中考幾何最值問題含答案

1、幾何最值問題一選擇題（共6小題）1（2015孝感一模）如圖，已知等邊abc的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)d為ac的中點(diǎn)，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p為bd上一點(diǎn)，則pe+pc的最小值為（）a3b3c2d3考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：由題意可知點(diǎn)a、點(diǎn)c關(guān)于bd對(duì)稱，連接ae交bd于點(diǎn)p，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，pa=pc，故pe+pc=ae，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，ae即為pe+pc的最小值解答：解：abc是等邊三角形，點(diǎn)d為ac的中點(diǎn)，點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，bdac，ec=3，連接ae，線段ae的長(zhǎng)即為pe+pc最小值，點(diǎn)e是邊bc的中點(diǎn)，aebc，ae=3，pe+pc的最小值是3故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查的是

2、軸對(duì)稱最短路線問題，熟知等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵2（2014鄂城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段ab，ab=50cm，a、b到x軸的距離分別為10cm和40cm，b點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為30cm，現(xiàn)在在x軸、y軸上分別有動(dòng)點(diǎn)p、q，當(dāng)四邊形pabq的周長(zhǎng)最短時(shí)，則這個(gè)值為（）a50b50c5050d50+50考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：過b點(diǎn)作bmy軸交y軸于e點(diǎn)，截取em=be，過a點(diǎn)作anx軸交x軸于f點(diǎn)，截取nf=af，連接mn交x，y軸分別為p，q點(diǎn)，此時(shí)四邊形pabq的周長(zhǎng)最短，根據(jù)題目所給的條件可求出周長(zhǎng)解答：解：過b點(diǎn)作bmy

3、軸交y軸于e點(diǎn)，截取em=be，過a點(diǎn)作anx軸交x軸于f點(diǎn)，截取nf=af，連接mn交x，y軸分別為p，q點(diǎn)，過m點(diǎn)作mkx軸，過n點(diǎn)作nky軸，兩線交于k點(diǎn)mk=40+10=50，作blx軸交kn于l點(diǎn)，過a點(diǎn)作asbp交bp于s點(diǎn)ln=as=40kn=60+40=100mn=50mn=mq+qp+pn=bq+qp+ap=50四邊形pabq的周長(zhǎng)=50+50故選d點(diǎn)評(píng)：本題考查軸對(duì)稱最短路線問題以及坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵是找到何時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最短，以及構(gòu)造直角三角形，求出周長(zhǎng)3（2014秋貴港期末）如圖，abbc，addc，bad=110°，在bc、cd上分別找一點(diǎn)m、n，當(dāng)

4、amn周長(zhǎng)最小時(shí)，man的度數(shù)為（）a30°b40°c50°d60°考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)要使amn的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出a關(guān)于bc和cd的對(duì)稱點(diǎn)a，a，即可得出aam+a=haa=70°，進(jìn)而得出mab+nad=70°，即可得出答案解答：解：作a關(guān)于bc和cd的對(duì)稱點(diǎn)a，a，連接aa，交bc于m，交cd于n，則aa即為amn的周長(zhǎng)最小值，作da延長(zhǎng)線ah，dab=110°，haa=70°，aam+a=haa=70°，maa=mab，nad

5、=a，mab+nad=70°，man=110°70°=40°故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出m，n的位置是解題關(guān)鍵4（2014無錫模擬）如圖，mon=90°，矩形abcd的頂點(diǎn)a，b分別在om、on上，當(dāng)b在邊on上運(yùn)動(dòng)時(shí)，a隨之在邊om上運(yùn)動(dòng)，矩形abcd的形狀保持不變，其中ab=2，bc=運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)d到點(diǎn)o的距離最大時(shí)，oa長(zhǎng)度為（）abc2d考點(diǎn)：勾股定理；三角形三邊關(guān)系；直角三角形斜邊上的中線菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：取ab的中點(diǎn)，連接o

6、e、de，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出oe，利用勾股定理列式求出de，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出o、e、d三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)d到點(diǎn)o的距離最大，過點(diǎn)a作afod于f，利用ade的余弦列式求出df，從而得到點(diǎn)f是od的中點(diǎn)，判斷出af垂直平分od，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得oa=ad解答：解：如圖，取ab的中點(diǎn)，連接oe、de，mon=90°，oe=ae=ab=×2=1，三邊形abcd是矩形，ad=bc=，在rtade中，由勾股定理得，de=2，由三角形的三邊關(guān)系得，o、e、d三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)d到點(diǎn)o的距離最大，此時(shí)，od=oe+

7、de=1+2=3，過點(diǎn)a作afod于f，則cosade=，即=，解得df=，od=3，點(diǎn)f是od的中點(diǎn)，af垂直平分od，oa=ad=故選b點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，作輔助線并判斷出od最大時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀5（2015鞍山一模）如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)e在邊bc上且ce=1，長(zhǎng)為的線段mn在ac上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形bmne的周長(zhǎng)最小時(shí)，則tanmbc的值是（）abcd1考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)題意得出作e

8、fac且ef=，連結(jié)df交ac于m，在ac上截取mn=，此時(shí)四邊形bmne的周長(zhǎng)最小，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案解答：解：作efac且ef=，連結(jié)df交ac于m，在ac上截取mn=，延長(zhǎng)df交bc于p，作fqbc于q，則四邊形bmne的周長(zhǎng)最小，由feq=acb=45°，可求得fq=eq=1，dpc=fpq，dcp=fqp，pfqpdc，=，=，解得：pq=，pc=，由對(duì)稱性可求得tanmbc=tanpdc=故選：a點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出m，n的位置是解題關(guān)鍵6（2015江干區(qū)一模）如圖，abc中，ca=cb，ab=6，cd=4，

9、e是高線cd的中點(diǎn)，以ce為半徑cg是c上一動(dòng)點(diǎn)，p是ag中點(diǎn)，則dp的最大值為（）abc2d考點(diǎn)：圓的綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)d是ab的中點(diǎn)，然后根據(jù)三角形中位線定理可得dp=bg，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短就可解決問題解答：解：連接bg，如圖ca=cb，cdab，ab=6，ad=bd=ab=3又cd=4，bc=5e是高線cd的中點(diǎn)，ce=cd=2，cg=ce=2根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：bgcg+cb=2+5=7當(dāng)b、c、g三點(diǎn)共線時(shí)，bg取最大值為7p是ag中點(diǎn)，d是ab的中點(diǎn)，pd=bg，dp最大值為故選a點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)

10、、三角形中位線定理、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，利用三角形中位線定理將dp轉(zhuǎn)化為bg是解決本題的關(guān)鍵二填空題（共3小題）7（2014江陰市校級(jí)模擬）如圖，線段ab的長(zhǎng)為4，c為ab上一動(dòng)點(diǎn)，分別以ac、bc為斜邊在ab的同側(cè)作等腰直角acd和等腰直角bce，那么de長(zhǎng)的最小值是2考點(diǎn)：等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：設(shè)ac=x，bc=4x，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，得出cd=x，cd=（4x），根據(jù)勾股定理然后用配方法即可求解解答：解：設(shè)ac=x，bc=4x，abc，bcd均為等腰直角三角形，cd=x，cd=（4x），acd=45°，bcd=45°，dce=90

11、76;，de2=cd2+ce2=x2+（4x）2=x24x+8=（x2）2+4，當(dāng)x取2時(shí)，de取最小值，最小值為：4故答案為：2點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值及等腰直角三角形，難度不大，關(guān)鍵是掌握用配方法求二次函數(shù)最值8（2012河南校級(jí)模擬）如圖，矩形abcd中，ab=4，bc=8，e為cd邊的中點(diǎn)，點(diǎn)p、q為bc邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且pq=2，當(dāng)bp=4時(shí)，四邊形apqe的周長(zhǎng)最小考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：要使四邊形apqe的周長(zhǎng)最小，由于ae與pq都是定值，只需ap+eq的值最小即可為此，先在bc邊上確定點(diǎn)p、q的位置，可在ad上截取線段af=de=2，作f點(diǎn)關(guān)

12、于bc的對(duì)稱點(diǎn)g，連接eg與bc交于一點(diǎn)即為q點(diǎn)，過a點(diǎn)作fq的平行線交bc于一點(diǎn)，即為p點(diǎn)，則此時(shí)ap+eq=eg最小，然后過g點(diǎn)作bc的平行線交dc的延長(zhǎng)線于h點(diǎn)，那么先證明geh=45°，再由cq=ec即可求出bp的長(zhǎng)度解答：解：如圖，在ad上截取線段af=de=2，作f點(diǎn)關(guān)于bc的對(duì)稱點(diǎn)g，連接eg與bc交于一點(diǎn)即為q點(diǎn)，過a點(diǎn)作fq的平行線交bc于一點(diǎn)，即為p點(diǎn)，過g點(diǎn)作bc的平行線交dc的延長(zhǎng)線于h點(diǎn)gh=df=6，eh=2+4=6，h=90°，geh=45°設(shè)bp=x，則cq=bcbppq=8x2=6x，在cqe中，qce=90°，ceq=

13、45°，cq=ec，6x=2，解得x=4故答案為4點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，是一道難度較大的題目，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求9（2013武漢）如圖，e，f是正方形abcd的邊ad上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足ae=df連接cf交bd于點(diǎn)g，連接be交ag于點(diǎn)h若正方形的邊長(zhǎng)為2，則線段dh長(zhǎng)度的最小值是1考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ab=ad=cd，bad=cda，adg=cdg，然后利用“邊角邊”證明abe和dcf全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得1=2，利用“sas”證明adg和cdg全等，根據(jù)全等三角形對(duì)

14、應(yīng)角相等可得2=3，從而得到1=3，然后求出ahb=90°，取ab的中點(diǎn)o，連接oh、od，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得oh=ab=1，利用勾股定理列式求出od，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)o、d、h三點(diǎn)共線時(shí)，dh的長(zhǎng)度最小解答：解：在正方形abcd中，ab=ad=cd，bad=cda，adg=cdg，在abe和dcf中，abedcf（sas），1=2，在adg和cdg中，adgcdg（sas），2=3，1=3，bah+3=bad=90°，1+bah=90°，ahb=180°90°=90°，取ab的中點(diǎn)o，連接oh

15、、od，則oh=ao=ab=1，在rtaod中，od=，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，oh+dhod，當(dāng)o、d、h三點(diǎn)共線時(shí)，dh的長(zhǎng)度最小，最小值=odoh=1（解法二：可以理解為點(diǎn)h是在rtahb，ab直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)當(dāng)o、h、d三點(diǎn)共線時(shí)，dh長(zhǎng)度最?。┕蚀鸢笧椋?點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出dh最小時(shí)點(diǎn)h的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)三解答題（共1小題）10（2015黃岡中學(xué)自主招生）閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在abc（其中bac是一個(gè)可以變化的角）中，ab=2，ac=4，以bc為

16、邊在bc的下方作等邊pbc，求ap的最大值小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合他的方法是以點(diǎn)b為旋轉(zhuǎn)中心將abp逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到abc，連接aa，當(dāng)點(diǎn)a落在ac上時(shí)，此題可解（如圖2）請(qǐng)你回答：ap的最大值是6參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3，等腰rtabc邊ab=4，p為abc內(nèi)部一點(diǎn)，則ap+bp+cp的最小值是（或不化簡(jiǎn)為）（結(jié)果可以不化簡(jiǎn)）考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知aa=ab=ba=2，ap=ac，所以在aac中，利用三角

17、形三邊關(guān)系來求ac即ap的長(zhǎng)度；（2）以b為中心，將apb逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到a'p'b根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推知pa+pb+pc=p'a+p'b+pc當(dāng)a'、p'、p、c四點(diǎn)共線時(shí)，（p'a+p'b+pc）最短，即線段a'c最短然后通過作輔助線構(gòu)造直角三角形adc，在該直角三角形內(nèi)利用勾股定理來求線段ac的長(zhǎng)度解答：解：（1）如圖2，abp逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到abc，aba=60°，ab=ab，ap=acaba是等邊三角形，aa=ab=ba=2，在aac中，acaa+ac，即ap6，則當(dāng)點(diǎn)aa、c三點(diǎn)共線時(shí)，ac=aa+ac，即ap=6，即ap的最大值是：6；故答案是：6（2）如圖3，rtabc是等腰三角形，ab=bc以b為中心，將apb逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到a'p'b則a'b=ab=bc=4，pa=pa，pb=pb，pa+pb+pc=pa+p'b+pc當(dāng)a'、p'、p、c四點(diǎn)共