詳解數(shù)列求和的方法+典型例題

1、_詳解數(shù)列求和的常用方法數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。第一類：公式法利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式n( a1an )na1n(n1)dSn222、等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式na1 (q1)Sna1 (1 qn ) a1an q(q 1)1q1q3、常用幾個(gè)數(shù)列的求和公式n1 n( n 1)（ 1）、 Snk 1 2 3nk12nk 2122232n 21 n( n 1)(2n 1)（ 2）、 Snk16nk 3132333n3 1 n(n 1) 2（ 3）、 Snk12第二

2、類：乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減（等差等比）-可編輯修改 -_這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列 anbn 的前 n 項(xiàng)和，其中 an ， bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例 1 ：求數(shù)列 nq n 1 ( q 為常數(shù) )的前 n 項(xiàng)和。解：、若q =0 ， 則 Sn =0、若q =1 ，則 Sn123n1 n(n 1)2、若 q 0 且 q 1，則 Sn1 2q 3q2nq n 1qSnq 2q 2 3q3nq n式式： (1q) Sn1qq 2q3q n 1nq nSn1 (1 q q 2 q 3qn 1nq n )1qSn11q nn)1(qnqq 1Sn1q

3、 nnqn(1q) 21q0(q0)綜上所述： Sn1 n(n1)(q 1)21qnnqn(q 0且 q 1)(1q) 21 q解析：數(shù)列 nq n 1 是由數(shù)列n 與 q n 1 對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的， 此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，（課本中的的等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意應(yīng)按以上三種情況進(jìn)行分類討論，最后再綜合成三種情況。第三類：裂項(xiàng)相消法-可編輯修改 -_這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用。裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：1、乘積形式，如：（ 1）、 an111n(n1)nn1（ 2

4、）、 an(2n(2n) 211 (11)1)(2n 1)22n 1 2n1（ 3）、 ann(n12)1 11)(n11)( n2n(n1)(n2)（4）、n 212(n 1) n 111,則 Sn 11an2nn(n1)2nn2n 1(n1)2n1) 2nn(n 1)(n2、根式形式，如：an1n1n1nn例 2 ：求數(shù)列1，1，1，1，的前 n 項(xiàng)和 Sn123n(n2341)1=11解：nn1n(n1)Sn11111112233nn1Sn11n1例 3 ：求數(shù)列1，21，1，1，的前 n 項(xiàng)和 Sn13435n(n2)解：由于：1111）n(n2)=(nn22-可編輯修改 -_則： S

5、n1 (11) (11)( 11 )2324nn 2Sn1 (111n1 )22n 12311Sn42n22n4解析：要先觀察通項(xiàng)類型，在裂項(xiàng)求和時(shí)候，尤其要注意：究竟是像例2 一樣剩下首尾兩項(xiàng)，還是像例3 一樣剩下四項(xiàng)。第四類：倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n 個(gè) ( 1an )。a例 4 ：若函數(shù) f ( x) 對(duì)任意 xR 都有f ( x)f (1x)2。（ 1） anf (0)f ( 1) f ( 2)f ( n 1)f (1)，數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？是nnn證明你的結(jié)論；（ 2）求數(shù)列 1

6、的的前 n 項(xiàng)和 Tn 。an 1an解：（1 ）、 anf (0)f ( 1 )f ( 2)f ( n1)f (1) （倒序相加）nnnanf (1)n1n 21)f (0)f ()f (n)f (nn101n12n21nnnn則，由條件：對(duì)任意xR 都有 f (x)f (1x)2 。2an2 2 22 （2 n 1）ann1an1n2an 1an1-可編輯修改 -_從而：數(shù)列 an 是 a12, d1的等差數(shù)列。（ 2）、1111anan 1( n 1)(n 2)n 1 n 2Tn =1111233445（ n1） (n 2)11111111nTn = 23 3 4n 1 n 2 2 n

7、2 2n 4故：=n2n4Tn解析：此類型關(guān)鍵是抓住數(shù)列中與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等這一特點(diǎn)來進(jìn)行倒序相加的。此例題不僅利用了倒序相加法，還利用了裂項(xiàng)相消法。在數(shù)列問題中， 要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用不同的方法加以求解。第五類：分組求和法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例 5：求數(shù)列 1+ n2 n 1的前 n 項(xiàng)和 Snn(n1)解：令 an11)bnn2n 1n(nSn(a1b1 ) (a2b2 ) (a3b3 )(an bn )Sn(a1a2a3an ) (b1b2 b3bn )Sn(111111n

8、1)(122322n 2n 1 )21233n1Sn(1)(122322n 2n 1 )n1-可編輯修改 -_令 Tn122322n 2n 12Tn2222323n 2n式式： (1 2)Tn122 2232n 1n2nTn(1222232n 1n 2n )Tn(12 nn2 n )12Tn(n1)2 n1故： Sn(11 ) ( n 1)2n1 21(n 1) 2nn11n 1例 6：求數(shù)列 ( xn2的前n 項(xiàng)和Snxn )分析：將 an(x n1) 2 用完全平方和公式展開，再將其分為幾個(gè)數(shù)列的和進(jìn)行求解。1x n1111an(xn2=( xn)22 xn2= x2 n22 n2 (2

9、n解：x n )x n( x n)x2 n = xx )Sn x22 ( 1 )2 x42 (1)4 x 2n2 ( 1) 2n xxxSn( x2x4x 2n ) (2 22) ( 1)2(1)4( 1 ) 2n xxx（首項(xiàng) x 2 ，公比 x 2 等比數(shù)列）（常數(shù)列）（首項(xiàng) ( 1)2 ，公比 (1) 2 等比數(shù)列）xx、令Tx 2x4x2 nn x 1時(shí)， Tnx2x 4x2n = 1 11 n x 1 時(shí)， Tnx 2x4x 2n=x2x 2nx2x 2n 2x 21x 2x 21、令M n2222n、令 Gn(1)2(1) 4( 1 ) 2nxxx-可編輯修改 -_ x 1時(shí)， G

10、n( 1)2(1)4( 1 ) 2n1 11 nxxx x 1 時(shí)， Gn(1)2(1) 4(1 ) 2nxxx1)212n1)211x2 n 2x2( )(= x2x2 n 2= x2x 2n 2= xx1x1()2x21x 21xx2x2x 2n 2x 2x2=x 2( x2n1)=2x2 n 2x22n x2( x21)x1 x=x2n12n (x 21)x綜上所述： x 1時(shí)， SnTnM nG nn2n n4n x 1 時(shí)， SnTnM nx2 n 2x22nx2n1Gnx21x 2n (x 21)這個(gè)題，除了注意分組求和外，還要注意分類討論思想的應(yīng)用。第六類：拆項(xiàng)求和法在這類方法中

11、， 我們先研究通項(xiàng)， 通項(xiàng)可以分解成幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差的形式，再代入公式求和。例 7 ：求數(shù)列9， 99 ，999 ，的前 n 項(xiàng)和 Sn分析：此數(shù)列也既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列啟發(fā)學(xué)生先歸納出通項(xiàng)公式an10 n1 可轉(zhuǎn)化為一個(gè)等比數(shù)列與一個(gè)常數(shù)列。分別求和后再相加。解：由于：an10n1則： Sn99999-可編輯修改 -_Sn(1011)(10 21)(1031)(10n1)Sn(10110210310 n )(11 11)Sn1010 n10n110Sn10n110n91111例 8 ：Sn = 1 22 43 8n 2n解：由于： an1n1nn2n21111則：Sn = (1 23n)() （等差 +等比，利用公式求和）2482n11(1(1) n )=1)22n(n1212=1 n(n1)1 ( 1 )