滬科版八年級(上)數(shù)學第13章三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明【專訓】階段強化專訓

1、BBBB初中系列方曲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑專訓一：三角形三邊關(guān)系的巧用名師點金：三角形的三邊關(guān)系應用廣泛，利用三邊關(guān)系可以判斷三條線段能 否組成三角形、已知兩邊求第三邊的長或取值范圍、證明線段不等關(guān)系、化簡絕 對值、求解等腰三角形的邊長及周長等問題.遨芳I判斷三條線段能否組成三角形1. 下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，不能擺成三 角形的一組是（）A. 4, 4, 8 B. 5, 5, 1C. 3, 7, 9 D. 2, 5, 42. 有四條線段，長度分別為4 a”，Sent, 10c/n, 2cm,選其中三條組成 三角形，試問可以組成多少個三角形？分別寫出來.撤萬2求三角形第三邊的長

2、或取值范圍3. 一個三角形的兩邊長分別為5 c”和3 cm,笫三邊的長是整數(shù)，且周長是 偶數(shù)，則第三邊的長是（）A. 2 cm 或 4 cm B. 4 cm 或 6 cmC. 4 cm D. 2 cm 或 6 cm4. 如果三角形的兩邊長分別為3和5,則周長1的取值范圍是（）A. 6<1<15 B. 6<1<16C. 1KK13 D. 10<1<165. 若三角形的三邊長是三個連續(xù)的自然數(shù)，其周長m滿足10<m<22,則這樣的三角形有個.三角形的三邊關(guān)系在等腰三角形中的應用6. 等腰三角形的一條邊長為6,另一條邊長為13,則它的周長為（）A. 2

3、5 B. 25 或 32BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑C32 D197. 已知等腰三角形ABC的底邊BC = 8c”，IAC BCI = 2c“，貝9 AC =8. 若等腰三角形的底邊長為4,且周長小于20,則它的腰長b的取值范圍是.三角形的三邊關(guān)系在代數(shù)中的應用9. 已知三角形三邊長分別為a, b, c,且la+bcl+labcl=10,求b的 值.10. 已知 a, b, c 是ZABC 的三邊長，b, c 滿足(b2)2+lc-3l=0,且 a 為方程lx41 = 2的解，求AABC的周長.遨於利用三角形的三邊關(guān)系說明邊的不等關(guān)系11. 如圖，已知D, E為ZABC內(nèi)兩點，說明：AB

4、+ AOBD + DE+CE.BC(第11題)專訓二：三角形的三種重要線段名師點金：三角形的高線、中線和角平分線是三角形中三種重要的線段，它 們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起到了 很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度認識這三種線段.仁三角形的高類型1找三角形的高1. 如圖，已知AB±BD于點B, AC丄CD于點C, AC與BD交于點E.AADE的邊DE上的高為,邊AE上的高為類型2作三角形的高2. （動手操作題）畫岀圖中AABC的三條高I （要標明字母，不寫畫法）類型3應用三角形的高3. 如圖，在ZABC中，BC=4, AC = 5,若BC邊上

5、的高AD=4.（1）求AABC的面積及AC邊上的高BE的長； 求AD : BE的值.BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑4. 如圖，在ZiABC中，AB = AC, DE丄AB, DF丄AC, BG丄AC,垂足分（第4題）試說明：DE+DF=BG （第9題）期媒離度2：三角形的中線類型1利用中線求長度5. 如圖，AE是ZABC的中線，已知EC=4, DE=2,則BD的長為（）A. 23 C. 4 D 66. 如圖，已知BE=CE, ED為AEBC的中線，BD = 8, AAEC的周長為24,則AABC的周長為（）A. 40B. 46C. 50D 567在等腰三角形ABC中，AB = AC, 一腰上

6、的中線BD將這個三角形的周 長分成15 cm和6紉?兩部分，求這個等腰三角形的三邊長類型2利用中線求面積8. （2015-廣東改編）如圖，AABC的三邊的中線AD, BE, CF的公共點為G,且AG : GD = 2 : 1,若SaAbc=12,則圖中陰影部分的面積是9.操作與探索:在圖中，AABC的面積為a.（1）如圖，延長AABC的邊BC至IJ點D,使CD = BC,連接DA,若AACD的面積為Si，則S】=（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖，延長AABC的邊BC到點D,延長邊CA到點E,使CD = BC,AE=CA,連接DE,若ADEC的面積為S2,則S2=（用含a的代數(shù)式表示），請說明

7、理由；如圖，在圖的基礎(chǔ)上延長AB到點F,使BF=AB,連接FD, FE,得到ADEF,若陰影部分的面積為S3,則®=（用含a的代數(shù)式表示）.逹爆食厳工三角形的角平分線類型1三角形角平分線定義的直接應用10. （1）如圖，在AABC中，D, E, F是邊BC±的三點，且Z1 = Z2=Z3= Z4,以AE為角平分線的三角形有:如圖，若已知AE平分ZBAC,且Z1 = Z2=Z4=15。，計算Z3的度數(shù), 并說明AE是ADAF的角平分線.（第10題）BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑類型2三角形的角平分線與高線相結(jié)合求角的度數(shù)11. 如圖，在AABC中，AD是高，AE是ZBAC的

8、平分線，ZB = 20。，ZC = 60°,求ZDAE的度數(shù).類型3求三角形兩內(nèi)角平分線的交角度數(shù)12. 如圖，在AABC中，BE, CD分別為其角平分線且交于點O.(1) 當ZA=60°時，求ZBOC的度數(shù)；(2) 當ZA=100°時，求ZBOC的度數(shù)；(3) 當ZA = a°時，求ZBOC的度數(shù).(第12題)BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑專訓三：命題與證明名師點金：命題貫穿于數(shù)學始終，是數(shù)學的基礎(chǔ)知識，學習時，要會判斷一 句話是不是命題，能找出命題的條件和結(jié)論，會判斷命題的真假，會用證明的方 法去證明一個真命題.瀏鑽第更#命題的定義與結(jié)論1. 下列

9、句子是命題的有()(1) 一個角的補角比這個角的余角大多少度?(2) 垂線段最短，對嗎？等角的補角相等；(4) 兩條直線相交只有一個交點；(5) 同旁內(nèi)角互補.A. 1個 B. 2個 C. 3個 D 4個2. 寫出下列命題的條件和結(jié)論：(1) 平行于同一條直線的兩條直線平行；(2) 互為鄰補角的兩個角的平分線互相垂直;(3) 兩點確定一條直線.命題的真假3. 判斷下列命題的真假，如果是假命題，請舉一個反例.(1) 一個三角形如果有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形；(2) 如果lal = lbl,那么 a3=b3；如果AC = BC,那么點C是AB的中點；(4) 如果等腰三角形的兩條邊長分

10、別為5和7,那么這個等腰三角形的周長為*瘞負嵐天命題的證明類型1證明真命題(第4題)4. 已知：如圖Z1 = Z2,求證：BECF.現(xiàn)有下列步驟：VZ2=Z1；ZABC=ZBCD=90。；.BECF；TAB丄BC, DC丄BC；A ZEBC= ZFCB.那么能體現(xiàn)證明順序規(guī)范的是()A. ®®® B. ®®®C. ®®® D. ®®5. 如圖，在厶ABC 中，ZACB=90°, CD±AB,垂足為 D.求證：Z1 = ZA,Z2=ZB.類型2證明假命題6. 已知命題

11、：“一個銳角與一個鈍角的度數(shù)之和一定等于180。”，請你判 斷這個命題的真假，如果是假命題，請你用舉反例的方法說明它是假命題.BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑專訓四：三角形內(nèi)角和與外角和的幾種常見應用類型名師點金：關(guān)角的很多問題，一般可用于直接計算角度、三角尺或直尺中求 角度、與平行線的性質(zhì)綜合求角度、截角或折疊問題中求角度等.直接計算角度1. 如圖，在AABC 中，ZA = 60。，ZB =40°，點 D, E 分別在 BC, AC 的 延長線上，則Zl=152. （2015-朝陽）如圖，ABCD, ZA=46°, ZC = 27。，則ZAEC 的大小應 為（）A. 19

12、° B, 29° C. 63° D. 73°3. 在ZABC 中，三個內(nèi)角 ZA, ZB, ZC 滿足ZB-ZA=ZCZB,則ZB=.鴻甕乏三角尺或直尺中求角度4. （2015-咸宇）如圖，把一塊直角三角形的直角頂點放在直尺的一邊上，若 Zl=50°,則Z2的度數(shù)是（ ）A. 50° B. 40° C. 30° D. 25°（第4題）5. 副三角尺ABC和DEF如圖放置（其中ZA = 60°, ZF=45°）,使點E落在AC邊上，且EDBC,則ZCEF的度數(shù)為.6. 一副三角尺如圖所示

13、擺放，以AC為一邊，在AABC外作ZCAF= ZDCE, 邊AF交DC的延長線于點F,求ZF的度數(shù).（第6題）鴻裂黃與平行線的性質(zhì)綜合求角度7如圖，AB/7CD, ZABE=60°, ZD = 50°,求ZE 的度數(shù).（第7題）1奏型農(nóng)與截角和折疊綜合求角度8. 如圖，在AABC中，ZC = 70。，若沿圖中虛線截去ZC,則Z1 + Z2等 于（）A. 360° B. 250° C 180° D 140°9. 如圖，將一張長方形紙條折成如圖所示的形狀，若Z2 = 65°,則Zl =BBBB初中系列方曲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑10如圖，將

14、ZiABC沿著DE翻折，使B點與氏點重合，若Zl + Z2 = 80°, 求ZB的度數(shù)(第10題)答案專訓一1. A 點撥：4+4=8,不能擺成三角形.2. 解：可以組成3個三角形，分別為：(1 )8 cm, 10 cm, 12 cm； (2)4 cm, 10 cm, 12 cm； (3)4 cm, 8 cm. 10 cm.3. B點撥：設(shè)三角形第三邊的長為xcm,則5 3VxV5 + 3,即2<x<8.乂在2到8之間的整數(shù)有3, 4, 5, 6, 7,而三角形的周長x + 3 + 5 = x + 8應 為偶數(shù)，所以x也是偶數(shù)，即x的值只能是4或6.所以三角形笫三邊的長是

15、4 c加 或 6 cm.4. D點撥：設(shè)第三邊的長為x,則2<x<8,所以周長1的取值范圍是3 +5+2V1V3+5+8,即 10<1<16.5. 4點撥：設(shè)三邊長分別為a, a+1, a+2,則m = 3a+3,所以10<3a719+ 3V22,解W5<a<y.所以a的值為3, 4, 5或6,經(jīng)驗證，都可以組成三角 形，即這樣的三角形有4個.6. C7. 10c/»或6c”點撥：求出AC的長后要驗證是否滿足三角形的三邊關(guān) 系.fb+b>4,8. 2<b<8點撥：由題意得仁解得2VbV8.l2b+4V20,9. 解：根據(jù)三角

16、形的三邊關(guān)系，可知a+b>c, b+c>a,所以 la+bcl + labcl = n+bc+b+c a = 2b= 10,所以b=5.x (x$0),點撥:因為lxl=z所以涉及絕對值化簡的題目，我們需考慮XI-X (x<0),的符號問題.本題中絕對值符號內(nèi)的式子都是關(guān)于三角形三邊的關(guān)系式，我們需 先運用三角形的三邊關(guān)系判斷每一個式子的正負，再利用絕對值的意義求解.10. 解：因為(b-2)20, lc-310,且(b-2)2+lc-3l=0,所以(b2)2=0, lc-3l=0,解得 b = 2, c=3.由a為方程lx41 = 2的解，可知a4 = 2或a4=2,即a=

17、6或a=2.當a=6時，有2+3<6,不能組成三角形，故舍去；當a=2時，有2+2>3,符合三角形的三邊關(guān)系.所以 a=2, b = 2, c=3.所以AABC的周長為2+2+3 = 7.（第11題）11. 解：如圖，將DE向兩邊延長分別交AB, AC于點M, N,在AAMN 中，AM+AN>MD + DE+NE：在ZBDM 中，MB + MD>BD：在ZXCEN 中，CN + NE>CE；+，得 AM + AN+MB + MD+CN+NE>MD + DE+NE+BD + CE,所以 AB + AOBD+DE+CE.BBBB初中系列方曲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑專訓二1.

18、 AB； DC2. 解：如圖.（第2題）3. 解：(1)Saabc=|bC-AD=X4X4=8.因為 S,、abc=*ACBE=*X5XBE=8,所以BE=y.16 5(2) AD : BE=4 : §=/4. 解:連接 AD,因為 Saabc = S/.abd+Saadc,所以£aC BG=£B DE+£ACDF.又因為AB=AC,所以BG = DE+DF.點撥：“等面積法”是數(shù)學中很重要的方法，而在涉及垂直的線段的關(guān)系時， 常將線段的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系來解決.5. A6. A 點撥：因為ZAEC的周長為24,所以AE+CE+AC = 24.乂因為B

19、E =CE,所以 AE+BE+AC = AB + AC = 24.乂因為 ED 為ZEBC 的中線，所以 BC = 2BD=2X8=16.所以 ABC 的周長為 AB + AC + BC = 24+16=407. 解：設(shè) AD=CD=xcm,貝lj AB=2x cm, BC=(214x)cm.依題意，有 AB+AD=15cm 或 AB+AD=6m 則有 2x+x=15 或 2x+x =6,解得x = 5或x = 2當x = 5時，三邊長為10 cm, 10 cm, 1 cm；當x=2時，三邊長為4c”，4 cm, 13 cm,而4+4< 13,故不成立.所以這個等腰三角形的三邊長為lOc

20、/n, 10 c/7?, cm.8. 4 點撥：VAG : GD = 2 : 1, AAG : AD = 2 : 3,. _2 S a ABG =SzxABD #方曲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑同理Smge=2,圖中陰影部分的面積為4.9. 解：(l)a(2) 2a理由：連接 AD,因為 SaabcSaacd=Saaed=a,所以 Sadec2a.(3) 6a10. 解：(1)ZABC 和厶ADF(2)因為 AE 平分ZBAC,所以ZBAE=ZCAE.乂因為Z1 = Z2=15。，所以 ZBAE= Z1 + Z2= 15°+ 15°=3O°.所以ZCAE= ZBAE=30

21、6;,即ZCAE= Z4 + Z3 = 30。.又因為Z4=15。，所以Z3=15°.所以Z2=Z3=15°.所以 AE 是 ADAF的角平分線.11. 解：在AABC 中，ZB = 20°, ZC=60°,所以ZBAC= 180°-ZB-ZC = 180。一 20。一 60。= 100。. 乂 因為 AE 是 ZBAC 的平分線，所以 ZBAeJzBAC=|x 100°=50°.在厶ABD 中，ZB+ ZBAD+ ZBDA= 180°.乂因為 AD 是高, 所以ZBDA = 90。，所以ZBAD = 180

22、76;-ZB-ZBDA = 180°-20°-90° = 70°.所 以 Z DAE = Z B AD Z B AE=70。一 50。= 20°.點撥：靈活運用三角形內(nèi)角和為180°,結(jié)合三角形的高及角平分線是求有 關(guān)角的度數(shù)的常用方法.12. 解：(1)因為ZA=60°,所以 Z ABC + Z ACB = 120。.因為BE, CD為AABC的角平分線，所以 ZEBC+Z DCB = 60°,所以 Z BOC =180°-(Z EBC + Z DCB) = 180。一 60。= 120。.(2)因為

23、ZA=100°,所以 ZABC+Z ACB = 80°.因為BE, CD為AABC的角平分線，所以 Z EBC + Z DCB=40°,所以 Z BOC = 180° - (Z EBC + Z DCB) = 180° 一 40°= 140°.(3)因為 ZA = a。,BBBB初中系列方蟲創(chuàng)靳教輔領(lǐng)跑所以 ZABC+Z ACB =180°-a°.因為BE, CD為AABC的角平分線，所以 Z EBC + Z DCB = 90。一 *a°，所以 Z BOC=180°-(Z EBC + Z DCB) = 180。一(90。一制=90。+討.點撥：第(1)問很容易解決，第(2)問是對前一問的一個變式，笫(3)問就是類 比前面解決問題的方法用含a的代數(shù)式表示.專訓三1. C2. 解：(1)條件是兩條直線都與第三條直線平行，結(jié)論是這兩條直線平行.(2) 條件是兩個角互為鄰補角，結(jié)論是這兩個角的平分線互相垂直.(3) 條件是平面內(nèi)有兩個點，結(jié)論是經(jīng)過這兩點可以畫一條直線.3. 解：(1)是真命題.(2) 是假命題，121 = 1-21,但 2V(-2)3.(3) 是假命題，如：當A, B, C三點不