三角形證明部分模型總結(jié)基礎(chǔ)資料

1、三角形部分模型總結(jié)斜邊中線模型構(gòu)成：rtabc,acb=,d為ab邊的中點(diǎn)目的：找等量關(guān)系，或2倍（1/2）的關(guān)系。結(jié)果：ad=cd=bd例 1 已知：abc中，a=，ceab,bdac 求證：de=bc 證明：取bc中點(diǎn)m，連結(jié)em,dm 先證em=dmem=bc=dm再證：2=-1-3 =-（-2abc）-（-2acb）=則edm為等邊三角形，所以有de=dm=bc“rt中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“等腰對(duì)等底”+“等量代換”例2已知：abc中，ceab,bdac，m,n分別為bc,de的中點(diǎn) 求證：mned證明：連結(jié)em,dm 先證 em=dmem=bc=dm 后證 mned n為中

2、點(diǎn)，em=dm“rt中斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三線合一定理”思考：若abc為鈍角，又該如何呢？在rt中，又是怎樣？例3已知：在abc中，ab=ac,bd為abc的角平分線，ambc,debc, fdbd 求證：me=bf 證明：取bd、bf中點(diǎn)g、n，連結(jié) dn， ef， gm 先證 dn=bf 再證：dn=dcdnc=c=abc dnab3=1 ab=ac 再證 gm=dc 后證 gm=memeg=mge gem=2 gmb=c=22 所以有me=dc=bf“rt中斜邊上的中線等于斜邊的一半(2次)”+“平行線性質(zhì)1”+“等腰對(duì)等底”+“三角形中位線定理”例4 如圖，在abc中，b=

3、2c，adbc與d,m為bc邊的中點(diǎn)，ab=10cm,則md長(zhǎng)為多少？ 解：取 ab中點(diǎn)n,連結(jié)dn,nm,則dn=ab, ndb= b, 且nmd= c ndb= nmd+ dnm b= c+ dnm=2cdnm=c=ndm 則dm=dn=ab“rt斜邊上的中線等于斜邊的一半”+“三角形中位線定理” +“外角性質(zhì)”+“等底對(duì)等腰”例5 如圖 ，rtabc中，c=，cd平分c，e為ab中點(diǎn)，peab,交cd延長(zhǎng)線于p,那么pac+pbc的大小是多少？解：連結(jié) ce ,則eac=ecadce=eca-dca=dac-又dac=180-adc-=-pdedce=(-pde)- =dpe 則pe =

4、ec=ae則可證pac+pbc=pab+bac+pba+abc=180“斜邊中線性質(zhì)”+“對(duì)頂角相等”+“等量代換”+“三角形內(nèi)角和定理”“三線合一”模型“角平分線”+垂線等腰三角形”構(gòu)成：oc為a0b的角平分線，bcoc于c點(diǎn)目的：構(gòu)造等腰三角形結(jié)果： 邊：bc=ac,oa=ob oc為oab的中線角：3=4，aco= oc為abo的高線全等：acobco例 1 已知：ad是abc的a的平分線，cdad于d,bead于ad的延長(zhǎng)線于e,m是bc邊上的中點(diǎn)。 求證：me=md 證明：延長(zhǎng) cd交ab于f點(diǎn)，be與延長(zhǎng)線交于點(diǎn) 為fc中點(diǎn)，為中點(diǎn)。 ，3 ， 則3則“三線合一定理的逆定理”“平行

5、線的性質(zhì)”“等底對(duì)等腰”例已知：abc為等腰直角三角形，a=,2,cebe 求證：bd=2ce 證明：延長(zhǎng) ce、ba交于f 點(diǎn) 先證 cf=2ce 再證 rtabdrtcaf “3=f”+”ab=ac”+”bad=caf” 則有bd=cf=2ce “三線合一定理的逆定理”+“asa全等”例3 已知：abc中，ce平分acb，且aece,aed+cae=180(3+4=180)求證：debc證明：延長(zhǎng)ae交bc邊于f點(diǎn)，則有3且35 3+4=180 4+5=180 56 則debc“三線合一定理的逆定理”“平行線的判定”例4 已知：在abc中，ac>ab,am為a的平分線，adbc于d

6、求證 ：mad=(b-c) 證明：作beam,交ac于e點(diǎn)，交am于k點(diǎn) 先證3=42 5aeb am為角平分線 beam 后證：b-c=4+5-c=4+aeb -c=24 則3=4= （b-c）即mad=(b-c)“三線合一逆定理”+“平行四邊形的判定”例 5 已知：在abc的兩邊ab 、ac上分別取bd=ce，f、g分別為de、bc的中點(diǎn)，a的平分線at交bc于t 求證：fgat 證明：作enat于n點(diǎn)，交ab于l點(diǎn)，作ckat于k點(diǎn)，連結(jié)fn、gk 先證：nf且=ld,kg且=mb 再證：ld=mblm=db=ec 最后證明四邊形fnkg為平行四邊形?！叭€合一定理的逆定理”“平行四邊形

7、判定”三角形中位線模型構(gòu)成：abc中，d 為ab邊中點(diǎn)目的：找中位線，構(gòu)造：2倍關(guān)系相似三角形結(jié)果：debc,de=bc adeabc例1 已知：在abc中，ab=ac,adbc于d,deac于e,f為de中點(diǎn) 求證：afbe 證明：取be中點(diǎn)h，連dh 先證：rtedhrtaed 則 rtedhrtaef 則 bed= 1 eaf+aeg= 則afbe “aaa”+“中位線定理”+“（兩直線）定義”例2 已知 bd、ce為abc的角平分線，afce 于f,agce于f,agbd于g 求證：fgbc fg=(ab+ac-bc) 證明：延長(zhǎng)af、ag 分別交bc于m、n 兩點(diǎn)證g為an中點(diǎn)bda

8、n 1=2 f為am中點(diǎn)3=4 ceam 則gf為anm中位線 gfbc, gf=mn mn=bn+cm-bc=ab+ac-bc“等腰三線合一”+“中位線定理”+“等量代換”思考：bd、ce為外角平分線時(shí)或一內(nèi)一外角平分線時(shí)，又該如何證明？例3 已知 ，如圖在abcd中，p為cd中點(diǎn)，ap延長(zhǎng)線交bc延長(zhǎng)線于e,pqce 交de于q 求證：pq=bc證明：先證adppce 可得 ce=ad=bc 再證 pq為中位線 ，pq=ce“aas”+“平行四邊形性質(zhì)”+“中位線定理”例4 已知：梯形abcd中，ab=dc,acbd,e、f為腰上中點(diǎn)，dlbc,m為dl與ef的交點(diǎn) 求證：ef=dl 證明

9、：取ad、ef的中點(diǎn) h、k,連結(jié) eh、fh、hk 易證ehhf 則hk=ef rtdlc中可得m為dl中點(diǎn)，則dm=dl 由題意得 hk=dm 則ef=dl“三角形中位線定理（3次）”+“平行線性質(zhì)”+“斜邊上中線為斜邊一半”例 5 已知：銳角abc中，以ab、ac為斜邊向外作等腰直角adb，aec,m為 bc中點(diǎn)，連結(jié)dm、me 求證：dm=em ,dmem 證明：取ab、ac的中點(diǎn)f、g,連結(jié)df 、fm、 me 先證dfmmge df=gmdfm=mge1=2=3 fm=ge則dm=me , 4=5再證dme=7+1+5=，則 dmem思考：bac為鈍角時(shí)，又該如何證明？“補(bǔ)長(zhǎng)截短”

10、模型（1） 截長(zhǎng)法： 構(gòu)成：線段a,b,c目的：確定一線段，找令一線段的等量關(guān)系結(jié)果： a-=ca=b+c， b=（2）補(bǔ)短法： 構(gòu)成：線段a,b,c目的：構(gòu)造一等長(zhǎng)線段，再找等量關(guān)系結(jié)果：c=，b+=aa=b+c例1 已知：abc中，ad平分bac 求：（1）若b=2c,則ab+bd=ac (2) 若ab+bd=ac,則b=2c解：（1）在ac上取ae=ab,連結(jié)de,則aedabd bd=ed3=b,ab=ae且3=2c=4+c 則ec=ed ac=ae+ec=ab+bd(2) (1)的反推過(guò)程“sas全等”+“的一外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和”+“等底等腰”例2已知：等腰abc中，ab=

11、ac, a=,bd平分abc 求證：bc=ab+dc證明： 在bc邊上取be=ba,連結(jié) de,則abdebdab=be 再證：3=4 4=，3=5-c=dc=ec 則bc=be+ec=ab+dc“sas 全等”+“兩外角等于不相鄰兩內(nèi)角和”+“等底對(duì)等腰”例 3 已知：在abc的邊bc上取be=cf，過(guò)e作ehab交ac于h,過(guò)f作fgab交ac于g 求證：eh+fg=ab證明：在ab上取bd=fg,連結(jié)de 先證dbegfc 再推3=c 再證四邊形adeh為平行四邊形則 fg+eh=ad+db=ab “sas 全等”+“平行線的判定”+“平行四邊形的判定”思考： 若在ac上截取ad=eh，

12、連df，如何證明？若用以下方法添加輔助線，又該如何證明？ a. 在ca上截取cd=gf,連dfb. 延長(zhǎng)he至d,使ed=gf,連adc. 延長(zhǎng)eh至d,使ed=ac,連cd例 4 已知：在正方形abcd中，m是cd的中點(diǎn)，e是cd上一點(diǎn)，且bae=2dam 求證：ae=bc+ce 證明：取bc的中點(diǎn)g，連結(jié)ag 延長(zhǎng)ab至f 使af=ae,連結(jié)fg ,ge 先證3=5 則3=4=5 后證rtafgrtaeg 則fg=ge 再證rtfbgrtecg 則bf=ec所以有ae=af=ab+bf=bc+ce“sas 全等”+“三線合一定理”+“等量代換”思考：若用以下方法添加輔助線，該如何證明？ a

13、. 在ae上截取af=ab,取bc中點(diǎn)g,連結(jié)ag,gf,ge b. 延長(zhǎng)dc至h,使ch=ab，連ah交bc于g例 5 已知：在正方形abcd中，e 為bc上任一點(diǎn)，ead的平分線交dc于f 求證：be+df=ae 證明：延長(zhǎng)cd 至g,使dg=be,連結(jié) ag,則rtabertadg, 得3=4再證5=1+4 ag=fg 所以有ae=ag=af =df+dg=df+be “平行線性質(zhì)2”+“等底對(duì)等腰”+“hlrt全等” “等腰等邊”模型 角平分線+平行線等腰 構(gòu)成：aob ,od為aob的角平分線 目的：構(gòu)造等腰，找等角，等邊 結(jié)果： oec為等腰oc=oe 3=c, 1=3例 1 已知

14、：abc中，ab=4,ac=7,m是bc中點(diǎn)，ad平分bac,過(guò)m點(diǎn)作mfad, 交ac于f 求：fc 的長(zhǎng)度? 解：延長(zhǎng)fm至n，使mf=mn,延長(zhǎng)mf、ba交于e點(diǎn) 先證:bmncmf bn=cf , n=mfc 再證：e=bad=cad=cfm=afe=nae=af,bn=be 則有：ab+ac=ab+af+fc=ab+ae+fc=be+fc=nb+fc=2fc 所以有：fc= (ab+ac)=5.5 “sas 全等”+“平行線性質(zhì)”+“對(duì)頂角相等”+“等底對(duì)等腰”例 2 已知：銳角abc中，abc=2c, abc的平分線與ad垂直，垂足為d 求證：ac=2bd 證明：過(guò)a作bc平行線，

15、延長(zhǎng)be交平行線于f 先證：abf為等腰bf=2bd 再證：ae+ec=ef+be ae=ef 3=4 be=ec 2=c 即 ac=bf=2bd“等底等腰” +“等腰三線合一”+“平行線性質(zhì)2”例 3 已知：在abc中，a=100,ab=ac,be是b 的平分線求證：ae+be=bc證明：過(guò)e作edbc交ab于d,延長(zhǎng)ca至a使ef=bc 連結(jié)fd先證：de=db=ec再證：defecbfd=be后證：fd=fa4=5=90所以有：ae+be=ae+fd=ae+fa=ef=bc“平行線性質(zhì)”+“等底等腰”+“sas全等”例 4 已知：abc中，ab=ac,ad為abc的角平分線，p為bc上一

16、點(diǎn)，過(guò)p 作ad的平行線交ba的延長(zhǎng)線于e，交ac于f 求證：2ad=pe+pf 證明：延長(zhǎng)ad，fp,過(guò)c作ab平行線，交于g、h 點(diǎn) 先證：ad=dg,ph=fp 1=2=3=4=5 后證：ag=eh四邊形aehg為平行四邊形 則有：2ad=ag=eh=ep+ph=ep+fp“等底等腰”+“平行線性質(zhì)1”+“平行四邊形判定及性質(zhì)”倍長(zhǎng)中線模型 構(gòu)成（條件）：abc中，ad為中線目的：（1）構(gòu)造全等三角形 找等量關(guān)系（邊）（2）構(gòu)造平行線 找等角關(guān)系結(jié)果：（1）bdeadc be=ac （2）ae=2ad 1=2，3=4acbe例1： 已知：ad為abc 中線，e為ac上一點(diǎn)，且ae=fe

17、求證：ac=bf證明：（倍長(zhǎng)中線）bdgcda g=eaf，bg=ac 再g=3bf=bg“sas 全等”+“等底 等腰”+“等量代換”例2 ：已知：ce、cb分別是abc、acd的中線，且ab=ac，求證：cd=2ce證明：倍長(zhǎng)ce，連結(jié)bmmebcea（sas）me=ec+meb=aec+be=aembcdbc（sas）mb=bd+mbc=dbc+ bc=bc dc=mc=2ec“等腰對(duì)等底”+“外角=兩內(nèi)角和”+“sas 全等” 例3：已知rtbac中，a=90，d為bc邊中點(diǎn)，e、f分別為邊ab、ac上一動(dòng)點(diǎn)，且edfd。求證：ef=be+cf。證明：倍長(zhǎng)fd至g， 連結(jié)bg、eg先證

18、cfdbgdcf=bg，c=gbd（acbg）rtebg中，eg2=bg2+be2=fc2+be2egf為等腰 ，則ef2=be2+cf2“sas全等”+“勾股定理”+“等腰三線合一”例4：已知：abc中，ad為中線，ab邊長(zhǎng)為x ，ac邊長(zhǎng)為y，求中線ad 的取值范圍。解：倍長(zhǎng)ad 連結(jié)be abe中， |x-y|2adx+y “sas 全等”+“等量代換”+“三邊關(guān)系”例5：已知m是abc的邊bc上的中點(diǎn)，過(guò)bc上一點(diǎn)d 引直線平行于am交ab于e，交ca的延長(zhǎng)線于f 求證：ed+df=2am證明：倍長(zhǎng)am ，連結(jié)bh 延長(zhǎng)ed交bh于k先證四邊形fahk為平行四邊形ah=fk再證ed=

19、dked/am=dk/hm，am=mh ed+fd=fk=ah=2am“sas 全等”+“平行四邊形定義及性質(zhì)”+“比例性質(zhì)”+“等量代換”練習(xí) 已知：abc 中，ad是角平分線，m是bc中點(diǎn)，mfda，mf交ab、ca的延長(zhǎng)線于e、f。求證：be=cf證明：倍長(zhǎng)fm 連結(jié)bg先證bmgcmfbg=cf，g=f fcbg再證1=f=gbe=bg=cf“sas 全等”+“兩直線平行，同位角相等”+“等底對(duì)等腰”+“等量代換”面積法 （1） 構(gòu)成：adbc，abc，bcd 。 目的：找等積 . 結(jié)果：sabc =sbcd.（2）構(gòu)成：efbc，abc，aef 。 目的：找比例線段。結(jié)果：saef

20、：sabc=af2：ac2=ae2：ab2=ef2：bc2（3）構(gòu)成：l1l2l3，線段ac、bd，ad、bc相交于點(diǎn)o。 目的：找比例線段。結(jié)果： ae ：ec=ao：od=bo：co=bf：fd例1：在abc的邊ab、ac上分別取點(diǎn)d、e，使debc ，在ab上取點(diǎn)f， 使sade=sbfc。求證：ad2=ab*bf。證明：“sade ：sabc=ad2：ab2”+“ sade ：sabc= sbfc ：sabc=fb：ab” ad2：ab2=fb：ab ad2 =fb*ab“相似面積比”+“同高面積比”+“比例的基本性質(zhì)”例2：已知：abc中，acb=900，ce平分acb 交ab于e，efac 于f。 求證：。證明：過(guò)e作edbc 于 dsabc = sbec +saecbc*