高二人教A版必修5系列教案：3.4基本不等式1

1、人教版高中數(shù)學必修精品教學資料第一課時 3.4基本不等式 （一）教學要求：通推導并掌握基本不等式,理解這個基本不等式的幾何意義,并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當且僅當這兩個數(shù)相等；教學重點：應用數(shù)形結合的思想理解不等式并從不同角度探索不等式的證明過程；教學難點：理解“當且僅當a=b時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵教學過程：一、復習準備：1. 回顧：二元一次不等式（組）與簡單的線形規(guī)劃問題。2. 提問：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標,會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的,顏色的明暗使它看上去象一個風車,代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？二、講授

2、新課：1. 教學：基本不等式 探究：圖形中的不等關系,將圖中的“風車”抽象成如圖,在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣,4個直角三角形的面積的和是2ab,正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積,我們就得到了一個不等式：。當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?即a=b時,正方形efgh縮為一個點,這時有。（教師提問學生思考師生總結）思考：證明一般的,如果基本不等式：如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b ,可得,通常我們把上式寫作：從不等式的性質(zhì)推導基本不等式：用分析法證明：要證 (1), 只要證 a+b (

3、2), 要證（2）,只要證 a+b- 0（3）要證（3）, 只要證（ - ）（4）, 顯然,（4）是成立的。當且僅當a=b時,（4）中的等號成立。練習：已知x、y都是正數(shù),求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.探究：課本第110頁的“探究”：（結論：如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項,看作是正數(shù)a、b的等比中項,那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.）2. 小結：兩正數(shù)a、b的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)成立的條件。理解“當且僅當a=b時取等號”的數(shù)學內(nèi)涵。三、鞏固練習：1. 練習：教材114頁練習的第1題。2. 作業(yè)：教材114頁習題a組的第1題.第

4、二課時 3.4基本不等式 （二）教學要求：通知識與技能：進一步掌握基本不等式；會用此不等式證明不等式,會應用此不等式求某些函數(shù)的最值,能夠解決一些簡單的實際問題；教學重點：掌握基本不等式,會用此不等式證明不等式,求某些函數(shù)的最值。教學難點：利用此不等式求函數(shù)的最大、最小值。教學過程：一、復習準備：1. 回顧：基本不等式,什么條件下取等號？2. 提問：用基本不等式求最大（?。┲档牟襟E。二、講授新課：1. 教學利用基本不等式證明不等式出示例1：已知m>0,求證。 分析：審清楚題意分析條件應用什么定理？如何應用？ 學生講述解答過程（學生板書,教師修訂）小結：注意m>0這一前提條件和=14

5、4為定值的前提條件。練習：1.已知a,b,c,d都是正數(shù),求證.2. 求證:.（方法：通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.）2. 教學利用不等式求最值出示例2：(1) 若x>0,求的最小值;(2)若x<0,求的最大值.教師板演（1）學生板演（2）師生共同更正 規(guī)律技巧總結:利用基本不等式求最值時,個項必須為正數(shù),若為負數(shù),則添負號變正.練習: 1.求(x>5)的最小值.2.若x>0,y>0,且,求xy的最小值.3.設a、br且ab1,求的最小值。3. 小結：如何用基本不等式證明不等式和求函數(shù)的最大、最小值。三、鞏固練習：1. 練習：教材114頁習題b組的第1題

6、。2. 證明：3若,則為何值時有最小值,最小值為幾？4解關于x的不等式 5. 已知且,求的最小值第三課時 3.4基本不等式 （三）教學要求：進一步掌握基本不等式；會應用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題教學重點：基本不等式的應用教學難點：利用基本不等式求最大值、最小值。教學過程：一、復習準備：1. 討論：重要不等式？基本不等式？2. 提問：成立的條件？二、講授新課：1. 教學：最大值、最小值。 出示例1：（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園,問這個矩形的長、寬各為多少時,所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）段長為36 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園,問這個矩形的

7、長、寬各為多少時,菜園的面積最大,最大面積是多少?分析：根據(jù)題意：如何設長、寬？ 應用什么知識？ 怎樣應用？ 學生講述解答過程。 小結：解決應用問題,首先讀懂題意,思考用什么方法去解決。練習：用繩子圍成一塊矩形場地,若繩長為20米,則圍成最大矩形的面積是 ；若要圍出一塊100米的場地,則繩子最短為 。出示例2：某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為4800m3,深為3m,如果池底每1m2的造價為150元,池壁每1m2的造價為120元,問怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元？分析：如何由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化,即建立函數(shù)關系式？如何求函數(shù)的最值,用到了什么定理？師生共同解答。小結：應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立和注意不等式性質(zhì)的適用條件。練習：建造一個容積為18立方米,深為2米的長方體有蓋水池。如果池底和池壁每平方米的造價分別是200元和150元,那么如何建造,池的造價最低,為多少？2. 小結：用均值不等式解決此類問題時,應按如下步驟進行：(1)先理解題意,設變量,設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應的函數(shù)關系式,把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.三、鞏固練習：1. 練習：教材11