博弈論作業(yè)及問題詳解浙江財經(jīng)大學張老師作業(yè)問題詳解

1、實用文檔 文案大全 第1次作業(yè) 1、考慮一個工作申請的博弈。兩個學生同時向兩家企業(yè)申請工作，每家企業(yè)只有一個工作崗位。工作申請規(guī)則如下：每個學生只能向其中一家企業(yè)申請工作；如果一家企業(yè)只有一個學生申請，該學生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個學生申請，則每個學生獲得工作的概率為1/2?，F(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足：W1/2<W2<2W1，則問： a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（包括混合策略均衡） 2、設(shè)古諾模型中有n家廠商。iq為廠商i的產(chǎn)量，12nQqqq?L為市場總產(chǎn)量。P為市場出清價格，且已知QaQPP?)(（當aQ?時，否則0?P）。假設(shè)廠商i生產(chǎn)產(chǎn)量iq

2、的總成本為iiiicqqCC?)(，也就是說沒有固定成本且各廠的邊際成本都相同，為常數(shù))(acc?。假設(shè)各廠同時選擇產(chǎn)量，該模型的納什均衡是什么？當趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？ 3、兩個廠商生產(chǎn)一種完全同質(zhì)的商品，該商品的市場需求函數(shù)為PQ?100，設(shè)廠商1和廠商2都沒有固定成本。若他們在相互知道對方邊際成本的情況下，同時作出產(chǎn)量決策是分別生產(chǎn)20單位和30單位。問這兩個廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少？ 4、五戶居民都可以在一個公共的池塘里放養(yǎng)鴨子。每只鴨子的收益v是鴨子總數(shù)N的函數(shù)，并取決于N 是否超過某個臨界值N ；如果NN?，收益NNvv?50)( ；如果NN?時，0)

3、(?Nv。再假設(shè)每只鴨子的成本為2?c元。若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？ 5、三對夫妻的感情狀態(tài)可以分別用下面三個得益矩陣對應(yīng)的靜態(tài)博弈來表示。問：這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情狀態(tài)究竟如何？ 妻子 丈夫 活著 死了 活著 1，1 -1，0 死了 0，-1 0，0 矩陣1： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 0，0 1，0 死了 0，1 0，0 矩陣2： 實用文檔 文案大全 妻子 丈夫 活著 死了 活著 -1，-1 1，0 死了 0，1 0，0 矩陣3： 6、兩個個體一起參加某項工程，每個人的努力程度0,1(1,2)iei?，成本為()(1,2)icei

4、?，該項目的產(chǎn)出為12(,)fee。個體的努力程度不影響到項目的分配方法，項目的產(chǎn)出在2個體之間均分。試回答以下問題： 1、如果1212(,)3feeee?，2()(1,2)iiceei?，試求此博弈的的Nash均衡（即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度）。 2、如果1212(,)4feeee?，()(1,2)iiceei?，試求此博弈的的Nash均衡。 第2次作業(yè) 1、企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制造商，都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)品或高檔產(chǎn)品，每個企業(yè)在四種不同的情況下的利潤如以下得益矩陣所示。如果企業(yè)甲先于企業(yè)乙進行產(chǎn)品選擇并投入生產(chǎn)，即企業(yè)乙在決定產(chǎn)品時已經(jīng)知道企業(yè)甲的選擇，而且這一點雙方都清楚。 （1）用

5、擴展型表示這一博弈。 企業(yè)乙 企業(yè)甲 高檔 低檔 高檔 500，500 1000，700 低檔 700，1000 600，600 （2）這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？ 2、兩個寡頭企業(yè)進行價格競爭博弈，企業(yè)1的利潤函數(shù)是qcaqp?21)（?，企業(yè)2的利潤函數(shù)是pbq?22)（?，其中p是企業(yè)1的價格，q是企業(yè)2的價格。求： （1）兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡； （2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡； （3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡； （4）是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望自己先決策？ 3、考慮如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略投資模型：企業(yè)1和企業(yè)2目前情況下的生產(chǎn)

6、成本都是2?c。企業(yè)1可以引進一項新技術(shù)使單位成本降低到1?c，該項技術(shù)需要投資f。在企業(yè)1作出是否投資的決策（企業(yè)2可以觀察到）后，兩個企業(yè)同時選擇產(chǎn)量。假設(shè)市場需求函數(shù)為qqp?14)(，其中p是市場價格，q是兩個企業(yè)的總產(chǎn)量。問上述投資額f處于什么水平時，企業(yè)1會選實用文檔 文案大全 擇引進新技術(shù)？ 4、在市場進入模型中，市場逆需求函數(shù)為p13-Q，進入者和在位者生產(chǎn)的邊際成本都為1，固定成本為0，潛在進入者的進入成本為4。博弈時序為：在位者首先決定產(chǎn)量水平；潛在進入者在觀察到在位者的產(chǎn)量水平之后決定是否進入；如果不進入，則博弈結(jié)束，如果進入，則進入者選擇產(chǎn)量水平。求解以上博弈精煉納什均

7、衡。 5、在三寡頭的市場中，市場的逆需求函數(shù)為三家產(chǎn)量之和QQap,?，每家企業(yè)的不變邊際成本為c，固定成本為0。如果企業(yè)1首先選擇產(chǎn)量，企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量，則均衡時的市場價格。 第3次作業(yè) 1、兩個人合作開發(fā)一項產(chǎn)品，能否成功與兩個人的工作態(tài)度有關(guān)，設(shè)成功概率如下： B A 努力 偷懶 努力 9/16 3/8 偷懶 3/8 1/4 再假設(shè)成功時每人有4單位的利益，失敗則雙方都沒有利益，偷懶本身有1單位的利益。問該博弈無限次重復博弈的均衡是什么？ 2、兩寡頭古諾產(chǎn)量競爭模型中廠商的利潤函數(shù)為()iiijiqtqq?，1,2i?。若11t?是兩個廠商的共同知識，而2t

8、則是廠商2的私人信息，廠商1 只知道 23/4t?或24/5t?，且2t取這兩個值的概率相等。若兩個廠商同時選擇產(chǎn)量，請找出該博弈的純策略貝葉斯均衡。 3、兩個廠商生產(chǎn)相同產(chǎn)品在市場上進行競爭性銷售。第1個廠商的成本函數(shù)為11qc?，其中1q為廠商1的產(chǎn)量。第2個廠商的成本函數(shù)為22cqc?，其中2q為廠商2的產(chǎn)量，c為其常數(shù)邊際成本。兩個廠商的固定成本都為零。廠商2的邊際成本c是廠商2的“私人信息”，廠商1認為c在?23,21上呈均勻分布。設(shè)實用文檔 文案大全 市場需求函數(shù)為214qqP?，其中P為價格，兩個廠商都以其產(chǎn)量為純戰(zhàn)略，問純戰(zhàn)略貝葉斯均衡為何？。 4、兩個企業(yè)同時決定是否進入一個

9、市場，企業(yè)i的進入成本),0?i?是私人信息，i?是服從分布函數(shù))(iF?的隨機變量以及分布密度)(if?嚴格大于零，并且1?和2?兩者獨立。如果只有一個企業(yè)進入，進入企業(yè)i的利潤函數(shù)為mi?；如果兩個企業(yè)都進入，則企業(yè)i的利潤函數(shù)為id?；如果沒有企業(yè)進入，利潤為零。假定m?和d?是共同知識，且m?>d?>0，試計算此博弈的貝葉斯均衡。 博弈論第1次作業(yè)答案 實用文檔 文案大全 1、a寫出以上博弈的戰(zhàn)略式描述 b求出以上博弈的所有納什均衡（包括混合策略均衡） ?存在兩個純戰(zhàn)略納什均衡：分別為（企業(yè)1，企業(yè)2），收益為)2,1(WW。（企業(yè)2，企業(yè)1），收益為)1,2(WW。 ?存

10、在一個混合策略均衡：令學生A選擇企業(yè)1的概率為p，選擇企業(yè)2的概率為p?1;學生B選擇企業(yè)1的概率為q，選擇企業(yè)2的概率為q?1。 當學生A以)1,(pp?的概率選擇時，學生B選擇企業(yè)1的期望收益應(yīng)該與選擇企業(yè)2的期望收益相等，即： 221).1(2.1)1(121.WpWpWpWp? 解得： 21212WWWWp? ,211221WWWWp? 同理求出： 221).1(2.1)1(121.WqWqWqWq? 解得： 21212WWWWq? ,211221WWWWq? 所以，混合策略納什均衡為：學生A、B 均以)21122,21212(WWWWWWWW? 學生B 企業(yè)1 企業(yè)2 學生A 企業(yè)1

11、 )221,121(WW )2,1( 企業(yè)2 )1,2(WW )121,221(WW 實用文檔 文案大全 的概率選擇企業(yè)1，企業(yè)2。 2、該模型的納什均衡是什么？當趨向于無窮大時博弈分析是否仍然有效？ 各廠商的利潤函數(shù)為： inkkiiiiiiqqcaqcQaqcqQaCqPu).().(.).(.1? 求解： inkkqiqqqcauii).(maxmax1? 對其求導，令導數(shù)為0，解得反應(yīng)函數(shù)為： ?.211121niiiqqqqqcaq? 納什均衡),.,(*2*1nqqq,必是n條反應(yīng)函數(shù)的交點 ).(21*3*2*1nqqqcaq? ).(21*3*1*2nqqqcaq? . ).(

12、21*1*1*2*1*niiiqqqqqcaq? . ).(21*1*2*1*?nnqqqcaq 得到： 1.*2*1?ncaqqqn，且為唯一的納什均衡。 當趨向于無窮大時博弈分析無效。 實用文檔 文案大全 01limlim*?ncaqnin，此時為完全競爭市場，此時博弈分析無效。 3、問這兩個廠商的邊際成本各是多少？各自的利潤是多少？ 設(shè)：邊際成本不變，為1c，2c。 計算得市場出清價格為： )(100100)(21qqQQPP? 兩個廠商的利潤函數(shù)為： 1211111111).(100).(.qqqcqcPqcqPu? 2212222222).(100).(.qqqcqcPqcqPu?

13、求解： 12111).(100maxmax11qqqcuqq? 22122).(100maxmax22qqqcuqq? 對其求導，令導數(shù)為0，解得反應(yīng)函數(shù)為： )100(21)(21211qcqRq? )100(21)(12122qcqRq? 納什均衡),(*2*1qq,即（20,30）為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點 )30100(21201?c )20100(21302?c 得到： 301?c，202?c。 實用文檔 文案大全 此時： 4001?u，9002?u。 4、若所有居民同時決定養(yǎng)鴨的數(shù)量，問該博弈的納什均衡是什么？ 設(shè)居民i選擇的養(yǎng)鴨數(shù)目為in)5,4,3,2,1(?i，則總數(shù)為?51iin

14、N。 假設(shè)： NN? 居民的得益函數(shù)為： iiiiiiinnncVncnVu).48().(.51? 計算： iiiuiunnuii).48(maxmax51? 得到反應(yīng)函數(shù)： ).(212451121nnnnnRniiii? 5、反應(yīng)函數(shù)的交點),(*5*4*3*2*1nnnnn是博弈的納什均衡。 將),(*5*4*3*2*1nnnnn帶入反應(yīng)函數(shù)，得： 8*5*4*3*2*1?nnnnn。 此時： 64?iu。 此時，40?N 然后討論下N ? 若40?N ，則NN?，上述博弈成立。 實用文檔 文案大全 ? 若40?N ，則5NN? 5、問：這三個博弈的納什均衡分別是什么？這三對夫妻的感情

15、狀態(tài)究竟如何？ 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 1，1 0，-1 -1，0 0，0 矩陣1： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 0，0 0，1 1，0 0，矩陣2： 妻子 丈夫 活著 死了 活著 死了 -1，-1 0，1 1，0 0，0 0 矩陣3： 用劃線法得出三個矩陣的納什均衡分別為： 矩陣1： （活著，活著） （死了，死了） 可以看出這對夫妻間感情十分深厚。這對夫妻同生共死，一個死了，則另一個也選擇死去。如果一個死了，一個活著，那么活著的將生不如死。 矩陣2： （活著，活著） （活著，死了） （死了，活著） 可以看出這對夫妻間感情一般。這對夫妻共同活著沒有收益，一個死了，對于另一個

16、來說反而更好。 矩陣3： 實用文檔 文案大全 （活著，死了） （死了，活著） 可以看出這對夫妻間感情很槽糕。這對夫妻共同活著對雙方來說是生不如死。一個死了，對于另一個來說反而更好。 6、（1）如果1212(,)3feeee?，2()(1,2)iiceei?，試求此博弈的Nash均衡（即兩個個體選擇的最優(yōu)努力程度）。 （2）如果1212(,)4feeee?，()(1,2)iiceei?，試求此博弈的Nash均衡。 （1）收益為： 2121121123)(),(21eeeeceefu? 2221221223)(),(21eeeeceefu? 得出反應(yīng)函數(shù)為： 221143)(eeRe? 11224

17、3)(eeRe? 納什均衡),(*2*1ee為兩條反應(yīng)函數(shù)的交點，代入得出： 0,0*2*1?ee 兩個人都不會努力的 （2）收益為： 12112112)(),(21eeeeceefu? 實用文檔 文案大全 22122122)(),(21eeeeceefu? 分別求偏導： 12211?eeu 12122?eeu 此時，兩個人的努力程度都與對方的努力程度有關(guān) ?)21,0?ie時，博弈一方越努力，另一方就選擇努力程度為0， 此時納什均衡為（0,0） ?21?ie 時，雙方收益均達到最大值，此時納什均衡為)21,21( ?1,21(?ie時，博弈一方越努力，另一方選擇努力程度為1， 此時納什均衡為

18、（1,1） 實用文檔 文案大全 第2次作業(yè)答案 1， （1）用擴展型表示這一博弈。 （2）這一博弈的子博弈完美納什均衡是什么？ 運用逆向法，由乙先來選擇，在兩個子博弈中，乙選擇紅色所示的路徑。 再由甲選擇，在（高檔，低檔），（低檔，低檔）之間選擇。甲選擇綠色所示路徑。最終的子博弈完美納什均衡是（高檔，低檔），雙方的收益為（1000,700） 2、（1）兩個企業(yè)同時決策的純策略納什均衡； 同時決策時，兩個企業(yè)都為了各自利潤最大化 分別對各自利潤求導，并令導數(shù)為0 0)(21?caqpp? 實用文檔 文案大全 0)(22?bqq? 解得： bqcaqp? ，cabb?21? 此時，兩個企業(yè)同時決策

19、的純策略納什均衡為企業(yè)1,2的價格為),(bcaq? （2）企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡； 企業(yè)1先決策，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決策后，尋求自身利潤最大化 所以： 0)(22?bqq? bq? 將bq?帶入bcabpqcaqp?221)（? 0)(21?cabpp? cabp? 此時， cabb?21? ，跟同時決策時的納什均衡相同。 企業(yè)1先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1,2的價格為),(bcab? （3）企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡； 企業(yè)2先決策，則企業(yè)1會在知道企業(yè)2的決策后，尋求自身利潤最大化 所以： 0)(22?bqq? caqp? 將caqp?帶入caqbqpbq?2

20、22)（? 0)(22?bqq? baq?2 此時， cabap?22 實用文檔 文案大全 cababa?4,2221? 企業(yè)2先決策的子博弈完美納什均衡為企業(yè)1,2 的價格為)4,2(2cababa? （4）是否存在參數(shù)cba,的特定值或范圍，使兩個企業(yè)都希望自己先決策？ 企業(yè)在先決策時得到的利潤大于后決策時的利潤時，會希望先決策 企業(yè)1希望先決策： 042?cabcaba，abca?,0 企業(yè)2希望先決策： 02?bab ，2,0aba? 結(jié)論：2,0aba?，abc? 3、（1）企業(yè)1沒有引入新技術(shù) 12111)12()qqqqcp?（? 22122)12()qqqqcp?（? 求兩個企

21、業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導，并另偏導為 0 02122111?qqq? 02121222?qqq? 得到： 41?q，42?q 16,1621? （2）企業(yè)1引入新技術(shù) fqqqfqcp?12111)13()（? 22122)12()qqqqcp?（? 求兩個企業(yè)的利潤最大化，只要對利潤函數(shù)求偏導，并另偏導為 0 02132111?qqq? 02121222?qqq? 實用文檔 文案大全 得到：3141?q ，3112?q 此時，317?p 引入新技術(shù)使得企業(yè)1的利潤不少于沒有引入新技術(shù)前的利潤，所以 16)(111?fqcp 得到 952?f時，企業(yè)1會選擇引進新技術(shù)。 4、（1）

22、企業(yè)1的產(chǎn)量1q，企業(yè)2以產(chǎn)量2q進入市場 2113qqp? 1211)12(qqq? 4)12(2212?qqq? 企業(yè)2后進入市場，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化 所以： 02122122?qqq? 12216qq? 將12216qq?帶入1211)12(qqq?，得 0)21612(11111?qqqq? 此時， 61?q，32?q 5,1821? （2）企業(yè)1的產(chǎn)量1q，企業(yè)2以產(chǎn)量2q進入市場時利潤為0，覺得不進入市場 2113qqp? 1211)12(qqq? 4)12(2212?qqq? 企業(yè)2后進入市場，則企業(yè)2會在知道企業(yè)1的決產(chǎn)量后，尋求自身利潤最大化

23、 所以： 實用文檔 文案大全 02122122?qqq? 12216qq? 將12216qq?帶入04)12(2212?qqq?，得 （舍去）或1681?q 321? ，此時，企業(yè)2不進入市場。 5、三個企業(yè)的利潤函數(shù)為： )3,2,1(,)()(321?iqcqqqaqcpiii? 企業(yè)2和企業(yè)3觀察到企業(yè)1的產(chǎn)量后同時選擇產(chǎn)量 23212)(qcqqqa? 33213)(qcqqqa? 企業(yè)2和3均為了各自利潤最大化選擇產(chǎn)量，求解出各個的反應(yīng)函數(shù)： 0232122?cqqqaq? 0232133?cqqqaq? ? ?311312cqaqqqq?，將反應(yīng)函數(shù)帶入企業(yè)1的利潤函數(shù)，得 111

24、3211)(31)(qcqaqcqqqa? 對其求偏導，求解出企業(yè)1利潤最大時的產(chǎn)量 0)2(31111?cqaq? 得到 :21caq? , 632caqq?, 此時：65)662(cacacacaap? 實用文檔 文案大全 第三次作業(yè)答案 1、兩個人的得益矩陣如下： B A 努力 偷懶 努力 )49,49( )25,23( 偷懶 )23,25( )2,2( 一次博弈納什均衡為（偷懶，偷懶），無法實現(xiàn)帕累托最優(yōu)（努力，努力）。無限次博弈時，對于A，第一階段選擇努力， （1）若前t-1時刻選擇均為努力，t時刻也選擇努力)1(49).1(49lim2?ttA （2）t時刻選擇偷懶，則前面的行為均為偷懶 ?425).(2lim252tt A 達到（努力，努力）這個均衡，使?AA?，即21?，采取觸發(fā)策略。、 均衡為（努力，努力），合作產(chǎn)生。 2、假設(shè)：廠商2在23/4t?時，產(chǎn)量為? 2 q，利潤為?2?； 廠商2在24/5t?時