第七章5空間曲線及其方程28900

1、空間曲線及其方程空間曲線及其方程 0),(0),(zyxgzyxf空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 曲線上的點(diǎn)都滿足曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程.xozy1s2sc空間曲線空間曲線c可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點(diǎn)特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交

2、線為橢圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx 當(dāng)當(dāng)給給定定1tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線線上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)),(111zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線線上上的的全全部部點(diǎn)點(diǎn).空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從a點(diǎn)出點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過發(fā)，經(jīng)過t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到m點(diǎn)點(diǎn) 例例 3 3 如如果果空空間間一一點(diǎn)點(diǎn)m在在圓圓柱柱面面

3、222ayx 上上以以角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，同同時(shí)時(shí)又又以以線線速速度度v沿沿平平行行于于z軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點(diǎn)點(diǎn)m構(gòu)構(gòu)成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線線試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 a mm m在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxm tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時(shí)間取時(shí)間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzo螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 螺旋線的重要螺旋線的重要性質(zhì)性質(zhì)：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與

4、轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxgzyxf消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxh曲線關(guān)于曲線關(guān)于 的的投影柱面投影柱面xoy設(shè)空間曲線的一般方程：設(shè)空間曲線的一般方程：以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線為準(zhǔn)線，垂直于所投影的坐標(biāo)面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上

5、的投影 00),(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲線投影曲線,yoz面上的面上的投影曲線投影曲線,xoz 00),(zyxh空間曲線在空間曲線在 面上的面上的投影曲線投影曲線xoy例例4 4 求曲線求曲線 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去變量）消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影為線段面上的投影為線段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也為線段面上的投影也為線段.yoz.23|,021 yxz（2）因?yàn)榍€在平面）因?yàn)榍€在平面 上，上，

6、21 z例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22與平面與平面 02 zyx 的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程的截線在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線方程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解如圖如圖,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影 ,004522 zxxyyx補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. .空間立體空間立體曲面曲面例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立

7、體xoyyxzyxz 解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzc, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影為面上的投影為在在則交線則交線xoyc . 0, 122zyx一個(gè)圓一個(gè)圓,面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四、小結(jié)四、小結(jié)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf )()()(tzztyytxx 00),(zyxh 00),(xzyr 00),(yzxt思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 222與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱