拉格朗日插值公式--計(jì)算方法ppt課件

1、2011-6-1;.11.2 拉格朗日插值公式 -數(shù)值分析簡(jiǎn)明教程1、線性插值2、拋物插值3、一般情況2011-6-1;.2首先考察線性插值的簡(jiǎn)單情形。 問(wèn)題3 求作一次式p1(x)，使?jié)M足條件：p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 從幾何圖形上看，y=p1(x)表示通過(guò)兩點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1)的直線。因此，一次插值亦稱線性插值。上述簡(jiǎn)單的線性插值是人們所熟悉的，它的解p1(x)可表為下列點(diǎn)斜式 例2 已知 (3)解：這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令x=115代入（3）,求得y=10.71428，這個(gè)結(jié)果有3位有效數(shù)字（試與例1的結(jié)果相比較）.1、線性插值

2、001010)( 1xxxxyyyxp115y,11121,10100求2011-6-1;.3 我們知道，線性公式（3）亦可表示為下列對(duì)稱式 （4） 若令： 則有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x) （5） 注意，這里的l0(x)和l1(x)分別可以看做是滿足條件 l0(x0)=1 , l0(x1)=0 l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多項(xiàng)式.這兩個(gè)特殊的插值多項(xiàng)式稱作問(wèn)題3的插值基函數(shù)插值基函數(shù) （參考圖1-1、1-2）. 式（5）表明，插值問(wèn)題3的解p1(x)可以通過(guò)插值基函數(shù)l0(x)和l1(x)組合得出，且組合系數(shù)恰為所給數(shù)據(jù)y0,y1.101001011)(y

3、xxxxyxxxxxp1010)(xxxxxl0101)(,xxxxxl2011-6-1;.4yxx10 x01l0(x)0 x1x01l1(x)圖 1-1圖 1-22011-6-1;.52、拋物插值 線性插值僅僅利用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信息，精確度自然很低，為了提高精確度，進(jìn)一步考察下述二次插值。 問(wèn)題4 求作二次式p2(x),使?jié)M足條件p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的幾何解釋是，用通過(guò)三點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的拋物線y=p2(x)來(lái)近似所考察的曲線y=f(x),因此這類插值亦稱為拋物插值。2011-6-1;.6 為了得出插

4、值公式為了得出插值公式p2(x),先解決一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題：求作二次式先解決一個(gè)特殊的二次插值問(wèn)題：求作二次式l0(x)，使?jié)M足條件，使?jié)M足條件 l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0 （7） 這個(gè)問(wèn)題是容易求解的，事實(shí)上，由式（這個(gè)問(wèn)題是容易求解的，事實(shí)上，由式（7）的后兩個(gè)條件知，）的后兩個(gè)條件知，x1,x2是是l0(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，因而的兩個(gè)零點(diǎn)，因而 l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一個(gè)條件 l0(x0)=1確定系數(shù)c，結(jié)果得出 類似的可以構(gòu)造出滿足條件：l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(

5、x1)=0。 )()()(2010200 xxxxxxxxxl2011-6-1;.7 的插值多項(xiàng)式l1(x)與l2(x),其表達(dá)式分別為： 這樣構(gòu)造出的l0(x),l1(x)和l2(x)稱作問(wèn)題4的插值基函數(shù) 設(shè)取已知數(shù)據(jù)y0,y1,y2作為組合系數(shù)，將插值基函數(shù)l0(x),l1(x),l2(x)組合得： 容易看出這樣構(gòu)造出的p2(x)滿足條件（6）。因而他就是問(wèn)題4的解) 8 ()()()()()()()(2120210121010020102122yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxp)()()(,)()()(12021021201201xxxxxxxxxlxxxxxx

6、xxxl2011-6-1;.8 例3 利用100,121和144的開(kāi)方值求 解：用拋物插值，這里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=144,y2=12.令x=115代人式（8），求得 近似值為10.7228.同精確值比較，這里得到有4位有效數(shù)字的結(jié)果。1151152011-6-1;.93.一般情況 進(jìn)一步求解一般形式的問(wèn)題進(jìn)一步求解一般形式的問(wèn)題2.仿照線性插值和拋物插值所采用的方法，仿照線性插值和拋物插值所采用的方法，仍從構(gòu)造所謂插值基函數(shù)入手仍從構(gòu)造所謂插值基函數(shù)入手.這里的插值基函數(shù)這里的插值基函數(shù)lk(x)=0,1,2,n)是是n次多項(xiàng)式，且滿足條件次多項(xiàng)式，且滿

7、足條件 這表明除xk以外的所有節(jié)點(diǎn)都是lk(x)的零點(diǎn)故)9(, 1, 0)(kjkjxlkjjknkjjjkxxcxl0)()(2011-6-1;.10 這里的含義是累乘， 表示乘積遍取下標(biāo)j從0到除k以外的全部值. 利用插值基函數(shù)容易得出問(wèn)題2的解 事實(shí)上由于每個(gè)插值基函數(shù)lk(x)都是n次式，pn(x)的次數(shù)n，又據(jù)（9）式有 即pn(x)滿足插值條件（2）. nkjj0)10()()()(000knknkjjjkjnkkknyxxxxxlyxp inkikknyxlyxp0)()( 式（10）稱作拉格朗日插值公式.該公式的形式對(duì)稱，結(jié)構(gòu)緊湊，因而容易編寫(xiě)計(jì)算程序.事實(shí)上，式（10）的邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán).內(nèi)循環(huán)（j循環(huán)），然后再通過(guò)外循環(huán)（k循環(huán)）累加得出插值結(jié)果y.圖1-3是拉格朗日方法的算法圖框.2011-6-1;.11n n, ,1 1, ,k k1 1, ,k k, ,