第三章-測量誤差基本知識

1、李金平李金平 20132013年年0303月月2020日日云南師范大學(xué)旅地學(xué)院云南師范大學(xué)旅地學(xué)院數(shù)字測圖原理與方法數(shù)字測圖原理與方法3.1 測量誤差分類測量誤差分類3.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3.3 算術(shù)平均值及觀測值的中誤差算術(shù)平均值及觀測值的中誤差3.4 誤差傳播定律誤差傳播定律3.5 最小二乘平差最小二乘平差3.6 測量誤差基礎(chǔ)知識應(yīng)用測量誤差基礎(chǔ)知識應(yīng)用3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識觀測觀測 用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取與地球空間分用一定的儀器、工具、傳感器或其他手段獲取與地球空間分布有關(guān)信息的過程和實際結(jié)果布有關(guān)信息的過程和實際結(jié)果3.1 測量誤差分類

2、測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識觀測觀測 3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識觀測觀測 3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差測量誤差 測量誤差是對某量進(jìn)行測量時，其觀測值與該量客觀存在的測量誤差是對某量進(jìn)行測量時，其觀測值與該量客觀存在的真正大小或理論上應(yīng)滿足的數(shù)值之間的差異真正大小或理論上應(yīng)滿足的數(shù)值之間的差異 測量誤差測量誤差 真值觀測值真值觀測值 測量誤差產(chǎn)生的原因測量誤差產(chǎn)生的原因人的原因人的原因儀器的原因儀器的原因外界環(huán)境的影響外界環(huán)境的影響 上述儀器，觀測者，外界條件是觀測誤差的主要

3、來源，通上述儀器，觀測者，外界條件是觀測誤差的主要來源，通常把它們綜合起來稱為觀測條件常把它們綜合起來稱為觀測條件 3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差分類測量誤差分類 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 誤差的符號和數(shù)字大小相同，或按一定規(guī)律變化誤差的符號和數(shù)字大小相同，或按一定規(guī)律變化 處理方法：采用觀測手段或利用改正模型解算觀測值的最或處理方法：采用觀測手段或利用改正模型解算觀測值的最或然值然值 偶然誤差偶然誤差 誤差的符號和數(shù)字大小不相同，表面上無任何規(guī)律變化誤差的符號和數(shù)字大小不相同，表面上無任何規(guī)律變化 處理方法：采用多余觀測，利用測量平差的方法求出觀測值

4、處理方法：采用多余觀測，利用測量平差的方法求出觀測值的最或然值的最或然值 粗差粗差 大于限差的誤差大于限差的誤差 處理方法：重測處理方法：重測3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識偶然誤差特性偶然誤差特性 在某測區(qū)，等精度觀測了在某測區(qū)，等精度觀測了358個三角形的內(nèi)角之和，得到個三角形的內(nèi)角之和，得到358個三角形閉合差個三角形閉合差 i(偶然誤差，也即真誤差偶然誤差，也即真誤差) ，對三角形，對三角形閉合差閉合差 i 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識 當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然當(dāng)觀測次數(shù)很多時，偶然

5、誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計學(xué)上的規(guī)律性。觀測次數(shù)學(xué)上的規(guī)律性。觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。越多，規(guī)律性越明顯。偶然誤差特性偶然誤差特性 用頻率直方圖表示偶然誤差分布特征，發(fā)現(xiàn)：用頻率直方圖表示偶然誤差分布特征，發(fā)現(xiàn)： 各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤各條形頂邊中點連線經(jīng)光滑后的曲線形狀，表現(xiàn)出偶然誤差的普遍規(guī)律差的普遍規(guī)律22221)(ef3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識nnlim稱為標(biāo)準(zhǔn)差偶然誤差特性偶然誤差特性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定 的的限值

6、限值絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相等絕對值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的機會相等當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零當(dāng)觀測次數(shù)無限增加時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零3.1 測量誤差分類測量誤差分類3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識 0limlim21nnnnn精度精度 指誤差分布的密集或離散的程度，即離散度的大??；描述指誤差分布的密集或離散的程度，即離散度的大小；描述偶然誤差，指觀測結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度，可從分布曲偶然誤差，指觀測結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度，可從分布曲線的陡峭程度看出

7、精度的高低線的陡峭程度看出精度的高低 準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度 描述系統(tǒng)誤差和粗差，指觀測值的真值與其數(shù)學(xué)期望之差描述系統(tǒng)誤差和粗差，指觀測值的真值與其數(shù)學(xué)期望之差 精確度精確度 描述偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差的集成，指觀測結(jié)果與其描述偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差的集成，指觀測結(jié)果與其真值的接近程度，包括觀測結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度和數(shù)真值的接近程度，包括觀測結(jié)果與其數(shù)學(xué)期望接近程度和數(shù)學(xué)期望與其真值的偏差，是一個全面衡量觀測質(zhì)量的指標(biāo)學(xué)期望與其真值的偏差，是一個全面衡量觀測質(zhì)量的指標(biāo)3.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差與標(biāo)準(zhǔn)差 22221)(efy3.2

8、 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識nnnnnlimlim2222212nnnnlimlim2稱為方差方差2稱為標(biāo)準(zhǔn)差稱為標(biāo)準(zhǔn)差中誤差中誤差 觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差觀測次數(shù)無限多時，用標(biāo)準(zhǔn)差 表示偶然誤差的離散情形。表示偶然誤差的離散情形。測量中觀測次數(shù)是有限的，用中誤差測量中觀測次數(shù)是有限的，用中誤差m表示偶然誤差的離散表示偶然誤差的離散情形情形 相對誤差相對誤差 測量中用中誤差不能正確反映觀測值的質(zhì)量，用中誤差測量中用中誤差不能正確反映觀測值的質(zhì)量，用中誤差m 與觀測值之比描述，稱為相對誤差與觀測值之比描述，稱為相對誤差極限誤差極限誤差 測量中偶然誤差

9、不能超過一定限度，其限度一般用測量中偶然誤差不能超過一定限度，其限度一般用2m表示表示3.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識nnmn222213.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識3.2 衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識 m1= 2.7 是第一組觀測值的中誤差；是第一組觀測值的中誤差； m2= 3.6 是第二組觀測值的中誤差是第二組觀測值的中誤差。 m m1 1小于小于m m2 2, ,說明第一組觀測值的誤差分布比較說明第一組觀測值的誤差分布比較集中集中， 其其精度較高精度較高；相對

10、地，第二組觀測值的誤差分布比；相對地，第二組觀測值的誤差分布比 較較離散，離散，其其精度較低：精度較低：算術(shù)平均值算術(shù)平均值觀測值的改正值觀測值的改正值 算術(shù)平均值與觀測值之差算術(shù)平均值與觀測值之差123nllllxn3.3 算術(shù)平均值及觀測值的中誤差算術(shù)平均值及觀測值的中誤差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識11nnnnvxlvxlvxl按觀測值的改正值計算中誤差按觀測值的改正值計算中誤差 該公式可以認(rèn)為與中誤差的公式一致該公式可以認(rèn)為與中誤差的公式一致 在真值已知的情況下，改正值為真誤差，觀測值均為多余在真值已知的情況下，改正值為真誤差，觀測值均為多余觀測，個數(shù)為觀測，個數(shù)為n；在真

11、值未知的情況下，需要一次必要觀測，；在真值未知的情況下，需要一次必要觀測，其余（其余（n-1）次觀測為多余觀測）次觀測為多余觀測1vvmn3.3 算術(shù)平均值及觀測值的中誤差算術(shù)平均值及觀測值的中誤差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識觀測值的函數(shù)觀測值的函數(shù)和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)123nZxxxx3.4 誤差傳播定律誤差傳播定律3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識112233nnZk xk xk xk x),(321nxxxxfZ觀測值的函數(shù)的中誤差觀測值的函數(shù)的中誤差和差函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)一般函數(shù)22212znmmmm 3.4 誤差傳播定律

12、誤差傳播定律3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識2222221212()()()znnfffmmmmxxx 2222221122znnmk mk mk m 觀測值函數(shù)的中誤差觀測值函數(shù)的中誤差 3.4 誤差傳播定律誤差傳播定律3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識1000100010001000 0.2200mm0.2m168.5m0.2mSlSlSlddmmS 解：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式例例1：量得 地形圖上兩點間長度 =168.5mm0.2mm, 計算該兩點實地距離S及其中誤差msl1000:1觀測值函數(shù)的中誤差觀測值函數(shù)的中誤差 3.4 誤差傳播定律誤差傳播定律3 3 測

13、量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識例例2：設(shè)有某線性函數(shù)設(shè)有某線性函數(shù) 其中其中 、 、 分別為獨立觀測值，它們的中誤差分分別為獨立觀測值，它們的中誤差分 別為別為 求Z的中誤差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：對上式全微分：由中誤差式得： 例例3：對某量進(jìn)行對某量進(jìn)行n次觀測，計算其觀測值的中誤差次觀測，計算其觀測值的中誤差 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 觀測值的中誤差觀測值的中誤差 算術(shù)平均值的中誤差算術(shù)平均值的中誤差

14、3.4 誤差傳播定律誤差傳播定律3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識123 nlllllxnn1vvmn xmmn 測量平差測量平差 依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)，依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法多余觀測的存在使測量平差成為可能多余觀測的存在使測量平差成為可能最小二乘法最小二乘法1794年，高斯提出最小二乘法年，高斯提出最小二乘法1806年，勒戎德樂從代數(shù)觀點獨立提出最小二乘法年，勒戎德樂從代數(shù)觀點獨立提出最小二乘法測量觀測數(shù)據(jù)處理測量觀測數(shù)據(jù)處理GIS數(shù)據(jù)精度分析和質(zhì)量控制數(shù)

15、據(jù)精度分析和質(zhì)量控制3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識minPVVT觀測值觀測值觀測條件觀測條件等精度觀測等精度觀測不等精度觀測不等精度觀測權(quán)權(quán) 觀測值所占的比重，精度越高，比重越大，即與精度成反比觀測值所占的比重，精度越高，比重越大，即與精度成反比中誤差是表征精度的絕對的數(shù)字指標(biāo)中誤差是表征精度的絕對的數(shù)字指標(biāo)權(quán)是表征精度的相對的數(shù)字指標(biāo)；即表示各觀測值方差權(quán)是表征精度的相對的數(shù)字指標(biāo)；即表示各觀測值方差之間比例關(guān)系的數(shù)字特征之間比例關(guān)系的數(shù)字特征權(quán)的意義不在于其數(shù)值的大小，重要的是它們之間的比權(quán)的意義不在于其數(shù)值的大小，重要的是它們之間的比例關(guān)系例關(guān)系

16、3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識權(quán)權(quán) 權(quán)的定義權(quán)的定義 權(quán)的大小可衡量觀測值精度的高低權(quán)的大小可衡量觀測值精度的高低 中誤差愈小，其權(quán)愈大；或者說，精度愈高，其權(quán)愈大；中誤差愈小，其權(quán)愈大；或者說，精度愈高，其權(quán)愈大；權(quán)可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo)權(quán)可以作為比較觀測值之間的精度高低的一種指標(biāo) 權(quán)不唯一權(quán)不唯一 3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識220immP 單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差 權(quán)為權(quán)為1的觀測值所對應(yīng)的中誤差，稱為單位權(quán)中誤差的觀測值所對應(yīng)的中誤差，稱為單位權(quán)中誤差 12200iimmPmm3.

17、5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識差為單位權(quán)觀測值的中誤0m權(quán)權(quán) 對某一個量不等精度觀測對某一個量不等精度觀測 時，精度高的觀測值對最后結(jié)果時，精度高的觀測值對最后結(jié)果影響大，占得比重高，比重值在測量中稱作權(quán)，用影響大，占得比重高，比重值在測量中稱作權(quán)，用p表示表示 觀測量最后結(jié)果為觀測量最后結(jié)果為 定權(quán)方法定權(quán)方法用中誤差定權(quán)用中誤差定權(quán) 距離定權(quán)距離定權(quán) 3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識nnnppplplplpX212211220immP iLCP 最小二乘平差最小二乘平差誤差方程誤差方程 3.5 最小二乘平差最小二

18、乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識有觀測值與未知數(shù)的關(guān)系其權(quán)個觀測值有個未知數(shù)設(shè)有,212121nntppplllnxxxtntnnnnttdxtxbxaldxtxbxaldxtxbxal2122221221121111最小二乘平差最小二乘平差 3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識誤差方程為nntnnnnttldxtxbxavldxtxbxavldxtxbxav212222212211121111LAXV矩陣形式為最小二乘平差最小二乘平差 約束方程約束方程 由于方程個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不等，誤差方程的由于方程個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)不等，誤差方程的解應(yīng)滿足的條件解應(yīng)滿足的條件 V向量是向量是X的函數(shù)，按數(shù)學(xué)上求自由極值的方法的函數(shù)，按數(shù)學(xué)上求自由極值的方法有有 3.5 最小二乘平差最小二乘平差3 3 測量誤差基礎(chǔ)知識測量誤差基礎(chǔ)知識minPVVT022PAVXVPVXVVPVVXPVVTTTT最小二乘平差最小二乘平差轉(zhuǎn)置后有轉(zhuǎn)置后有 基礎(chǔ)方程為基礎(chǔ)方程為 基礎(chǔ)誤差方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等，有唯一解基礎(chǔ)誤差方程個數(shù)