正態(tài)分布的分布函數(shù)與分位數(shù)計算畢業(yè)論文

1、 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）摘 要 數(shù)理統(tǒng)計是研究大量隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它以概率論為理論基礎(chǔ)，研究如何用有效的方式收集、整理和分析受到隨機性影響的數(shù)據(jù)來研究隨機現(xiàn)象的變化規(guī)律，對研究對象的客觀規(guī)律性做出種種合理的估計和判斷。由于隨機性影響無所不在，因而概率統(tǒng)計的許多方法已經(jīng)在自然科學(xué)，社會科學(xué)，工程技術(shù)，軍事科學(xué)和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)得到廣泛的應(yīng)用，而且隨著社會的進步和發(fā)展將會更多更有效的應(yīng)用到社會生活、生產(chǎn)中的各個領(lǐng)域。 關(guān)于分布函數(shù)及其分位數(shù)的計算方法的研究和模擬有很重要的理論意義和實際應(yīng)用價值。本文討論了正態(tài)分布函數(shù)及其分位數(shù)的計算問題，在計算精度比較高的情況下，通過迭代計算，得到正

2、態(tài)分布函數(shù)及其分位數(shù)的計算結(jié)果，利用所得結(jié)果對解決實際問題，給出合理的判斷都有實際意義。首先介紹了正態(tài)分布函數(shù)的定義并就正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)給出了證明。然后對分布函數(shù)和分位數(shù)計算方法做了討論，給出正態(tài)分布函數(shù)及其分位數(shù)的算法。用C語言編程并進行模擬計算。 關(guān)鍵詞：正態(tài)分布函數(shù)；分位數(shù)；密度函數(shù)AbstractMathematical statistics is a mathematics course about studying the regularities of the large number of random phenomena. With the probability theo

3、ries, we study how to collect the data, how to analyze the data and how to find the variety regulation of the random phenomena. For objective regulation of all kind random phenomena, a reasonable estimation and judgment should be given. Many methods of the probability statistical theories are widely

4、 applied to the natural science, social science, engineering technique, military science, and so on. With the societys progress and development, statistical methods will more availably apply to each field within production and social life.The calculating methods of distribution function and critical

5、 value have the very important theoretical meaning and the actual application worth. Calculating problems of the normal distribution function and critical value will be discussed, with the high calculating accuracy, in this thesis. We give the results of how to calculate the normal distribution func

6、tion and critical value with the iteration method. These results are used in some actual problems. This paper consists of the following content. First, introduce the concept of the normal distribution function, give some properties and its proof. Secondly, introduce the computing methods of the dist

7、ribution function and critical value. Thirdly, obtain the computing methods of the normal distribution function and critical value. Fourthly, give the subroutine of computing the distribution function and critical value with C language. key words: normal distribution function；critical value；density

8、functionI 本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）XXXVIII目 錄第1章 緒論11.1 正態(tài)分布的產(chǎn)生和發(fā)展11.2 分布函數(shù)及其作用21.3 分位數(shù)及其一般算法4第2章 正態(tài)分布的定義及相關(guān)性質(zhì)52.1 正態(tài)分布的定義52.2 正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)5第3章 分布函數(shù)的一般算法93.1 分布函數(shù)的定義93.2 積分的近似算法93.2.1 等距內(nèi)插求積公式（牛頓柯特斯求積公式）93.2.2 高斯型求積公式113.3 函數(shù)逼近法163.2.3 有理函數(shù)逼近(Padé逼近)163.2.4 連分式逼近18第4章 計算分位數(shù)的一般方法214.1 分位數(shù)的定義214.2 方程求根的迭代算法214.2.

9、1二分法214.2.2牛頓法（或切線法）224.2.3割線法（或弦截法）234.2.4改進的割線法254.3 分位數(shù)的迭代算法254.3.1分位數(shù)的一個展開式254.3.2基于二階展開式的迭代算法27第5章 正態(tài)分布的分布函數(shù)和分位數(shù)的計算295.1 幾個基本公式295.2 的計算方法305.2.1 的連分式逼近法305.2.2 利用誤差函數(shù)的冪級數(shù)近似式計算305.2.3 用誤差函數(shù)的近似公式計算315.3 分位數(shù)的計算325.3.1 用的近似計算公式325.3.2 用二階展開的迭代求根法335.3.3 利用分位數(shù)展開式的算法33第6章 總結(jié)35參考文獻36致 謝37附錄138附錄240I

10、本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）第1章 緒論1.1 正態(tài)分布的產(chǎn)生和發(fā)展 正態(tài)分布又名高斯分布，是一個在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學(xué)的許多方面有著重大的影響力。若隨機變量服從一個數(shù)學(xué)期望為、標準方差為的高斯分布，記為：.則其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值決定了其位置，其標準差決定了分布的幅度。因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準正態(tài)分布是,的正態(tài)分布。正態(tài)分布是最重要的一種概率分布。正態(tài)分布概念是由德國的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre于1733年首次提出的，但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)研究，故正態(tài)分布又叫高斯分布。高斯這項工作對后世的影

11、響極大，他使正態(tài)分布同時有了“高斯分布”的名稱，后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，重要的貢獻不勝枚舉?，F(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學(xué)貢獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。在高斯剛作出這個發(fā)現(xiàn)之初，也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優(yōu)越性，其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來以后。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯很快得知高斯的工作，并馬上將其與他發(fā)現(xiàn)的中心極限定理聯(lián)系起來，為此，他在即將發(fā)表的一篇文章(發(fā)表于1810年）上加上了一點補

12、充，指出如若誤差可看成許多量的疊加，根據(jù)他的中心極限定理，誤差理應(yīng)有高斯分布。這是歷史上第一次提到所謂“元誤差學(xué)說”誤差是由大量的、由種種原因產(chǎn)生的元誤差疊加而成。后來到1837年，海根(G.Hagen)在一篇論文中正式提出了這個學(xué)說。 其實，他提出的形式有相當大的局限性：海根把誤差設(shè)想成個數(shù)很多的、獨立同分布的“元誤差” 之和，每只取兩值，其概率都是，由此出發(fā)，按狄莫佛的中心極限定理，立即就得出誤差(近似地)服從正態(tài)分布。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義，在于他給誤差的正態(tài)理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為，高斯的說法有一點循環(huán)論證的氣味：由于算術(shù)平均是優(yōu)良

13、的，推出誤差必須服從正態(tài)分布；反過來，由后一結(jié)論又推出算術(shù)平均及最小二乘估計的優(yōu)良性，故必須認定這二者之一(算術(shù)平均的優(yōu)良性，誤差的正態(tài)性) 為出發(fā)點。但算術(shù)平均到底并沒有自行成立的理由，以它作為理論中一個預(yù)設(shè)的出發(fā)點，終覺有其不足之處。拉普拉斯的理把這斷裂的一環(huán)連接起來，使之成為一個和諧的整體，實有著極重大的意義。 正態(tài)分布的主要特征有： 1集中性：正態(tài)曲線的高峰位于正中央，即均數(shù)所在的位置。 2對稱性：正態(tài)曲線以均數(shù)為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。 3均勻變動性：正態(tài)曲線由均數(shù)所在處開始，分別向左右兩側(cè)逐漸均勻下降。 4正態(tài)分布有兩個參數(shù)，即均數(shù)和標準差，可記作：均數(shù)決定正態(tài)曲

14、線的中心位置；標準差決定正態(tài)曲線的陡峭或扁平程度。越小，曲線越陡峭；越大，曲線越扁平。 5變換：為了便于描述和應(yīng)用，常將正態(tài)變量作數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。1.2 分布函數(shù)及其作用 分布函數(shù)就是指：我們設(shè)是一個隨機變量，是任意實數(shù)，函數(shù) 稱為的分布函數(shù)。有時也記為。對于任意實數(shù),有 因此有，若已知X的分布函數(shù)，就可以知道X落在任一區(qū)間上 的概率， 這個意義上說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性。 分布函數(shù)是一個普遍的函數(shù)，正是通過它，我們將能用數(shù)學(xué)分析的方法來研究隨機變量。如果將看成是數(shù)軸上的隨機點的坐標，那么，分布函數(shù)在處的函數(shù)值就表示落在區(qū)間上的概率。 分布函數(shù)具有以下的性質(zhì)： (1)非負有界性

15、;(2)單調(diào)不減性;(3)右連續(xù)性 .幾個重要的聯(lián)合分布：1分布：設(shè)是相互獨立的隨機變量，且 ，則稱隨機變量服從自由度為的分布，簡記為。2分布： 設(shè)，且，相互獨立，則稱隨機變量服從自由度為的分布，或稱學(xué)生氏(Student)分布，簡記為.3分布：設(shè)，且，相互獨立，則稱隨機變量所服從的分布是自由度為，的分布，簡記為.統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，它是一個隨機變量。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。 用來估計一個未知總體參數(shù)的抽樣統(tǒng)計稱為估計。真實參數(shù)值和估計值間的差異稱為抽樣誤差。我們用抽樣分布來測定估計中的抽樣，它可分為正態(tài)總體下與非正態(tài)總體下兩種情況來討論。它是由樣本個觀察值計算的統(tǒng)計量的概率分布。從一個總體

16、中隨機抽出容量相同的各種樣本，從這些樣本計算出的某統(tǒng)計量所有可能值的概率分布，稱為這個統(tǒng)計量的抽樣分布。從一個給定的總體中抽取（不論是否有放回）容量（或大?。榈乃锌赡艿臉颖?，對于每一個樣本，計算出某個統(tǒng)計量（如樣本均值或標準差）的值，不同的樣本得到的該統(tǒng)計量的值是不一樣的，由此得到這個統(tǒng)計量的分布，稱之為抽樣分布。例如：如果特指的統(tǒng)計量是樣本均值，則此分布為均值的抽樣分布。類似的有標準差、方差、中位數(shù)、比例的抽樣分布。分布函數(shù)的計算在整個信息統(tǒng)計分析應(yīng)用中起著基礎(chǔ)性的作用，當我們建立了某個統(tǒng)計模型后，會產(chǎn)生很多的統(tǒng)計量可用它們對某個假設(shè)進行檢驗，這時必須知道這些統(tǒng)計量的分布，某一點的概率、

17、某概率的分位點。1.3 分位數(shù)及其一般算法分位數(shù)是指設(shè)是一連續(xù)型隨機變量，若存在數(shù)值滿足，其中，則稱為的對應(yīng)于概率的分位數(shù)，簡稱分位數(shù)（或分為點）。分位數(shù)的計算一般有一下幾種算法：1.二分法：二分法要求給定兩個初始點,，且滿足.此方法簡單，計算量也少，但收斂速度慢.當能夠估計出方程的根所在的一個較小范圍時，此法是有效的，貝塔分布的分位數(shù)計算就常用二分法。2.牛頓法：牛頓法的直觀思想是：當某步得到零點的近似值后，在處作的切線，切線和軸的交點（即切線的零點）一般更靠近的零點.因牛頓法有這一明顯的幾何意義，所以也叫切線法。3.割線法：牛頓法是用在點的切線近似曲線來求得新的近似值.用牛頓法要求計算導(dǎo)數(shù)

18、；而且要求初值點選得好.這里介紹的方法是用非線性函數(shù)上兩個點的連線（割線）近似曲線求得方程的根的迭代方法，稱為割線法。第2章 正態(tài)分布的定義及相關(guān)性質(zhì)2.1 正態(tài)分布的定義設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為=e，其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，記為。2.2 正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)性質(zhì)1 ，。證明：先求標準正態(tài)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的概率密度為于是=0，=1因，即得=性質(zhì)2 特征函數(shù)為；矩母函數(shù)為：證明：可見，則即得，特征函數(shù)為同理得證，矩母函數(shù)為。性質(zhì)3 分布函數(shù)為證明：由概率密度可得分布函數(shù)性質(zhì)4 (1) 若，則；(2) 若，則。證明：(1) 的分布函數(shù)為=令 得，由此可知， (2) 由

19、性質(zhì)4 (1) 得， 性質(zhì)5 設(shè)為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)，則(1) ，有兩條漸近線和(2) (3) 是的拐點證明：(1) 顯然 ，且前面已證明，則有兩條漸近線曲線關(guān)于對稱 (2) 對及來說，當自變量取負值時所對應(yīng)的函數(shù)值可用自變量取相應(yīng)的正值時所對應(yīng)的函數(shù)值來表示。(3) 在處曲線有拐點，則是的拐點。性質(zhì)6 若，為任意實數(shù)，則證明：正態(tài)隨機變量的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的性質(zhì)知，隨機變量的特征函數(shù)即性質(zhì)7 設(shè)隨機變量，獨立，且，=1,2，.則證明：設(shè)，相互獨立且，由，經(jīng)過計算知仍服從正態(tài)分布，且有推廣到個獨立正態(tài)隨機變量之和，即若，=1,2，且它們相互獨立。則它們的和仍服從正態(tài)分布，且有.性質(zhì)8

20、若總體，而(，)為來自的一個樣本，則證明：來自同一樣本 由性質(zhì)7可得知結(jié)論。性質(zhì)9 若總體，而(，)為來自的一個樣本，則或證明：由性質(zhì)8知，標準化可得知結(jié)論。性質(zhì)10 若總體與獨立，(，)為來自的一個樣本，(，)為來自的一個樣本，則統(tǒng)計量 或 證明：由性質(zhì)4，性質(zhì)8可得知結(jié)論。第3章 分布函數(shù)的一般算法3.1 分布函數(shù)的定義設(shè)是一隨機變量（可以是連續(xù)型的、也可以是離散型的、甚至更一般的），則稱函數(shù) 為的分布函數(shù)當是連續(xù)型隨機變量時，設(shè)密度函數(shù)為，則； 當是離散型隨機變量時，設(shè)概率分布為，則.3.2 積分的近似算法3.2.1 等距內(nèi)插求積公式（牛頓柯特斯求積公式）這是計算a,b區(qū)間上積分的近似計

21、算公式。已知在個點,上的值(,.用多項式來近似，即其中為次多項式，為誤差函數(shù)我們考慮等距節(jié)點的情況，即選 (=0,1,=取為Lagrange插值多項式，即 （3-1）記于是 ' 公式（3-1）可寫成 于是 其中與無關(guān)，只要節(jié)點和確定，它就完全確定，且有其中 求積公式可寫成 （3-2） 此公式稱為等距內(nèi)插求積公式，也稱牛頓柯特斯公式，是不依賴于和區(qū)間的常數(shù)，可事先計算出來，稱為牛頓柯特斯（Newtom-Cotes）系數(shù).實際應(yīng)用中，為了減少誤差，常先把區(qū)間a,b分成小區(qū)間，即,小區(qū)間互不相交，則 （3-3）對每個小區(qū)間上的積分，采用較小的內(nèi)插求積公式來計算，公式（3-3）稱為復(fù)合求積公式

22、.在具體計算中，為了得到所要求精度的積分值，可依次對不同的由復(fù)合求積公式計算積分值，得到積分值序列當相鄰兩個積分值與之差足夠小時停止計算，取為最終的計算結(jié)果，為了減少重復(fù)計算量，加快序列的收斂速度，來提出一些其它的積分算法。對于牛頓柯特斯公式，可以證明，當存在階導(dǎo)數(shù)時，有關(guān)系式 假若為不高于階的多項式，因因此，牛頓柯特斯公式（3-2）精確成立。故稱牛頓柯特斯公式至少具有次代數(shù)精度.定義 對于一個一般的求積公式 ， （3-4）其中是不依賴于函數(shù)的常數(shù)，若求積公式（3-4）中的為任何一個次數(shù)不高于次的代數(shù)多項式，等號成立；而對是次多項式時，公式（3-4）不能精確成立，則我們稱求積公式（3-4）具有

23、次代數(shù)精度。3.2.2 高斯型求積公式等距內(nèi)插求積公式（3-2）的個插值點（節(jié)點）間是等距的，它的代數(shù)精度至少為次（當時偶數(shù)時為次）.在節(jié)點數(shù)目固定為的條件下，能否適當?shù)剡x擇節(jié)點的位置和相應(yīng)的系數(shù)，是求積公式 （3-5）具有最高的代數(shù)精度。答案是肯定的，我們可以選擇節(jié)點，使求積公式（3-5）具有次代數(shù)精度。下面先看的情況.不失一般性，可以把積分區(qū)間取為，這是因為令，總可以把區(qū)間化為，而積分變?yōu)?，其中.現(xiàn)在的問題是如何選取和使 （3-6）對任何三次多項式都能精確成立.把三次多項式代入（3-6），只要解非線性方程組 （3-7）求出即可。但用解方程組的辦法，當稍大時就比較困難。所以一般不采用解方程

24、組而是利用正交多項式的特性來求節(jié)點記，三次多項式總可以表示 ，兩邊積分得若對任意一次多項式恒有 ， （3-8）因求積公式（3-6）對任意一次多項式都精確成立，所以 . 這就是說，當選擇節(jié)點滿足條件（3-8）時，對任意三次多項式，（3-6）是精確成立的。 從幾何直觀上看，就是找和，使通過和的直線，在區(qū)間上圍成的面積和在區(qū)間上圍成的面積相等（見圖 3.1）。 圖 3.1由于（3-8）對任何和都成立，所以必有和.計算這兩個積分得 由此解出.求出節(jié)點以后，利用求積分公式（3-6）對和精確成立，得故.從而時的高斯求積公式為，而條件（3-8）稱為正交條件。下面對一般情況討論高斯型求積公式，考慮積分，其中是

25、權(quán)函數(shù)。現(xiàn)在的問題是如何選取使求積公式 （3-9）當為不高于次多項式時精確成立。記，不高于次的多項式總可以表示為，其中和都是不超過次的多項式，于是，如果對任意不超過次多項式恒有 ， （3-10）因求積公式（3-9）對任意不超過次多項式都精確成立，所以這時有.也就是說，只要選擇節(jié)點滿足條件（3-10）時，則求積公式（3-9）的代數(shù)精度就能達到.條件（3-10）稱為和在區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交.從正交條件（3-10）可以解出.實際上，利用區(qū)間上關(guān)于非負權(quán)函數(shù)的正交多項系的性質(zhì)：的個零點是實數(shù)、不相重、且分布在之中.對給定的權(quán)函數(shù)總能構(gòu)造出關(guān)于此權(quán)函數(shù)的正交多項式系.而且的個零點就是高斯求積公式的個節(jié)點

26、.有了個節(jié)點之后，就可以按以下公式計算系數(shù) . 關(guān)于高斯型求積公式的截斷誤差有下面結(jié)論：當有階導(dǎo)數(shù)時，則截斷誤差為幾個常用的高斯型求積公式.(1) Gauss-Legendre求積公式.當取，區(qū)間為時，求積公式為 . (3-11)由于上定義的Legendre（勒讓德）多項式： 構(gòu)成正交多項式系.以的零點為節(jié)點，系數(shù)和截斷誤差為的求積公式（3-11）稱為Gauss-Legendre求積公式.這是古典的高斯型求積公式，一般就稱為高斯求積公式。(2) Gauss-Laguerre求積公式當取，區(qū)間為0,)時，求積公式為 而節(jié)點是Laguerre（拉蓋爾）多項式：的零點，系數(shù)和截斷誤差由下面的公式計算

27、：(3) Gauss-Hermite求積公式當取，區(qū)間為時，求積公式為 而節(jié)點是次Hermite（埃米爾特）多項式： 的零點，系數(shù)和截斷誤差由下面的公式計算： 3.3 函數(shù)逼近法3.2.3 有理函數(shù)逼近(Padé逼近) Padé逼近是以函數(shù)的冪級數(shù)展開為基礎(chǔ)的，設(shè)在內(nèi)可展成冪級數(shù)又設(shè)為非負整數(shù)（不妨設(shè)），用有理函數(shù)來近似.即令，則 . （3-12） 右邊 （令） （交換求和的次序，對給定的先對求和） ，左邊，比較（3-12）式兩邊的系數(shù)，得關(guān)于系數(shù)滿足的線性方程組： （3-13）不妨設(shè)分母的常數(shù)項，（3-13）有個線性方程，可用來確定和共個待定系數(shù).求解（3-13），得有理

28、函數(shù)就是的Padé近似式.稱為的階Padé近似式.由（3-12）得，用近似時，其截斷誤差的主要部分是.可見用Padé方法得到的有理函數(shù)近似式正像冪級數(shù)展開式一樣，只是在原點附近有良好的精確度，而當增大時，精確度很快就遞減了.大量的計算例子還表明，當為一確定常數(shù)時，在各種可能的階Padé近似式中，采用相等或接近相等時為最佳.如時，采用階Padé近似式；時，采用或階Padé近似式.3.2.4 連分式逼近定義 形如 （3-14）的表達式稱為節(jié)連分式.為書寫方便，有時將（3-14）寫成 連分式有以下兩種算法：算法一 令則就是連分式（3-14）

29、的值.或者令 則為連分式（3-14）的值.這是從后面向前遞推的算法.算法二 記 則有遞推公式 . （3-15）利用遞推公式（3-15），可把連分式化為普通的分式，用從前向后方法計算連分式的值，就是連分式（3-14）的值.對任一形如的函數(shù)，都可以采用以下方法化為連分式函數(shù). = = =.重復(fù)上述步驟，即可把函數(shù)化為連分式.以下給出化函數(shù)為連分式函數(shù)的一般公式.設(shè) 則 ， 其中 .設(shè)為分布函數(shù)，首先的冪級數(shù)展開式：，然后把 化為連分式，用有限節(jié)連分式作為的近似式.這種方法就是連分式逼近方法.利用化函數(shù)為連分式的一般方法，冪級數(shù)的連分式展開式為 . 第4章 計算分位數(shù)的一般方法計算分位數(shù)的問題，實質(zhì)

30、上就是求方程的根的問題.4.1 分位數(shù)的定義設(shè)是一連續(xù)型隨機變量，若存在數(shù)值滿足，其中，則稱為的對應(yīng)于概率的分位數(shù)，簡稱分位數(shù)（或分位點）4.2 方程求根的迭代算法4.2.1二分法二分法實際上是一種求方程的根的搜索方法.設(shè)在給定區(qū)間上連續(xù)，且；這表明在區(qū)間內(nèi)必有一實根.區(qū)間稱為的有根區(qū)間.取區(qū)間的中點，計算；若，則就是的一個根.否則檢查的符號；由中點分成的這兩個區(qū)間中必有一個是有根區(qū)間，記為，令，再施以同樣的方法，可得到新的有根區(qū)間，它的長度是的一半.如此反復(fù)進行下去，可得到一系列有根區(qū)間：.一般地對區(qū)間，取中點為 ， 對給定的精度，當時，停止迭代，即得的近似解.二分法要求給定兩個初始點,，且

31、滿足.此方法簡單，計算量也少，但收斂速度慢.當能夠估計出方程的根所在的一個較小范圍時，此法是有效的，貝塔分布的分位數(shù)計算就常用二分法。4.2.2牛頓法（或切線法）求解非線性方程的牛頓法是非線性函數(shù)在小區(qū)間內(nèi)用線性函數(shù)近似的方法.取初值，由泰勒展開式知非線性函數(shù)在附近有線性近似公式：.令 ，得 . （4-1）用代替（4-1）式右端中的，經(jīng)計算得（見圖4.1）.如此下去，即可得用牛頓法求根的一般迭代公式： . 圖 4.1對給定的精度，當時，停止迭代，并用作為零點的近似值。牛頓法的直觀思想是：當某步得到零點的近似值后，在處作的切線，切線和軸的交點（即切線的零點）一般更靠近的零點.因牛頓法有這一明顯的

32、幾何意義，所以也叫切線法。4.2.3割線法（或弦截法）牛頓法是用在點的切線近似曲線來求得新的近似值.用牛頓法要求計算導(dǎo)數(shù)；而且要求初值點選得好.這里介紹的方法是用非線性函數(shù)上兩個點的連線（割線）近似曲線求得方程的根的迭代方法，稱為割線法。設(shè)曲線上兩點，已知，通過這兩個點的直線方程為，直線與軸的交點為.用作為新的近似點，再由與兩點求出（見圖4.2），依此類推，一般地，若兩點，已知，在時，可得到用割線法的一般迭代公式： . （4-2）對給定的精度，當時停止迭代.就是的根的近似值。圖 4.2當初值,選取不當，如使得，由（4-2）得到的可能離的零點比或更遠.這樣勢必增加迭代過程，以至于不收斂.為使迭代

33、過程更快收斂，經(jīng)常使用改進的割線法。4.2.4改進的割線法 已知函數(shù)，并給出精度.選取初始值，使（即，在=0的根兩邊）.置；按（4-2）計算；若（或，停止迭代.就是的根的近似值；否則繼續(xù)執(zhí)行；如果，以作為新的初值，置繼續(xù)迭代（即重復(fù)）.如果，則在（4-2）中用代替；用代替，得到的值記為；置，重復(fù).4.3 分位數(shù)的迭代算法4.3.1分位數(shù)的一個展開式設(shè)分布函數(shù)，對給定的，求使得的計算問題，就等價于求的反函數(shù)的問題：.例 求指數(shù)分布的分位數(shù).解 指數(shù)分布的分布函數(shù)為.由可得分位數(shù)為.上例通過求指數(shù)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)，即得分位數(shù).一般分布函數(shù)很復(fù)雜，有的不能用初等函數(shù)表示，更不易求出其反函數(shù).是

34、否可導(dǎo)出反函數(shù)的展開式，從而計算分位數(shù)的值呢？回答是肯定的.給定初值，記，下面來求在的展開式.考慮.記，則由，可確定其反函數(shù)，則有.利用，可以求得在的泰勒展開式.事實上 （其中）， （其中）， ，一般地，其中有遞推公式： ， 且 .故在的泰勒展開式為 (其中.若滿足，記，則分位數(shù)有以下展開式： . （4-3）?。?-3）式的有限項，得分位數(shù)的近似公式： . （4-4）利用分位數(shù)展開式的近似式（4-4），可以計算分位數(shù)的近似值.為了提高精度，常把由（4-4）計算所得作為新的初值，用（4-4）式重復(fù)計算，直至（用戶要求的精度）為止.由分位數(shù)的展開式，還可以利用其他分布的分位數(shù)計算所求分布的分位數(shù).

35、設(shè)，任給，求的分位數(shù)，即求，使.已知是標準正態(tài)分布的分位數(shù)，即.利用及（4-7）式可以計算.事實上.記，由（4-4）可得 . （4-5）由正態(tài)分布的分位數(shù)及（4-5）式可以計算的分位數(shù).在這里我們把（4-4）中的初值取為.有一些分布其尾部與正態(tài)是相似的，取作為初值，可以提高計算的精度.4.3.2基于二階展開式的迭代算法設(shè)求解的方程為 . （4-6）記是方程（4-6）的一個近似解，并記.在附近對作二階泰勒展開：.把看成未知量求解以上二次方程，得 . （4-7）當時，由問題的意義，應(yīng)為實數(shù).這時令，或；當時，由（4-10)可得兩個實根和.這時選取，使.例如，當時，?。划敃r，取.求出后，用代替原來的

36、，并重復(fù)上述過程，直至小于允許誤差.用基于二階展開式的迭代算法求分位數(shù)時，方程為，求根公式（4-7）中恰好是分布密度函數(shù)，而是密度函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).一般情況下，密度函數(shù)是已知的，故此算法在統(tǒng)計計算中是有效的算法，且能得到用戶要求的精度。 第5章 正態(tài)分布的分布函數(shù)和分位數(shù)的計算5.1 幾個基本公式 設(shè)，則的分布函數(shù)為：；是標準正態(tài)分布函數(shù).的分位數(shù)為：.其中為標準正態(tài)分布的分位數(shù).討論的計算問題時用到以下幾個關(guān)系式. 定義 稱函數(shù) 為誤差函數(shù)；函數(shù)為余誤差函數(shù).與誤差函數(shù)有以下關(guān)系： （5-1）利用分部積分法可以得出的兩個級數(shù)展開式： （5-2） （5-3）其中是標準正態(tài)分布的密度函數(shù).利用分部

37、積分法可以得出誤差函數(shù)的級數(shù)展開式： （5-4）5.2 的計算方法因是對稱函數(shù)，只需給出時的計算方法；當時，利用計算。5.2.1 的連分式逼近法根據(jù)基本關(guān)系式（5-2）和（5-3），利用化函數(shù)為連分式的一般方法可得的兩個連分式展開式： 其中.截有限節(jié)連分式作為的近似式： （5-5）以上連分式近似式（5-5），當取時，精度可達.5.2.2 利用誤差函數(shù)的冪級數(shù)近似式計算由基本關(guān)系式（5-4）可得=取以上展開式的前項，得 （5-6）由以上近似式（5-6）可計算的值，再由（5-1）式即可得的近似值。5.2.3 用誤差函數(shù)的近似公式計算導(dǎo)出誤差函數(shù)的近似計算公式的方法很多，下面我們介紹兩個常用的計算公

38、式： ， 其中 ， ，.以上近似公式的最大絕對誤差是×. ， （5-7）其中 ， ，.以上近似公式的最大絕對誤差是2.5×.這是最簡單且實用的近似公式，在精度要求不高時使用起來比較方便。表5.1 正態(tài)分布函數(shù)表參數(shù)參數(shù)自變量分布函數(shù)值0100.5000.110.20.50400.120.20.51990.130.20.51200.210.40.57930.220.60.55960.230.90.60260.310.50.57930.320.80.59870.331.00.62930.411.00.72570.421.10.63680.432.00.70195.3 分位數(shù)的計

39、算5.3.1 用的近似計算公式由分位數(shù)的定義，滿足：令，并稱為上側(cè)概率分位數(shù).對給定的，且分位數(shù)與上側(cè)概率分位數(shù)有以下關(guān)系式： 以下只需給出時，的近似計算公式.Hastings 有理近似式（1995年） ， 其中 以上近似公式的最大絕對誤差是4.4×.如果要求精度高，請用以下雙精度的近似公式. Toda 近似公式（1967年） 其中 ×10, ×, ×,×, ×, ×, ×,×, ×10,×10, ×10.以上公式的最大相對誤差為×. 山內(nèi)的近似式（1965年） （

40、5-8） 以上公式的相對誤差小于4.9×10.5.3.2 用二階展開的迭代求根法初值取為（5.8）給出的分位數(shù)的近似值： 用二階展開式的迭代求根公式（5-7）計算后，得用作為新的初值重復(fù)迭代，就可以得到用戶所要求精度的分位數(shù)近似值。5.3.3 利用分位數(shù)展開式的算法取初值（一般取為分位數(shù)的近似值），根據(jù)精度要求取分位數(shù)展開式的項進行計算： （5-9）其中因為（5-9）的右邊可表為：，用遞推算法，令 則如果希望得到更高精度的分位數(shù)值，可把以上得到的作為新的初始值，用近似公式（5-9）反復(fù)迭代，直至滿足用戶要求的精度為止。 表5.2 正態(tài)分布分位數(shù)表 0.0000.0010.0020.5

41、00.0000000.0025070.0050130.540.1004340.1029530.1054740.580.2018930.2044520.2070130.620.3054810.3081080.3107380.660.4124630.4151940.4179280.700.5244010.5272790.5301610.740.6433450.6464310.6495240.780.7721930.7755750.7789660.820.9153650.9191830.9230140.861.0803191.0848231.0893490.901.2815521.2872711.2

42、930320.941.5547741.5632241.5717870.982.0537492.0748552.096927第6章 總結(jié)經(jīng)過一番的努力，我成功的計算出了正態(tài)分布的分布函數(shù)和分位數(shù)的計算。首先，我了解了正態(tài)分布的產(chǎn)生和發(fā)展，掌握了正態(tài)分布的定義，總結(jié)了正態(tài)分布的相關(guān)性質(zhì)，并給出了相應(yīng)的證明。其次，掌握了分布函數(shù)的定義，并通過學(xué)習(xí)掌握了分布函數(shù)的一般算法，包括積分的近似算法和函數(shù)逼近法。接著，掌握了分位數(shù)的定義，并通過學(xué)習(xí)掌握了分位數(shù)的一般算法，包括方程求根的迭代算法和分位數(shù)的迭代算法。最后，利用掌握的分布函數(shù)的一般算法和分位數(shù)的一般算法去計算正態(tài)分布的分布函數(shù)和分位數(shù)，并用C語言編

43、寫了程序，給出了計算后的圖表。在我做畢業(yè)設(shè)計的這三個月期間我收獲了很多，在設(shè)計中我懂得了許多東西，培養(yǎng)了我自己的工作能力，樹立了對自己的信心，提高了自己的動手能力，我相信對自己以后的學(xué)習(xí)和工作會有很大的影響。非常感謝一直陪伴著我的老師和同學(xué)，每當我遇到困難時，都是有你們在幫助我，才讓我從困境中走出。通過這次畢業(yè)設(shè)計，讓我更了解了自己，給了自己一個更明確的定位，從而，給自己以后的工作打下了良好的基礎(chǔ)。參考文獻1 梅長林.實用統(tǒng)計方法M.北京:科學(xué)出版社,2002.2 陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計引論M.北京:科學(xué)出版社,1995.3 沈恒范.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M.北京:高等教育出版社,2003.4 莊楚強

44、.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)M.廣州:華南理工大學(xué)出版社,2001.5 姜啟源.數(shù)學(xué)模型M.北京:高等教育出版社,2000.6 盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:高等教育出版社,2008.7 于學(xué)汗.概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)習(xí)指導(dǎo)M.北京:北京理工大學(xué)出版社,1998.8 天津大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計教研室.應(yīng)用概率統(tǒng)計M.大連:大連理工大學(xué)出版社,1997.9 李樹友.應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計講義M.錦州:人民教育出版社,2009.10 陳魁.應(yīng)用概率統(tǒng)計M.北京:精華大學(xué)出版社,2000.11 葛余博.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:清華大學(xué)出版社,2005.12 劉次華，萬建平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:高等教育出版社,1999

45、.13 龍永紅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.北京:高等教育出版社,2001.14 王玉津，張鳳寬.概率論與數(shù)理統(tǒng)計名師導(dǎo)學(xué)M.北京:中國人民大學(xué)出版社,2004.15 Bickel P J,Doksum K.A.Mathematical StaticticsM.Fancisco:Hold-Day Inc 1997.16 Chen G,Dong X.Onfeedback control ofchaoticcontinuous systemsJ.致 謝轉(zhuǎn)眼間，我四年的大學(xué)生活已接近尾聲，歷時將近三個月的時間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難和障礙，都在同學(xué)和老師的幫助下度過了。尤其要強

46、烈感謝我的論文指導(dǎo)老師李樹有老師，他對我進行了無私的指導(dǎo)和幫助，不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進。另外，在校圖書館查找資料的時候，圖書館的老師也給我提供了很多方面的支持與幫助。在此向幫助和指導(dǎo)過我的各位老師表示最衷心的感謝！感謝這篇論文所涉及到的各位學(xué)者。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻，如果沒有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。感謝我的同學(xué)和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多你問素材，還在論文的撰寫和排版燈過程中提供熱情的幫助。由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學(xué)友批評和指正！最后由衷的感謝幫助我的老師、同學(xué)、和朋友。附錄1正態(tài)分布函數(shù)算法#include <stdio.h>#define pi 3.14159#include<math.h>main()float x , n , f , t , m , l; int s=1 ; t=0;n=1.0;l=0;m=0; printf("Please input x : n"); scanf("%f",& x ); if(x!= 0&&x<=3) f=