點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)講義

1、 龍文教育教師1對(duì)1教育是一項(xiàng)良心工程！個(gè)性化輔導(dǎo)講義學(xué)生： 科目： 第 單元第 節(jié)第 課時(shí) 教師： 課 題點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能（1）使學(xué)生掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系，進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí)；（2）通過對(duì)知識(shí)的梳理，提高學(xué)生的歸納知識(shí)和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。2、過程與方法利用框圖對(duì)本章知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的小結(jié)，直觀、簡(jiǎn)明再現(xiàn)所學(xué)知識(shí)，化抽象學(xué)習(xí)為直觀學(xué)習(xí)，易于識(shí)記；同時(shí)凸現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展和聯(lián)系。3情態(tài)與價(jià)值學(xué)生通過知識(shí)的整合、梳理，理會(huì)空間點(diǎn)、線面間的位置關(guān)系及其互相聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和解決問題能力。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：各知識(shí)點(diǎn)間的網(wǎng)絡(luò)關(guān)系；難點(diǎn)：在空間如何實(shí)現(xiàn)平行

2、關(guān)系、垂直關(guān)系、垂直與平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化。考點(diǎn)及考試要求（1）空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系；（2）直線、平面平行的判定及性質(zhì)；（3）直線、平面垂直的判定及性質(zhì)。 教學(xué)內(nèi)容知識(shí)框架1、刻畫平面的四個(gè)公理是立體幾何公理體系的基石，是研究空間圖形問題，進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ)。公理1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面提供確定平面最基本的依據(jù)；公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線判定兩個(gè)平面交線位置的依據(jù)；公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行判定空間直線之間平行的

3、依據(jù)。我們把不同人任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線空間中兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種共面直線 1 相交直線：同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 2 平行直線：同一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)異面直線 3 不在一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們說這兩條異面直線垂直。 2、空間問題解決的重要思想方法：化空間問題為平面問題；3、空間平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系：平面與平面平行直線與直線平行直線與平面平行平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直4、 觀察和推理是認(rèn)識(shí)世界的兩種重要手段，兩者相輔相成，缺一不可。本章知識(shí)結(jié)

4、構(gòu)框圖平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與直線的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系考點(diǎn)1：空間點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系；典型例題第1題. 下列命題正確的是（）經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面四邊形確定一個(gè)平面兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面第2題. 如圖，空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)求證：四邊形是平行四邊形答案：證明：連接因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，且同理，且因?yàn)?，且所以四邊形為平行四邊形?題. 如圖，已知長(zhǎng)方體中，（）和所成的角是多少度？（）和所成的角是多少度？第4題. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，

5、則若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn)a123答案：第5題. 若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論成立的是（）內(nèi)的所有直線與異面內(nèi)不存在與平行的直線內(nèi)存在唯一的直線與平行內(nèi)的直線與都相交答案：第6題. 已知，是三條直線，角，且與的夾角為，那么與夾角為答案： 第7題. 如圖，是長(zhǎng)方體的一條棱，這個(gè)長(zhǎng)方體中與垂直的棱共條答案：8條第8題. 如果，是異面直線，直線與，都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個(gè)答案：2個(gè)第9題. 已知兩條相交直線，則與的位置關(guān)系是答案

6、：，或與相交第10題. 如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每?jī)蓷l確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條直線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？第11題. 如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中：與平行與是異面直線與成角與垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（），答案：第12題. 下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（ ）兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行；平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變；過空間四邊形的頂點(diǎn)引的平行線段，則是異面直線與所成的角；四邊相等，且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形0123答案：第13題. 在空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，則與的大小關(guān)系是答案：第14

7、題. 已知是一對(duì)異面直線，且成角，為空間一定點(diǎn)，則在過點(diǎn)的直線中與所成的角都為的直線有條答案：第15題. 已知平面，是平面外的一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與平面分別交于兩點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為答案：第16題. 空間四邊形中，分別是，的中點(diǎn)，若，且與所成的角為，則四邊形的面積是答案：知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析四個(gè)定理的理解、認(rèn)識(shí)與運(yùn)用，空間感覺的形成針對(duì)性練習(xí)第1題. 已知下列四個(gè)命題： 很平的桌面是一個(gè)平面； 一個(gè)平面的面積可以是m； 平面是矩形或平行四邊形； 兩個(gè)平面疊在一起比一個(gè)平面厚其中正確的命題有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)第2題. 給出下列命題：和直線都相交的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)；

8、三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）第3題. 直線，在上取點(diǎn)，上取點(diǎn)，由這點(diǎn)能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)第4題. 三條直線相交于一點(diǎn)，可能確定的平面有（）個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)或個(gè)第5題. 下列命題中，不正確的是（）一條直線和兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；每?jī)蓷l都相交但不共點(diǎn)的四條直線一定共面；兩條相交直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條互相垂直的直線共面與與與與第6題. 分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是（）異面直線相交直線不相交直線不平行直線第7題. 在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形

9、，的對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別是四邊形，的對(duì)角線的交點(diǎn)求證：第8題. 若，是異面直線，也是異面直線，則與的位置關(guān)系是（）異面相交或平行平行或異面相交或平行或異面第9題. ，是異面直線，是上兩點(diǎn)，是上的兩點(diǎn)，分別是線段和的中點(diǎn)，則和的位置關(guān)系是（）異面直線平行直線相交直線平行、相交或異面第10題. 如下圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中與平行；與是異面直線；與成角；與垂直以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（）第11題. 直線與平面平行的條件是這條直線與平面內(nèi)的（）一條直線不相交兩條直線不相交任意一條直線不相交無(wú)數(shù)條直線不相交第12題. 如果直線平行于平面，則（）平面內(nèi)有且只有一直線與平行平面內(nèi)有無(wú)

10、數(shù)條直線與平行平面內(nèi)不存在與平行的直線平面內(nèi)的任意直線與直線都平行鞏固作業(yè)課后作業(yè) 試卷考點(diǎn)2：異面直線夾角典型例題在正方體abcda1b1c1d1中，m、n、p、q分別是棱ab、bc、cd、cc1的中點(diǎn)，直線mn與pq所成的度數(shù)是      （    ）（a）   （b）   （c）   （d）2下列命題中，正確的命題是  （     ）（a）直線a、b異面，過空間任一點(diǎn)o，作oaa，oba，則aob叫做

11、異面直線a和b所成的角（b）如果cba=bad，那么bcad（c）和兩條異面直線都垂直的直線，叫做這兩條異面直線的公垂線（d）兩條異面直線所成的角只能是銳角或直角知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析先把異面直線平移成共面的針對(duì)性練習(xí)1 正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，則bd1與cc1所成角的正切值為，bd1與cc1的距離為2 2長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，ab=bc=2a，1a，、分別是11、1的中點(diǎn)，則1與所成角的余弦值是 鞏固作業(yè)正方體abcda1b1c1d1中，e、f、g分別為ab、bc、cc的中點(diǎn)，則ef與bg所成角的余弦值為  （   

12、; ）（a）  （b）  （c）  （d）- 考點(diǎn)3：直線與平面平行的求法典型例題例1 如圖所示，正方體abcda1b1c1d1中，側(cè)面對(duì)角線ab1，bc1上分別有兩點(diǎn)e，f，且b1e=c1f.求證：ef平面abcd.證明 方法一 分別過e，f作emab于m，fnbc于n，連接mn.bb1平面abcd，bb1ab，bb1bc，embb1，fnbb1，emfn.又b1e=c1f，em=fn，故四邊形mnfe是平行四邊形，efmn.又mn平面abcd，ef平面abcd，所以ef平面abcd.方法二 過e作egab交bb1于g，連接gf，則，b1e=c1f，b1a=c1

13、b，fgb1c1bc，又egfg=g，abbc=b，平面efg平面abcd，而ef平面efg，ef平面abcd.例2 已知p為abc所在平面外一點(diǎn)，g1、g2、g3分別是pab、pcb、pac的重心.（1）求證：平面g1g2g3平面abc；（2）求ssabc.（1）證明 如圖所示，連接pg1、pg2、pg3并延長(zhǎng)分別與邊ab、bc、ac交于點(diǎn)d、e、f，連接de、ef、fd，則有pg1pd=23， pg2pe=23，g1g2de.又g1g2不在平面abc內(nèi)，g1g2平面abc.同理g2g3平面abc.又因?yàn)間1g2g2g3=g2，平面g1g2g3平面abc.（2）解 由（1）知=，g1g2=d

14、e.又de=ac，g1g2=ac.同理g2g3=ab，g1g3=bc.g1g2g3cab，其相似比為13，ssabc=19.例3 （16分）如圖所示，平面平面，點(diǎn)a，c，點(diǎn)b，d,點(diǎn)e，f分別在線段ab，cd上，且aeeb=cffd.（1）求證：ef;（2）若e，f分別是ab，cd的中點(diǎn)，ac=4，bd=6，且ac，bd所成的角為60°，求ef的長(zhǎng).（1）證明 當(dāng)ab，cd在同一平面內(nèi)時(shí)，由，平面平面abdc=ac，平面平面abdc=bd，acbd，aeeb=cffd，efbd，又ef,bd,ef.當(dāng)ab與cd異面時(shí)，設(shè)平面acd=dh，且dh=ac.，平面acdh=ac，acdh，

15、四邊形acdh是平行四邊形，在ah上取一點(diǎn)g，使aggh=cffd，又aeeb=cffd，gfhd，egbh，又eggf=g，平面efg平面.ef平面efg，ef.綜上，ef.（2）解 如圖所示，連接ad，取ad的中點(diǎn)m，連接me，mf.e，f分別為ab，cd的中點(diǎn)，mebd，mfac，且me=bd=3，mf=ac=2，emf為ac與bd所成的角（或其補(bǔ)角），emf=60°或120°，在efm中由余弦定理得，ef=，即ef=或ef=.知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析定理見解 總結(jié)針對(duì)性練習(xí)1. 判斷下列命題是否正確，若正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由，若不正確，請(qǐng)給出反例:(1) 如果a、b

16、是兩條直線，且ab,那么a 平行于經(jīng)過b的任何平面；(2) 如果直線a和平面 滿足a ,那么a 與內(nèi)的任何直線平行(3) 如果直線a、b和平面 滿足a ,b ,那么a b ;(4) 如果直線a、b和平面 滿足a b,a ,b , 那么 b ;(5) 過平面外一點(diǎn)和這個(gè)平面平行的直線只有一條1.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是 .若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l;若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).2.下列條件中，不能判斷兩個(gè)平面平行的是 （填

17、序號(hào)）.一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面3.對(duì)于平面和共面的直線m、n，下列命題中假命題是 （填序號(hào)）.若m，mn，則n若m，n，則mn若m，n，則mn若m、n與所成的角相等，則mn4.已知直線a,b,平面，則以下三個(gè)命題：若ab,b,則a;若ab,a,則b;若a,b,則ab.其中真命題的個(gè)數(shù)是 .5.如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，m、n分別是bc和a1b1的中點(diǎn).求證：mn平面aa1c1.鞏固作業(yè)1.下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為 .直線l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則

18、l；若直線a在平面外，則a;若直線ab,直線b,則a；若直線ab,b,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線.2.對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于;存在平面，使得，都平行于;存在直線l,直線m,使得lm;存在異面直線l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定與平行的條件有 （寫出符合題意的序號(hào)）.3.已知平面平面,=l,點(diǎn)a,al,直線abl,直線acl,直線m,m,則下列四種位置關(guān)系中,一定成立的是 .abmacmabac4.設(shè)有直線m、n和平面、.下列命題不正確的是 （填序號(hào)）.若m,n,則mn若m，n,m,n,則若，m，則m若,m,m,則m5.下列關(guān)于互不相同

19、的直線m,l,n和平面，的四個(gè)命題：若m,l=a,點(diǎn)am，則l與m不共面；若m,l是異面直線，l,m,且nl,nm,則n;若l,m,則lm;若l,m,lm=a,l,m,則.其中假命題的序號(hào)是 .考點(diǎn)4：二面角典型例題dpcab1.如圖三棱錐 p-abc中，pc平面abc，pc = ，d是 bc的中點(diǎn)，且adc是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，求二面角 p-abc的大小。解：由已知條件，d是bc的中點(diǎn) cd =bd =2 又adc是正三角形 ad =cd =bd =2 d是abc之外心又在bc上 abc是以bac為直角的三角形， abac， 又 pc面abc paab (三垂線定理) pac即為二面角 p

20、-ab-c之平面角， 易求 pac =30°2.如圖在三棱錐 s-abc中，sa底面abc，abbc，de 垂直平分sc，且分別交 ac、sc于d、e，又sa =ab，bs =bc， 求以bd為棱，bde與bdc為面的二面角的度數(shù)。edbasc解： bs =bc，又de垂直平分sc besc，sc面bde bdsc，又sa面abc sabd，bd面sac bdde，且bddc 則 edc就是所要求的平面角 設(shè) sa =ab =a， 則 bc =sb =a 且 ac = 易證 sacdec cde =sac =60°3. 如圖：abcd是矩形，ab =8，bc =4，ac 與 bd 相交于o點(diǎn)，p是平面 abcd外一點(diǎn)，po面abcd，po =4，m 是 pc 的中點(diǎn)，求二面角 m-bd-c 大小。srnmobdpac解：取oc之中點(diǎn)n，則 mnpo po面abcd mn面abcd 且 mn =po/2 =2， 過 n 作 nrbd 于 r，連mr， 則 mrn即為二面角 m-bd-c的平面角 過 c 作 cebd于s 則 rn =ce 在 rtbcd中，cd·bc =bd·ce dbaec4.如圖abc與bcd所在平面垂直，且ab =bc =bd，abc =dbc =，求二面角 a-