隨機(jī)變量的分布函數(shù)

1、 |xX x一、定義：一、定義：設(shè)設(shè) X 是一個(gè)是一個(gè) r.v，稱(chēng)，稱(chēng))()(xXPxF)(x為為 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 記作記作 X F(x) 或或 FX(x). 如果將如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)布函數(shù) F(x) 的值就表示的值就表示 X落在區(qū)間落在區(qū)間的概率的概率.,(x 問(wèn)：?jiǎn)枺?在上在上 式中，式中，X, x 皆為變量皆為變量. 二者有什二者有什么區(qū)別？么區(qū)別？ x 起什么作用？起什么作用？ F(x) 是不是概率？是不是概率？X是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量, x是參變量是參變量.F(x) 是是r.v X取值不大于取值不大于 x 的概率的

2、概率.xxXPxF),()( 由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù)由定義，對(duì)任意實(shí)數(shù) x1x2，隨機(jī)點(diǎn)落，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了隨機(jī)變量因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函的分布函數(shù)，數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.xxXPxF),()( 分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是分布函數(shù)是一個(gè)普通的函數(shù)，正是通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)通過(guò)它，我們可以用數(shù)學(xué)分析的工具來(lái)研究研究 隨機(jī)變量隨機(jī)變量.xxXPxF),()(二、離散型二、離散型 r

3、.v的分布函數(shù)的分布函數(shù)設(shè)離散型設(shè)離散型r.vX 的概率分布列是的概率分布列是P X=xk = pk , k =1,2,3,xxkkp則則 F(x) = P(X x) = 由于由于F(x) 是是 X 取取 的諸值的諸值 xk 的概率之和，的概率之和，故又稱(chēng)故又稱(chēng) F(x) 為累積概率函數(shù)為累積概率函數(shù).x當(dāng)當(dāng) x0 時(shí)，時(shí)， X x = ， 故故 F(x) =0例例1.，求，求 F(x).當(dāng)當(dāng) 0 x 1 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =31F(x) = P(X x)解解:X 0 1 2 P216131當(dāng)當(dāng) 1 x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X

4、=1) = + =316121當(dāng)當(dāng) x 2 時(shí)，時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1例例1.，求，求 F(x).F(x) = P(X x)解解:X 0 1 2 P216131故故注意右連續(xù)注意右連續(xù)下面我們從圖形上來(lái)看一下下面我們從圖形上來(lái)看一下.2, 121,2110,310, 0)(xxxxxF212121103100 xxxxxF,/,/,)(概率函數(shù)圖概率函數(shù)圖31120 x)(xXP612113121120 x)(xXP612161OOO1)(xF分布函數(shù)圖分布函數(shù)圖畫(huà)畫(huà) 分布函分布函數(shù)圖數(shù)圖X 0 1 2 P216131 不難看出，不難看出，

5、F(x) 的圖形是階梯狀的圖形，的圖形是階梯狀的圖形，在在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).3121120 x612161OOO1)(xF三、分布函數(shù)的性質(zhì)三、分布函數(shù)的性質(zhì)(3) F(x) 非降，即若非降，即若 x1x2，則，則F(x1) F(x2) ;(2) F( ) = F(x) = 0 xlim(4) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx 如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某如果一個(gè)函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個(gè)個(gè)r.v X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 也就是說(shuō)，性質(zhì)也就是說(shuō)，性

6、質(zhì)(1)-(4)是是鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分的分布函數(shù)的充分必要條件必要條件.F( ) = F(x) = 1xlim(1) 0F(x)1, x+;試說(shuō)明試說(shuō)明F(x)能否是某個(gè)能否是某個(gè)r.v 的分布函數(shù)的分布函數(shù).例例2. 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) F(x)其它00sin)(xxxF 注意到函數(shù)注意到函數(shù) F(x)在在 上下降，上下降，不滿(mǎn)足性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(1)，故，故F(x)不能是分布函數(shù)不能是分布函數(shù).,2不滿(mǎn)足性質(zhì)不滿(mǎn)足性質(zhì)(2)， 可見(jiàn)可見(jiàn)F(x)也不也不能是能是r.v 的的分布函數(shù)分布函數(shù).或者或者0)(lim)(xFFx解：解： 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型

7、隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量, 不能不能象離散型隨機(jī)變量那樣象離散型隨機(jī)變量那樣, 以指定它取每以指定它取每個(gè)值概率的方式個(gè)值概率的方式, 去給出其概率分布去給出其概率分布, 而是通過(guò)給出所謂而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的的方式方式. 下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法的描述方法. 連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度定義連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度定義 設(shè)設(shè)F（x）是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存的分布函數(shù)，若存在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)在一個(gè)非負(fù)的函數(shù)f(x),對(duì)任何實(shí)數(shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)

8、x，有，有 ，則稱(chēng)，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時(shí)稱(chēng)變量，同時(shí)稱(chēng)f(x)為為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。率密度。dttfxFx )()( f (x)xoy由定義知：由定義知：1. 連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù).2. 對(duì)對(duì)f(x)的連續(xù)點(diǎn)，有的連續(xù)點(diǎn)，有 )()( xfxF由此由此 F(x)與與f(x)可以互推?？梢曰ネ?。概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì)1.0)(xf2.1)(dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充

9、要條件.o f (x)xy3dxxfxFxFxXxPxx211221)()()()( f (x)xoyx1x2 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量， f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)4. 對(duì)對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解: 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x

10、)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個(gè)高度越大，則個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反也可以說(shuō)，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x)xo若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：若不計(jì)高階無(wú)窮小，有：xxfxxXxP )( 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續(xù)型在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理

11、論中所起的作用相類(lèi)似作用相類(lèi)似.連續(xù)型連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為取任一指定值的概率為0.即：即：, 0)( aXPa為任一指定值為任一指定值這是因?yàn)檫@是因?yàn)樾枰赋龅氖切枰赋龅氖?. 0),()()()(0 xxaFaFaXxaPaXP 由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，由于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)， 00)()(limxaFaFx從而從而P( X = a )=0. P( X = a )=0的充分必要條件是的充分必要條件是F( x )是是連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)。任意任意aR。由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1) 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v X,有有)(bXa

12、P2) 由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并非必然事件并非必然事件aRX稱(chēng)稱(chēng)A為為幾乎不可能事件幾乎不可能事件，B為為幾乎必然事件幾乎必然事件.可見(jiàn)，可見(jiàn)，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S下面給出幾個(gè)下面給出幾個(gè)r.v的例子的例子. 由于連續(xù)型由于連續(xù)型 r.v唯一被它的唯一被它的密度函數(shù)密度函數(shù)所確所確定定. 所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型所以，若已知密度函數(shù)，該連續(xù)型 r.v的概率規(guī)律就得到了全面描述的概率規(guī)律就得到了全面描述. f (x)xo解：解：例例1.

13、 設(shè)設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)其它其它0,1112xxAxf,)( 求求 (1) A , (2) F(x) , (3)(2121XP（1）由性質(zhì)）由性質(zhì)2， 1222222112222222112AttAdttAtdtAdxxAdxxftx )sin(coscos)(sinA=2.對(duì)對(duì)x 1， F (x) = 1求求 F(x).其它, 011,12)(2xxxf解：解：F(x) = P(X x) = xdttf)(2)1, 111,21arcsin111, 0)(2xxxxxxxF 即即.)()()sin()( 233121212211221216621212FFttd

14、xxXP(3). xdttfxF)()(大家一起來(lái)作下面的練習(xí)大家一起來(lái)作下面的練習(xí).求求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxfX例例2 設(shè)設(shè)由于由于f(x)是分段是分段表達(dá)的，求表達(dá)的，求F(x)時(shí)時(shí)注意分段求注意分段求.xdttfxF)()(=01xtdt0 xdtttdt110)2(0 x10 x21 x2xF(x)其它, 021,210,)(xxxxxfX對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型r.v，若已知，若已知F(x)，我們通過(guò)求導(dǎo)我們通過(guò)求導(dǎo)也可求出也可求出 f (x)，請(qǐng)看下例請(qǐng)看下例.2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即即1110002xxxxxF,)(例

15、例3 設(shè)設(shè)r.vX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為(1) 求求X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 (0.3,0.7)的概率；的概率； (2) 求求X的概率密度的概率密度.解解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4dxxdF)( (2) f(x)=注意到注意到F(x)在在1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定 的值的值.)(xF)(xF其它, 010,2xx幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量幾種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量均勻分布均

16、勻分布（1）若）若 r.vX的概率密度為：的概率密度為：則稱(chēng)則稱(chēng)X服從區(qū)間服從區(qū)間 a, b 上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作：X U(a, b)(xfab)(,)(babxaabxf 其其它它01它的實(shí)際背景是：它的實(shí)際背景是： r.v X 取值在區(qū)間取值在區(qū)間a, b 上，上，并且取值在并且取值在a, b中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則則 X 具有具有a,b上的上的均勻均勻分布分布.分布函數(shù)為分布函數(shù)為: ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF f(x)0, 11badxabdxxf)(滿(mǎn)足概率密度性質(zhì)。滿(mǎn)足概率密度性

17、質(zhì)。 若若XU a, b, (x1, x2)為為a, b的任意子區(qū)間，則的任意子區(qū)間，則)()(12211121xxabdxabxXxPxx 公交線路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽公交線路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間，即乘客的候車(chē)時(shí)間等車(chē)停車(chē)站的時(shí)間，即乘客的候車(chē)時(shí)間等.均勻分布常見(jiàn)于下列情形：均勻分布常見(jiàn)于下列情形： 如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五 入，小數(shù)入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；例例4. 某公共汽車(chē)站從上午某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)分鐘來(lái)一班車(chē)，即一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)

18、刻等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的均勻隨機(jī)變量之間的均勻隨機(jī)變量, 試求他候車(chē)試求他候車(chē)時(shí)間少于時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解：解：依題意，依題意， X U ( 0, 30 ) 以以7:00為起點(diǎn)為起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位其它, 0300,301)(xxf 為使候車(chē)時(shí)間為使候車(chē)時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到之間到達(dá)車(chē)站達(dá)車(chē)站.所求概率為：所求概率為：從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，30251510XPXP其它, 0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候車(chē)時(shí)間少于即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.例例5. 設(shè)設(shè)K在在0，5上服從均勻分布，上服從均勻分布， 求方程求方程4x2+4Kx+K+2=0有實(shí)根的概率。有實(shí)根的概率。解：解： KU0，5， 其其他他。,)(05051kkf有實(shí)根等價(jià)于有實(shí)根等價(jià)于0，即，即 16K216（K+2）0，