數(shù)學(xué)建模-人口模型

1、論文題目： 中國(guó)人口模型與預(yù)測(cè) 2011-6-28中國(guó)人口模型與預(yù)測(cè)目錄一.摘要2二.問題的提出4三.問題的分析4四.建模過程51）Malthus模型51.模型假設(shè)52.定義符號(hào)說明53.模型建立64.模型求解62）Logistic模型91.基本假設(shè)92.定義符號(hào)說明93.模型建立94.模型求解11五.模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)19六.參考文獻(xiàn)20摘要以2010年11月1日零時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)點(diǎn)，中國(guó)大陸31個(gè)省、自治區(qū)、直轄市和現(xiàn)役軍人的人口共13.397億。13億是一個(gè)憂慮的數(shù)字。13億人要吃飯、要穿衣、要上學(xué)、要就業(yè)、要住房，消費(fèi)的需求乘以13億，就是一個(gè)龐大的數(shù)目，而我國(guó)的耕地、水資源、森林以及礦產(chǎn)資源

2、本來就稀缺，再除以13億，就少得可憐。平均每人耕地面積只有1.4畝，水資源只相當(dāng)于世界人均水平的1/4.、中國(guó)是世界上人口最多的發(fā)展中國(guó)家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有資源相對(duì)不足，是我國(guó)的基本國(guó)情，人口問題一直是制約中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的首要因素。當(dāng)前中國(guó)的人口存在著最為明顯的三大特點(diǎn)：（1）人口基數(shù)大，人口數(shù)量的控制難度仍很大。（2）人口整體素質(zhì)不高，特別是縣域及以下農(nóng)村人口素質(zhì)普遍偏低。（3）人口結(jié)構(gòu)不合理，城鄉(xiāng)差別、地區(qū)差別和人口素質(zhì)差別很大。人口數(shù)量、質(zhì)量和年齡分布直接影響一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、資源配置、社會(huì)保障、社會(huì)穩(wěn)定和城市活力。在我國(guó)現(xiàn)代化進(jìn)程中，必須實(shí)現(xiàn)人口與經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、資源、

3、環(huán)境協(xié)調(diào)發(fā)展和可持續(xù)發(fā)展，進(jìn)一步控制人口數(shù)量，提高人口質(zhì)量，改善人口結(jié)構(gòu)。對(duì)此，單純的人口數(shù)量控制（如已實(shí)施多年的計(jì)劃生育）不能體現(xiàn)人口規(guī)劃的科學(xué)性。政府部門需要更詳細(xì)、更系統(tǒng)的人口分析技術(shù)，為人口發(fā)展策略的制定提供指導(dǎo)和依據(jù)。我國(guó)是世界第一人口大國(guó)，地球上每九個(gè)人中就有二個(gè)中國(guó)人，在20世紀(jì)的一段時(shí)間內(nèi)我國(guó)人口的增長(zhǎng)速度過快，如下表：年198219831984198519861987198819891990人口（萬）101654103008104357105851107507109300111026112704114333年19911992199319941995199619971998人口

4、（萬）115823117171118517119850121121122389123626124810有效地控制人口的增長(zhǎng)，不僅是使我國(guó)全面進(jìn)入小康社會(huì)、到21世紀(jì)中葉建成富強(qiáng)民主文明的社會(huì)主義國(guó)家的需要，而且對(duì)于 全人類社會(huì)的美好理想來說，也是我們義不容辭的責(zé)任。長(zhǎng)期以來，對(duì)人口年齡結(jié)構(gòu)的研究?jī)H限于粗線條的定性分析，只能預(yù)測(cè)年齡結(jié)構(gòu)分布的大致范圍，無法用于分析年齡結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)。隨著對(duì)人口規(guī)劃精準(zhǔn)度要求的提高，通過數(shù)學(xué)方法來定量計(jì)算各種人口指數(shù)的方法日益受到重視，這就是人口控制和預(yù)測(cè)。 我國(guó)人口問題已積重難返，對(duì)我國(guó)人口進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是制定合理的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展規(guī)劃的重要依據(jù)。本文根據(jù)人口預(yù)測(cè)的

5、重要意義及其特點(diǎn)，并采用了英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯提出的預(yù)測(cè)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型（MALTHUS模型）及荷蘭生物數(shù)學(xué)家VERHULST提出的阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型），合理的建立了中國(guó)人口發(fā)展MALTHUS模型與Logistic模型并對(duì)中國(guó)未來人口進(jìn)行了初步預(yù)測(cè)，進(jìn)而對(duì)中國(guó)未來人口和經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出合理的規(guī)劃。 問題重述我國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家，故人口問題是我國(guó)最嚴(yán)重的問題。同時(shí)人口問題是當(dāng)今世界上最嚴(yán)峻也是人們最關(guān)注的問題之一，所以認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的發(fā)展規(guī)律，建立合理數(shù)學(xué)模型，對(duì)未來人口作出清晰準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是非常有意義的。隨著中國(guó)計(jì)劃生育的開展，人口問題也慢慢得到控制，但因人口基數(shù)太大，進(jìn)而導(dǎo)致

6、人口過多的問題始終無法解決，經(jīng)濟(jì).科學(xué).人民生活質(zhì)量始終無法有顯著的提高，口增長(zhǎng)過快，人民生活水平很難提高。拿糧食供應(yīng)來說，要保證城鄉(xiāng)人民的口糧、工業(yè)用糧和其他用糧，將來每人每年平均用糧最少應(yīng)該達(dá)到八百斤。如果多生一億人口，就必須多生產(chǎn)八百億斤糧食?，F(xiàn)在我國(guó)每人平均大約兩畝耕地，如果增加到十三億人口，每人平均耕地將下降到一畝多。在目前條件下，在這樣少的土地上，要生產(chǎn)出每人平均八百斤糧食，還要生產(chǎn)出足夠數(shù)量的經(jīng)濟(jì)作物，是相當(dāng)困難的。此外，人口增長(zhǎng)過快，不但為就學(xué)就業(yè)增加困難，還會(huì)使能源、水源、森林等自然資源消耗過大，加重環(huán)境污染，使生產(chǎn)條件和人民生活環(huán)境變得很壞，很難改善。因此，我們通過歷年中國(guó)

7、人口數(shù)量的數(shù)據(jù)，并采用了英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯提出的預(yù)測(cè)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型（MALTHUS模型）及荷蘭生物數(shù)學(xué)家VERHULST提出的阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型），建立合理的數(shù)學(xué)模型來解決下列問題： （1） 建立兩個(gè)數(shù)學(xué)模型尋找出往年人口增長(zhǎng)規(guī)律； （2） 根據(jù)目前我國(guó)的國(guó)情與政策，預(yù)測(cè)未來中國(guó)人口將增長(zhǎng)到哪個(gè)數(shù)據(jù)；（3） 根據(jù)對(duì)未來人口的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合當(dāng)今社會(huì)的發(fā)展趨勢(shì)，提出有利于發(fā)展中國(guó)特色社會(huì)主義現(xiàn)代化的合理的人口和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)劃；（4） 就“合理控制人口增長(zhǎng)提高我國(guó)政治.文化.經(jīng)濟(jì)的國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力”談?wù)勎覀冏约旱目捶ê徒ㄗh。 三問題的分析由題意可知，目的就是為了建立一種模型，得出合理

8、的人口增長(zhǎng)的趨勢(shì)，做出中國(guó)未來人口經(jīng)濟(jì)發(fā)展的規(guī)劃， 人口增長(zhǎng)模型是由生育、死亡、疾病、災(zāi)害、環(huán)境、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)等諸多因素影響和制約的共同結(jié)果，如此眾多的因素不可能通過幾個(gè)指標(biāo)就能表達(dá)清楚，他們對(duì)人口增長(zhǎng)的潛在而復(fù)雜的影響更是無法精確計(jì)算。這反映出人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性，適宜采用指數(shù)增長(zhǎng)模型（MALTHUS模型）及阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）模型去發(fā)掘和認(rèn)識(shí)原始時(shí)間序列綜合各種參數(shù)量所包含的內(nèi)在規(guī)律。指數(shù)增長(zhǎng)模型（MALTHUS模型）及阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）模型屬于全因素的非線性擬合外推類法，其特點(diǎn)是單數(shù)列預(yù)測(cè)，在形式上只用 被預(yù)測(cè)對(duì)象的自身序列建立模型，根據(jù)其自身數(shù)列本身

9、的特性進(jìn)行建模、預(yù)測(cè)，與其相關(guān)的因素并沒有直接參與，而是將眾多直接的明顯的和間接的隱藏著的、已知的、未知的因素包含在其中，忽略各類灰色量進(jìn)行預(yù)測(cè)，不必拼湊數(shù)據(jù)不準(zhǔn)、關(guān)系不清、變化不明的參數(shù)，而是從自身的序列中尋找信息建立模型，發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行預(yù)測(cè)?；谝陨纤枷胛覀兘⒘祟A(yù)測(cè)人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型（MALTHUS模型）及阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）建模過程模型一指數(shù)增長(zhǎng)模型1，模型假設(shè)：1. 假設(shè)附件中所給數(shù)據(jù)真實(shí)可靠且具有預(yù)測(cè)性。2. 不考慮國(guó)內(nèi)外的人口遷移對(duì)我國(guó)人口的影響。3. 不考慮香港、臺(tái)灣以及澳門人口。 4. 假設(shè)在社會(huì)穩(wěn)定的前提下，生育和死亡率都比較穩(wěn)定。2，定義符號(hào)說明1

10、 . 設(shè)時(shí)刻t的人口為X（t）；2. 凈增長(zhǎng)率為r；3. 把X（t）當(dāng)作連續(xù)的，可微的的函數(shù)；3，建立模型：按照Malthus的理論,在t到t+0t時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量為:X(t+0t)-X(t)/0t=rX(t)t令0tà0,則得到微分方程dX/dt=rX 1式X(0)=Xo 2式4，模型求解解微分方程1，得 X（t）=Xo*exp(r*t)5，參數(shù)估計(jì)用matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合（詳細(xì)過程在附錄），可得r=0.0130 ；X（0）=101654；6，模型檢驗(yàn)將r=0.0130 ；X（0）=101654；代入指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1983到1998的人口數(shù)，如下表：年（公元） 實(shí)際人口（萬

11、）指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)人口（萬）誤差（%）198210165419831030081030121.319841043571042593.919851058511051565.619861075071069506.819871093001084909.919881110261120018.6198911270411265410.319901143331169667.5199111582311698412.4199211717111758011.51993118517118547108199512112112112620.9199612238912251160.

12、71997123626123768159.7人口的指數(shù)增長(zhǎng)模型數(shù)據(jù)matlab擬合圖形模型二1，模型假設(shè)：1一定時(shí)間內(nèi)沒有重大遷移，比如，移民2. 假設(shè)在社會(huì)穩(wěn)定的前提下，生育和死亡率都比較穩(wěn)定。3.不包括港、澳、臺(tái)人口。2，定義符號(hào)說明：（a） 設(shè)時(shí)間t時(shí)刻的人口為x(t).（b） 人口的增長(zhǎng)率r為人口x（t）的函數(shù)r（x）（減函數(shù)），于是，假定r（x）=r-sx.r,s>0,r叫做固有增長(zhǎng)率。（c） 自然資源和環(huán)境條件年容納的最大容量為xm3，建立模型： 當(dāng)x=x0時(shí)，增長(zhǎng)率為0，即r（am）=0,于是s=r/Am代入r（x）=r-sx 得 r（x）=r（1-X/Xm） (1)將上式

13、代入dxt=rx 和x(0)=x0 解一階線性微分得 模型dx/dt=r(1-x/am)x 及 x(0)=x0 4，模型求解解一階線性微分得 x(t)=am/1+(am/x0-1)*exp（-rt）5，參數(shù)估計(jì)利用表中數(shù)據(jù)19821990年的狀況對(duì)r和am擬合得：r=0.0015, xm=2048106，模型檢驗(yàn)將=0.0015, xm=204810代入模型后得表格如下：年（公元） 實(shí)際人口（萬）阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)人口（萬）誤差（%）19821016541983103008113308.81.11984104357106965.92.51985105851110931.84.8198610750

14、7114817.56.81987109300119027.88.91988111026123027.510.81989112704130060.515.41990114333133198.016.51991115823130040.515.01992117171130089.211.51993118517130368.210.91994119850145940.312.21995121121150148.515.21996122389180524.514.91997123626178565.929.7人口的阻滯增長(zhǎng)模型數(shù)據(jù)擬合圖對(duì)控制我國(guó)人口增長(zhǎng)的幾點(diǎn)建議我國(guó)實(shí)現(xiàn)四個(gè)現(xiàn)代化，除資金和科學(xué)技術(shù)問

15、題外，人口問題也是一個(gè)極重要的問題?？刂迫丝谠鲩L(zhǎng)已是我國(guó)當(dāng)前刻不容緩的任務(wù)。我們認(rèn)為要控制人口增長(zhǎng)，必須實(shí)行政治思想教育和有效的經(jīng)濟(jì)措施相結(jié)合的原則，同時(shí)也要采取有力的組織措施。（一）人口發(fā)展主要受經(jīng)濟(jì)因素的制約，因?yàn)闆Q 定生育的是家庭，而家庭是一個(gè)消費(fèi)單位，父母主要是從目前生活水平和今后生活保證等角度來考慮生育子女?dāng)?shù)。因此控制人口的一切經(jīng)濟(jì)措施要能有助于家庭目前生活的改善，也要有助于無子女戶、獨(dú)子女戶和有女無兒戶克服生活上的實(shí)際困難，并應(yīng)做到在長(zhǎng)期生活中不因少子女而產(chǎn)生困難。為此要從經(jīng)濟(jì)措施上解決養(yǎng)兒防老和重男輕女問題。建議除了在就業(yè)、生活福利、假期享受、口糧分配、工資制度、獎(jiǎng)金辦法、醫(yī)療待

16、遇、退休年齡、退休條例、托兒、上學(xué)等等方面有利于計(jì)劃生育外，還有必要充分發(fā)揮社會(huì)主義制度的優(yōu)越性，實(shí)行社會(huì)保險(xiǎn)，保證老年人安度晚年；同時(shí)大力發(fā)展生活福利事業(yè)，給無子女戶、獨(dú)子女戶和有女無兒戶以各種照顧和優(yōu)待。（二）繼續(xù)堅(jiān)持和進(jìn)一步開展控制人口的思想教育。用經(jīng)濟(jì)手段控制人口是必要的，但不是唯一的，也不是萬能的。因此，對(duì)用經(jīng)濟(jì)手段控制人口不能過分迷信。國(guó)外人口政策的經(jīng)驗(yàn)也證明：光靠經(jīng)濟(jì)措施不一定能夠達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。（三）要真正把控制人口增長(zhǎng)納入國(guó)民經(jīng)濟(jì)計(jì)劃，把控制人口作為高速度發(fā)展國(guó)民經(jīng)濟(jì)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。要使各級(jí)領(lǐng)導(dǎo)懂得不能因人口增長(zhǎng)從一年來看增長(zhǎng)率不高、對(duì)經(jīng)濟(jì)影響不大，而掉以輕心，要切實(shí)認(rèn)識(shí)經(jīng)過5

17、年、10年人口增長(zhǎng)積累起來對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響是很深遠(yuǎn)的。各級(jí)計(jì)劃部門不能把人口指標(biāo)作為“軟任務(wù)”，要認(rèn)真過問。我們建議在計(jì)劃的考核指標(biāo)中，除人口自然增長(zhǎng)率外，加上一些必要的人平指標(biāo)，諸如按人口平均的糧食產(chǎn)量和商品糧，每一個(gè)農(nóng)民平均的純收入，每人平均的消費(fèi)額，每人平均的居住面積，以及每人平均的國(guó)民收入（或工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、凈產(chǎn)值）等。（四）大力禁止三胎，提倡一對(duì)夫婦生一個(gè)孩子。降低人口自然增長(zhǎng)率，關(guān)鍵在于少育，降低婦女生育率?，F(xiàn)在多胎率約有30，控制住三胎就能使人口自然增長(zhǎng)率有較大幅度下降。要大力提倡一胎，加速人口自然增長(zhǎng)率的下降幅度。參考文獻(xiàn)：1，學(xué)術(shù)資料綜合：我國(guó)人口增長(zhǎng)問題（2，數(shù) 學(xué) 建 模

18、與 數(shù) 學(xué) 試 驗(yàn)（第三版） 3，13 中國(guó)數(shù)學(xué)建模網(wǎng)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題EBOL2008-0110http：wwwshumocorn4 譚永基，蔡志杰，數(shù)學(xué)模型，上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2005.2。5 衷克定，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析與實(shí)踐SPSS for Windows,北京：高等教育出版社，2005.4。6 陳強(qiáng)，人口系統(tǒng)模型及人口狀況分析，中國(guó)優(yōu)秀碩士學(xué)位論文，2004.9。7 虞麗萍，人口年齡結(jié)構(gòu)模型建模和預(yù)測(cè)，中國(guó)優(yōu)秀碩士學(xué)位論文，20078，中國(guó)論文下載中心 （附錄：matlab計(jì)算x=1983：1：1998；y=log(103008) log(104357) log(105851) log(107507) log(109300) log(111026) log(112704) log(114333) log(115823) log(117171) log(118517) log(119850) log(121121) log(1