4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數(shù)量積？布置作業(yè)： 1、課本p121習題2.4a組1、2、3。2、拓展與提高：已知與都是非零向量，且+3 與7 -5垂直，-4與 7-2垂直，求與的夾角。（本題供學有余力的同學選做）教學設計說明 平面向量的數(shù)量積是一種非常重要的運算，同其線性運算一樣，既有其深刻的數(shù)學背景，也有其現(xiàn)實的物理背景。本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學，依據(jù)數(shù)學課程改革應關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，在數(shù)量積概念的引入過程中，我從數(shù)學和物理兩個角度創(chuàng)設問

9、題情景，使學生明白研究這種運算不僅是數(shù)學本身發(fā)展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產(chǎn)生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言，數(shù)量積的結(jié)果發(fā)生了本質(zhì)的變化，為了讓學生理解這一點，我首先安排讓學生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設一定的情景，讓學生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運算性質(zhì)是將嘗試練習的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運算律則是通過和實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。在應用這個環(huán)節(jié)中，對教材中提供的四個例題，我重點講解例2和例4，例1和例3則由學生獨立完成