浙江大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院博士生博弈論課程習(xí)題及答案

1、1 納什均衡1在下表所示的戰(zhàn)略式博弈中，找出重復(fù)刪除劣戰(zhàn)略的占優(yōu)均衡表 1.1 首先，找出s2的劣戰(zhàn)略。對于s2，m 策略嚴(yán)格劣于r 策略，所以m 為嚴(yán)格劣策略。刪除后m 再找出 s1 的劣戰(zhàn)略，顯然對于s1而言， m 策略和 d 策略嚴(yán)格劣于u 策略，所以m 和 d 為嚴(yán)格劣策略。刪除m 與 d 后找占優(yōu)均衡為（u,l ）即，（4，3） 。2求解下表所示的戰(zhàn)略博弈式的所有的純戰(zhàn)略納什均衡表 1.2 s1 s2 和 s3 x3 y3 x2 y2 x2 y2 x1 0,0,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0 y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 首先看 s1選擇 x 策略。如

2、果s2 同樣選擇x 策略，那么s3 一定選擇y 策略；同樣，如果s3選擇 y 策略， s2 也一定會選擇x 策略，因此（ x，x，y）是一個(gè)納什均衡；如果s2 選擇 y 策略，那么 s3 一定選擇 x 策略；同樣，如果s3 選擇 x 策略， s2也一定會選擇y 策略，因此， （x，y，x）是一個(gè)納什均衡。其次看 s1選擇 y 策略。如果s2 選擇 x 策略， s3 一定選擇x 策略；同樣，如果s3 選擇 x 策略， s2 也一定會選擇x 策略，因此（ y，x，x）是一個(gè)納什么均衡。如果s2 選擇 y 策略， s3選擇 y 策略是理性的，如果s3 選擇 x，s2 將選擇 x，這樣（ y，y，x）

3、將不是一個(gè)納什均衡；同樣，如果 s3 選擇 y 策略， s2 也一定會選擇y 策略，因此（ y，y， y）是一個(gè)納什均衡。所以該博弈式的純戰(zhàn)略納什均衡有4 個(gè)： （x，x，y） （x， y， x） （y，x，x） （ y，y，y） 。3 （投票博弈）假定有三個(gè)參與人（1、 2 和 3）要在三個(gè)項(xiàng)目（a、 b 和 c）中選中一個(gè)。三人同時(shí)投票，不允許棄權(quán)，因此，每個(gè)參與人的戰(zhàn)略空間si=a，b，c 。得票最多的項(xiàng)目被選中，如果沒有任何項(xiàng)目得到多數(shù)票，項(xiàng)目a 被選中。參與人的支付函數(shù)如下：u1(a)=u2(b)=u3(c)=2 u1(b)=u2(c)=u3(a)=1 u1(c)=u2(a)=u3(

4、b)=0 求解以上博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡。首先：將上述博弈過程轉(zhuǎn)換為戰(zhàn)略式博弈矩陣。1 2 和 3 a3 b3 c3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 2,0,1 1,2,0 2,0,1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 b2 2,0,1 1,2,0 2,0,1 1,2,0 1,2,0 1,2,0 2,0,1 1,2,0 0,1,2 c1 2,0,1 2,0,1 0,1,2 2,0,1 1,2,0 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,2 由上， 若參與人1 選擇 a 策略。 如果參與人2 同樣選擇a 策略，那么參與人3

5、選擇 abc 策略s1 s2 l m r u 4,3 5,1 6,2 m 2,1 8,4 3,6 d 3,0 9,6 2,8 2 是無差異的，但均衡策略只能是參與人3 選擇 a 策略，因此（ a，a，a）是一個(gè)納什均衡。如果參與人 2 選擇 b 策略，參與人3 選擇 ab 策略是差異的，但均衡策略只能是其選擇a，因此（ a，b，a）是一個(gè)納什均衡。如果參與人2 選擇 c 策略，參與人3 將選擇 c 策略；同樣，如果參與3選擇 c 策略，參與人2 也將選擇c 策略。因此，（ a， c，c）是一個(gè)納什均衡。若參與人1 選擇 b 策略。如果參與人2 選擇 a 策略，那么參與人3 將選擇 a 或 c

6、策略；但當(dāng)參與人 3 選擇 c 策略時(shí)，參與人2 的最優(yōu)策略是選擇b，當(dāng)其選擇a 策略時(shí)，參與人2 將選擇 b策略，因此，這種情況不存在納什均衡。如果參與人2 選擇 b 策略，參與人3 將選擇 abc 是無差異的，但其選擇a 和 c 都不滿足納什均衡，因此當(dāng)其選擇a 和 c 時(shí)，參與人1 將選擇 a 或 c，因此有當(dāng)參與人3 選擇 b 策略時(shí)，才存在納什均衡（b，b，b） 。如果參與人2 選擇 c 策略，參與人3 也將選擇c 策略；但參與人3 選擇 c 策略時(shí)，參與人2 將選擇 b 策略，因此，這時(shí)不存在納什均衡。若參與人1 選擇 c 策略。如果參與人2 選擇 a 或 b 策略，那么參與人3

7、將選擇 c 策略；但當(dāng)參與人 3 選擇 c 策略時(shí)，參與人1 的最優(yōu)策略是選擇b，因此，這種情況不存在納什均衡。如果參與人 2 選擇 c 策略，參與人3 將選擇 c 策略；因?yàn)檫@時(shí)的ab 策略都不滿足納什均衡，因此，存在一個(gè)納什均衡（c，c， c） 。所以， 該博弈的所有純戰(zhàn)略納什均衡有5 個(gè)，分別是（ a，a，a） （a，b，a） （a，c，c） （b，b，b） （c，c，c） 。4求解以下戰(zhàn)略式博弈的所有納什均衡表 1.3 s1 s2 l m r t 7，2 2，7 3，6 b 2，7 7，2 4，5 首先考慮純納什均衡。如果 s1 選擇 t 戰(zhàn)略 s2 將選擇 m 戰(zhàn)略 s1 選擇 b

8、戰(zhàn)略 s2將選擇 l戰(zhàn)略 s1 選擇 t 戰(zhàn)略, 因此，該博弈不存在純納什均衡戰(zhàn)略。所以我們考慮尋找混合戰(zhàn)略納什均衡。因此， s1 可以對 t 與 b 策略進(jìn)行混合，而s2 則可以對l、m、r 中的任意至少兩個(gè)策略進(jìn)行選擇，因此，設(shè)s1 選擇 t 策略的概率為 ，s2 選擇 l 策略的概率為 ，m 策略的概率為 ，則可能有以下情況：（1）s2 選擇 l、 m 和 r 的混合戰(zhàn)略。對于s2 而言，如果三種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必然滿足三種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，這一混合戰(zhàn)略能否成立取決于是否滿足以下兩個(gè)方程：156127127172該方程組無解，所以s2 無法同時(shí)采用l、m 和 r 同時(shí)混合的戰(zhàn)略（2

9、）s2 選擇 l 和 m 混合戰(zhàn)略。如果兩種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必然滿足兩種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，需要滿足以下方程：127172，解得： 1/2。但是將 1/2 代入等式可得效用為1721279/2；同時(shí)，將 1/2 代入156可得其值等于 11/2。9/213/3 表明 l 和 r 的混合戰(zhàn)略的期望效用大于m 戰(zhàn)略的期望效用，因此，這一混合戰(zhàn)略滿足納什均衡。另一方面，計(jì)算s1 的混合戰(zhàn)略，需要滿足以下等式：172127，解得：1/2，因此這一混合戰(zhàn)略的納什均衡為rlbt21213231，。（4）s2 選擇 m 和 r 的混合戰(zhàn)略。顯然，這一戰(zhàn)略不可能是納什均衡戰(zhàn)略，對于s2 來說，如果放棄了l

10、 戰(zhàn)略，那么對s1 而言 t 戰(zhàn)略將是劣戰(zhàn)略，其將直接選擇b 戰(zhàn)略，這時(shí)s2 只能選擇r戰(zhàn)略， s1 的反應(yīng)只可能是l 戰(zhàn)略，這顯然與假設(shè)矛盾。5模型化下述劃拳博弈：兩個(gè)朋友在一些劃拳喝酒，每個(gè)人有四個(gè)純戰(zhàn)略：桿子、老虎、雞和蟲子。輸贏規(guī)則是：桿子降老虎，老虎降雞，雞降蟲子，蟲子降桿子。兩個(gè)人同時(shí)出令，如果一個(gè)打敗另一個(gè)人，贏者的效用為1，輸者的效用為1；否則效用為0。給出以上博弈的戰(zhàn)略式描述并求出所有的納什均衡。（1）以上博弈的戰(zhàn)略式表述為1 2 桿子老虎雞蟲子桿子0，0 1， 1 0，0 1，1 老虎1，1 0，0 1， 1 0，0 雞0，0 1，1 0，0 1， 1 蟲子1， 1 0，0

11、 1，1 0，0 （2）顯然，這一博弈戰(zhàn)略并不存在純納什均衡。假定參與人1 選擇桿子，老虎，雞和蟲子四種戰(zhàn)略的混合戰(zhàn)略，其概率分別為a，b，c 和 d，且 ab cd1。如果這四種戰(zhàn)略同時(shí)混合，必須使得這四種戰(zhàn)略的期望效用相同，因此，必須滿足以下四個(gè)方程：cabcbcacacdb解得： abcd，所以abcd1/4 。同理可得參與人2 的戰(zhàn)略，所以該博弈的唯一混合策略納什均衡是參與者以1/4 的概率隨機(jī)選擇各自的四個(gè)純戰(zhàn)略。6一群賭徒圍成一圈賭博，每個(gè)人將自己的錢放在邊上（每個(gè)人只知道自己有多少錢），突然一陣風(fēng)吹來將所有的錢混在一起，使得他們無法分辨哪些錢是屬于自己的，他們?yōu)榇税l(fā)生了爭執(zhí)，最后

12、請來一位律師。律師宣布這樣的規(guī)則，每個(gè)人將自己的錢數(shù)寫在紙上，然后將紙條交給律師，如果所有人要求的錢數(shù)加總不大于已有錢的總數(shù)，每個(gè)人得到自己要求的那部分，剩余部分歸律師；如果所有人要求的錢加總大于已有錢的總數(shù)，則所有的錢歸律師所有。寫出這個(gè)博弈每個(gè)參與人的戰(zhàn)略空間與支付函數(shù)，求出所有的納什均衡。（假設(shè)錢的總數(shù)為m，m 為共同知識） 。博弈參與人的戰(zhàn)略空間是120ccxrxm，參與人 i 的支付函數(shù)是：iuix，ixm4 0，ixm因此，對于參與人i 來說，只要采用ijjixmx都能實(shí)現(xiàn)自己的最大收益，也就是說，在該博弈中有著多個(gè)納什均衡，所有使得ixm，0ixm成立的戰(zhàn)略組合都是該博弈的純戰(zhàn)略

13、納什均衡。7考慮一個(gè)工作申請的博弈。兩個(gè)學(xué)生同時(shí)向兩家企業(yè)申請工作，每家企業(yè)只有一個(gè)工作崗位。工作申請規(guī)則如下：每個(gè)學(xué)生只能向其中一家企業(yè)申請工作；如果一家企業(yè)只有一個(gè)學(xué)生申請，該學(xué)生獲得工作；如果一家企業(yè)有兩個(gè)學(xué)生申請，則每個(gè)學(xué)生獲得工作的概率為1/2。現(xiàn)在假定每家企業(yè)的工資滿足：w1/2w2c 那么每家企業(yè)的利潤02iijipcq，因此，企業(yè)i 只要將其價(jià)格略微 低于 其 它 企 業(yè) 就 將 獲 得 整個(gè) 市 場的 需 求 ，而 且 利 潤 也 會上 升 至()()22iiiipcpcq pq p，0。同樣，其它企業(yè)也會采取相同的策略，如果此下去，直到每家廠商都不會選擇降價(jià)策略，此時(shí)的均衡

14、結(jié)果只可能是pipjc。此時(shí)，企業(yè)i 的需求函數(shù)為2iacq。11 （差異價(jià)格競爭）假定兩個(gè)寡頭企業(yè)進(jìn)行價(jià)格競爭，但產(chǎn)品并不完全相同，企業(yè)i 的市場需求)2, 1,(),(jippappqjijii，兩家企業(yè)的生產(chǎn)成本函數(shù)為cq，求兩個(gè)寡頭同時(shí)選擇價(jià)格時(shí)的納什均衡。企 業(yè)i的 利潤函數(shù) 為()()iiiiiijpqcqpc app，由一階條 件02cppapjii可得企業(yè)i 的反應(yīng)函數(shù)為2jiapcp。考慮到對稱性，同樣方法可以得到企業(yè)j 的反應(yīng)函數(shù)為2cpapij，聯(lián)立此兩方程可得兩個(gè)寡頭同時(shí)選擇價(jià)格時(shí)的納什均衡為：cappji。12構(gòu)造一個(gè)例子說明博弈中可能存在如下情況：一個(gè)參與人的選擇空

15、間越打大，他的處境越差。習(xí)題 1 中去掉 r 戰(zhàn)略。13如果重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略只剩下唯一的戰(zhàn)略組合，證明該組合必然是唯一的納什均衡。證明：在n 個(gè)博弈方的博弈g=s1,sn;u1,un 中，如果使用重復(fù)剔除嚴(yán)格劣戰(zhàn)略方法排除了（ s1*,sn*）以外的所有策略組合，則（s1*,sn*）一定是g 的唯一的納什均衡。首先，假設(shè)嚴(yán)格劣戰(zhàn)略已經(jīng)剔除了除（s1*,sn*）以外的所有策略組合，但（s1*, sn*）卻不是一個(gè)納什均衡。表明至少存在某個(gè)博弈方i 和他的某個(gè)策略空間si 中的策略si，使得ui(s1*, si-1*, si*, si+1*, . sn*) ui(s1*,si-1*, si, s

16、i+1*, . sn*) （a）7 但是，由于（ s1*, sn*）是經(jīng)過嚴(yán)格劣戰(zhàn)略反復(fù)剔除后唯一留下的策略組合，因此si必然屬于被嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除的戰(zhàn)略，即，在嚴(yán)格劣戰(zhàn)略剔除過程中的某個(gè)階段，必然存在某個(gè)當(dāng)時(shí)還未被剔除的 si/，使得ui(s1,si-1, si, si+1,. sn) ui(s1,si-1, si/, si+1,. sn) （b）對由在此尚未被剔除的其他博弈方的策略構(gòu)成的所有可能的策略組合(s1*,si-1*, si*, si+1*,. sn*)都成立，即ui(s1*,si-1*, si, si+1*,. sn*)drd/2 ，求解子博弈精煉納什均衡。首先考慮第二期博弈，可以

17、用如下戰(zhàn)略式來表示：9 1s2s抽不抽抽,r r2,rd r不抽,2rrd,d d用劃線法可知，若第一期不抽回，則第二期的均衡是（抽回，抽回）?？紤]第一期的博弈，用戰(zhàn)略式表示如下：1s2s抽不抽抽,r r,2drd不抽2,rd d,r r用劃線法可知存在兩個(gè)均衡（抽回，抽回）與（不抽回，不抽回）。因此，該博弈的子博弈精練納什均衡有兩個(gè)：（第一期抽回，第一期抽回）與（第一期不抽回第二期抽回，第一期不抽回第二期抽回）。4在囚徒困境中， “針鋒相對”戰(zhàn)略定義為：（1）每個(gè)參與人開始選擇“抵賴”； （2）在 t 階段選擇對方在 t-1 的行動。假定貼現(xiàn)因子1，證明以上戰(zhàn)略不是子博弈精煉納什均衡。假定兩

18、囚徒博弈的戰(zhàn)略式表述如下：1s2s坦白抵賴坦白6， 6 0， 8 抵賴 8，0 1， 1 給定針鋒相對戰(zhàn)略，如果參與人j 堅(jiān)持針鋒相對戰(zhàn)略，參與人i 沒有積極性首先坦白，因?yàn)槿绻x擇抵賴，他的支付是：111，而若選擇坦白然后再轉(zhuǎn)向針鋒相對戰(zhàn)略，則他的支付是：08080，前者嚴(yán)格大于后者。因此，在合作路徑上針鋒相對戰(zhàn)略是納什均衡。但是，如果參與人j 首先選擇坦白，參與人i 并沒有積極性懲罰他，因?yàn)槿绻麘土P，將得到的支付是8080，而如果原諒則可以連續(xù)得到1 的支付；類似的，參與人i 也沒有積極性懲罰自己。所以在懲罰路徑上，針鋒相對戰(zhàn)略不是子博弈納什均衡。5如果以下重復(fù)博弈兩次，支付（4，4）是

19、否能作為子博弈精煉納什均衡結(jié)果出現(xiàn)，請說明理由。假定貼現(xiàn)因子1。s1s2l c r 10 t 3，1 0，0 5，0 m 2，1 1，2 3，1 b 1，2 0，1 4，4 該靜態(tài)博弈有兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡（t，l）和（ m，c） ，其支付均小于（b，r）帶給兩方的收益，因此，在兩次博弈中，雙方有可能選擇（b，r） 。由于對2s而言， （b，r）帶來的是最大收益，因此，他沒有偏離的動機(jī)。然而1s仍可以選擇t 戰(zhàn)略已獲得更高的收益，因此可以設(shè)置如下制約1s行為的觸發(fā)戰(zhàn)略：1s：第一階段選擇b 策略，第二階段選擇t 策略；2s：第一階段選擇r 策略；在第二階段，如果第一階段的結(jié)果是（b，r） ，則采

20、取l，否則采取 c。如此，由于1s從第一階段選擇b 第二階段選擇t 的戰(zhàn)略中獲得的收益為437 大于第一階段偏離選擇t，第二階段選擇m 的收益 516，所以1s也沒有動機(jī)偏離。因此， （b，r）將作為二階段博弈的子博弈精練納什均衡結(jié)果在第一階段出現(xiàn)。6考慮如下戰(zhàn)略式博弈重復(fù)兩次，在第二階段開始時(shí)能夠觀察到第一階段的博弈結(jié)果，假定貼現(xiàn)因子是 1，則 x 滿足什么條件的情況下（4，4）可以作為第一階段博弈的均衡結(jié)果。s1 s2 x2 y2 w2 z2 x1 2，2 x， 0 1，0 0，0 y1 0，x 4， 4 1，0 0，0 w1 0，0 0， 0 0， 3 0，0 z1 0， 1 0， 1

21、1， 1 3，0 考慮兩種情況， （1）若4x，則單階段博弈的納什均衡為121212,x xw wz z，構(gòu)造如下戰(zhàn)略，若第一階段12,y y出現(xiàn)，則第二階段選擇12,x x； 若第一階段2s偏離12,yy， 選擇2x，則第二階段選擇12,z z；若第一階段1s偏離12,y y，選擇1x，則第二階段選擇12,w w。如此，對于1s與2s而言，第一階段出現(xiàn)12,y y的條件是，其總收益426 將不小于他們在第一階段選擇其他戰(zhàn)略下的收益x0 x，即6x。即，12,y y在第一階段出現(xiàn)的條件是46x。（2）當(dāng)4x時(shí)，單階段的納什均衡為12121212,x xy yw wz z，則完全有可能在第一階段

22、出現(xiàn)12,y y，因?yàn)?s與2s都沒有偏離的動機(jī)。綜上，12,y y在第一階段出現(xiàn)的條件是6x。11 7如下的雙寡頭市場戰(zhàn)略性投資模型：企業(yè)1 和企業(yè) 2 目前的單位生產(chǎn)成本都c2。企業(yè)可以引進(jìn)一項(xiàng)新技術(shù)使單位生產(chǎn)成本降至c1，而該項(xiàng)技術(shù)需要的投資為f，企業(yè) 2 可以觀察到企業(yè)1 的投資決策，在企業(yè)1 做出是否投資的決策之后，兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量。在以上兩階段博弈中市場逆需求為p14-q，問 f 取什么值時(shí)，企業(yè)1 將投資引進(jìn)新技術(shù)。若企業(yè) 1 引進(jìn)新技術(shù)，則雙方企業(yè)的利潤函數(shù)為fqqqq112111422211214qqqq一階條件：1214210qq，與2114220qq。聯(lián)立可得3113

23、1421qq，。這時(shí)企業(yè) 1 的利潤為f91961。若企業(yè) 1 不引進(jìn)新技術(shù)，則雙方企業(yè)的利潤函數(shù)為：11211214qqqq22211214qqqq一階條件：1214210qq，與2114220qq。聯(lián)立可得421qq。此時(shí)企業(yè)1 的利潤為161。因此，企業(yè)1 引進(jìn)新技術(shù)的必要條件必須滿足169196f，即952f。8考慮一個(gè)政策采納博弈，存在兩個(gè)參與人，政策建議者與政策采納者。政策建議者首先剔除政策建議 s1，并且 s1r。政策采納者觀察到s1 決定是否采用，如果采用則執(zhí)行政策s1，否則執(zhí)行s0。 現(xiàn)在假定政策建議者效用函數(shù)是12us， 而政策采納者的效用函數(shù)是222usb， 其中2s為執(zhí)

24、行的政策，b 為外生參數(shù)，表示兩者之間的利益沖突。問以上博弈的精練納什均衡。對政策采納者而言，最優(yōu)化問題是：222maxusb，所以政策的采用者最有可能采用的是接近b的2s。所以，2s1s若10sbsb0s若10sbsb對于政策建議者而言，最優(yōu)化問題是：12maxus，因此，10ss，因此重點(diǎn)考慮0s的情況，有兩種：（1）若0sb，則102sbs0，21ss；12 （2）若0sb，則10ss，20ss。所以，若0sb，子博弈納什均衡為102sbs，21ss；若0sb，子博弈納什均衡為10ss，20ss。9 考慮一個(gè)承諾博弈，存在兩個(gè)參與人。 參與人 2首先行動， 選擇行動2a，2a的取值范圍是

25、0,1。參與人 1 觀察到參與人2 的行動，決定向參與人2 轉(zhuǎn)移支付t，但是參與人1 也可以事先確定支付規(guī) 則2t a。 現(xiàn) 在 假 定 參 與 人2 的 效 用 函 數(shù) 為22utc a， 參 與 人1 的 效 用 函 數(shù) 為21221uat， 其中2c a表示參與人采取行動的成本，且20a時(shí)為 0，21a時(shí)為 1/2。（1）如果參與人1 沒有承諾能力，可以隨意修改事先宣布的支付規(guī)則，則此時(shí)的子博弈精練納什均衡。（2）如果參與人1 有承諾能力，只能按照事先確定的支付規(guī)則進(jìn)行支付，則此時(shí)的子博弈精練納什均衡。（1）若參與人1 沒有承諾能力，則該博弈的行動順序便為參與人2 先行動，而后參與人1

26、再行動。在這種情況下，t 是可以隨便改變的。對于參與人1 而言，其最優(yōu)化問題為：212max21uat，1u最大時(shí)，0t。對于參與人2 而言， 其最優(yōu)化問題為：22maxutc a，把參與人 1 的最優(yōu)條件代入可得：22maxuc a，最優(yōu)化2u得20a，此時(shí)20u，12u。所以該博弈的子博弈精練納什均衡為：20a，0t。（2）若參與人1 有承諾能力，則它在最優(yōu)的情況下應(yīng)該支付2t a以使得2a盡可能偏向1，由于20,1a，所以在取21a的情況下，1ut，212ut。當(dāng)102t時(shí)，20u。所以該博弈的子博弈精練納什均衡是：參與人 1 承諾2112t a，200t a，結(jié)果是1ut，212ut。

27、10考慮電力設(shè)備和一個(gè)發(fā)電廠之間的兩階段博弈，在第一階段設(shè)備廠決定是否投資以及投資多少；在第二階段，雙方?jīng)Q定是否交易以及在什么價(jià)格交易。在此以c 代表設(shè)備的生產(chǎn)成本，v 代表設(shè)備對電廠的價(jià)值，x 代表投資額。假定c 時(shí) x 的遞減凸函數(shù)，v 和 x 無關(guān)， vc （ 0）并且 x時(shí)專用性投資，對于其他發(fā)電廠而言沒有任何價(jià)值，求下述情況下的精練納什均衡時(shí)的投資水平。（1）沒有事前合同，雙方根據(jù)納什討價(jià)還價(jià)決定成交價(jià)格。（2）事前簽訂合同，規(guī)定設(shè)備廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，發(fā)電廠只有接受或者拒絕的選擇。（3）事前簽訂合同，規(guī)定發(fā)電廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，設(shè)備廠只有接受或者拒絕的選擇。（1）在沒有事前合同

28、的情況下，納什討價(jià)還價(jià)解為每個(gè)參與人從中獲得剩余的1/2，即成交價(jià)格是13 2vc x。在這種情況下，投資應(yīng)該是：112cx。（2） 若設(shè)備廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，則剩余肯定完全被設(shè)備廠獨(dú)享，即設(shè)備廠的利潤為vc x，而發(fā)電廠的利潤為0。在這種情況下，投資應(yīng)該是：1cx。（3） 若發(fā)電廠有權(quán)單方面決定價(jià)格，則剩余肯定完全被發(fā)電廠獨(dú)享，即發(fā)電廠的利潤為vc x，而設(shè)備廠的利潤為0。在這種情況下，投資應(yīng)該是：0cx。11兩個(gè)廠商在市場進(jìn)行價(jià)格競爭，廠商 1 首先確定價(jià)格水平，廠商 2 在觀察廠商1 的價(jià)格水平之后決定價(jià)格水平。廠商1 和廠商2 的產(chǎn)品是完全同質(zhì)的，且市場逆需求函數(shù)是p=a-q ，問以

29、下條件下的精煉納什均衡的價(jià)格：（1） 如果廠商1 和廠商 2 的生產(chǎn)成本函數(shù)為cq（c2/3時(shí)， s2選擇 l，當(dāng) u2/3 時(shí)，選擇l，在 ud0，計(jì)算貝葉斯均衡并證明均衡是唯一的。根據(jù)問題的假設(shè)，可構(gòu)造博弈的支付矩陣如下：企業(yè) 1 企業(yè) 2 進(jìn)入不進(jìn)入進(jìn)入di，dimi，0 不進(jìn)入0，mi0，0 假設(shè)企業(yè)1 采用如下戰(zhàn)略：當(dāng)*11時(shí)采用進(jìn)入戰(zhàn)略，當(dāng)*11時(shí)采用不進(jìn)入戰(zhàn)略。假設(shè)企業(yè) 2 采用如下戰(zhàn)略：當(dāng)*22時(shí)采用進(jìn)入戰(zhàn)略，當(dāng)*22時(shí)采用不進(jìn)入戰(zhàn)略。因此企業(yè)1 采用進(jìn)入戰(zhàn)略的概率是p（*1） ，不進(jìn)入的戰(zhàn)略的概率是1 p（*1） ；企業(yè) 2 采用進(jìn)入戰(zhàn)略的概率是p（*2） ，不進(jìn)入戰(zhàn)略的概率

30、是1p（*2） 。從企業(yè) 1 的角度看，選擇進(jìn)入與不進(jìn)入的期望收益分別是：*d*m*dmm2121211ppp與*220100pp，所以企業(yè)1 選擇進(jìn)入的條件是：*dmm210p，因此，可得*dmm12p同理可得：*dmm21p。從已知的分布函數(shù)if及上述兩個(gè)條件式當(dāng)可以解得*1與*2， 如此可得該博弈的貝葉斯納什均衡。23 7考慮如下結(jié)構(gòu)的古諾博弈。市場逆需求函數(shù)qap，兩個(gè)企業(yè)成本函數(shù)iicqc；市場需求是不確定的，haa的概率為，laa的概率為1；企業(yè)1 知道 a 的確切取值，企業(yè)2不知道， 但是知道a 的概率分布。 現(xiàn)在假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量水平，caalh并且以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識

31、，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡。設(shè)企業(yè) 1 在haa時(shí)的產(chǎn)量是1hq，在laa時(shí)的產(chǎn)量是1lq，企業(yè) 2 的產(chǎn)量是2q，則兩企業(yè)的利潤函數(shù)分別為：11211hhhhhaqqqcq11211lllllaqqqcq212212221hhlleaqqqaqqqcq通過一階條件可得：1220hhaqqc1220llaqqc1212212hhllaqqaqqc解得：23hllaaacq1346hhllhaaaacq1346lhlllaaaacq因此，本博弈的貝葉斯均衡是，當(dāng)haa時(shí)，企業(yè) 1 生產(chǎn)上述1hq，當(dāng)laa時(shí)，企業(yè) 1 生產(chǎn)上述2q；而企業(yè)2 的產(chǎn)量都是上述2q。8考慮如下非對稱信息的產(chǎn)品差異

32、化的伯川德博弈：企業(yè)i 的市場需求jiiipbpaq，兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)成本都為零；b1取值是 bh或 bl且 bhbl0， 且 b1=bh的概率為， 而lhbbb)1(2；b1是企業(yè)1 的私人信息， b2是共同信息。現(xiàn)假定兩個(gè)企業(yè)同時(shí)選擇價(jià)格，以上博弈結(jié)構(gòu)是共同知識，求解以上博弈的貝葉斯納什均衡。假設(shè)當(dāng) b1取值是 bh時(shí)企業(yè) 1 的價(jià)格為p1h，b1取值是 bl時(shí)企業(yè) 1的價(jià)格為p1l，企業(yè) 2 的價(jià)格為 p2。企業(yè) 1 和企業(yè) 2 的利潤函數(shù)分別為24 212221222112111211)(1()()()(ppbpappbpabbifppbpabbifppbpalhllllhhhh可求得反應(yīng)

33、函數(shù)為：)2)(1()2(02021221222121lhllhhpbpapbpapbpapbpa解得廠商1 的策略為：222221)1(228)1(34bbbbabbabaphhh222221) 1(228) 1(34bbbbabbabaplll廠商 2 的策略為：2)(121122lhlpbappbp將lhpp11和代入 p2即可得結(jié)果。因此，本博弈的貝葉斯納什均衡是：當(dāng)hbb時(shí)，廠商1價(jià)格為hp1，lbb時(shí)廠商 1 價(jià)格為lp1，廠商 2 的價(jià)格只有上述2p9考慮兩個(gè)參與人的公共物品供給模型。參與人1 和 2 同時(shí)決定是否提供某項(xiàng)公共物品，提供公共物品是 01 決策。 如果一個(gè)參與人i

34、已經(jīng)提供公共物品，則每個(gè)參與人j 都可以得到效用1。參與人 i 提供公共物品成本ci 都是定義域在,cc，分布函數(shù)為f(.)，而且提供成本是參與人私人信息。（1） 如果成本服從0，2均勻分布，求解其對稱均衡。（2） 證明如果滿足條件ccfc1),1(1，證明以上博弈存在非對稱均衡。（1）假設(shè)s1采取以下戰(zhàn)略：當(dāng)*11cc時(shí)，提供，反之不提供；s2采用以下戰(zhàn)略：當(dāng)*22cc時(shí)提供，反之不提供。由于成本服從0 ，2 的均勻分布，所以s1提供的概率是*1/2c，不提供的概率是*11/ 2c；s2提供的概率是*2/ 2c，不提供的概率是*21/ 2c。對于 s1來說，選擇提供與不提供的期望收益分別為：

35、*21211/ 211/ 211ccccc與*222/ 2 11/ 20/ 2ccc。25 因此， s1的提供條件是：*121/2cc，即：*121/2cc。同理可得： s2的提供條件是：*211/ 2cc，即*211/ 2cc。所以，該博弈的對稱均衡解為：*122/ 3cc。（2）考慮這樣一個(gè)均衡：s1從來不提供，*1211,1cfc c。s1選擇不提供是因?yàn)樗淖钚〕杀綾超出他從增加供給中得到的收益11c，對于所有的1c s2都選擇提供， 這是因?yàn)槿绻?提 供 ， 則 肯 定 不 會 有 公 共 品 供 給 ， 在 這 個(gè) 時(shí) 候 他 提 供 要 比 不 提 供 好 。 所 以 如 果

36、 條 件11,1fc cc滿足，以上博弈就存在非對稱均衡。10在 n 人參與的私人價(jià)值拍賣，參與人的類型vi都服從 0，m 上的均勻分布，參與人的類型vi是私人信息，vi的分布是共同知識。（1） 如果實(shí)行一級價(jià)格拍賣，則求對稱的貝葉斯納什均衡。（2） 如果實(shí)行二級價(jià)格拍賣，則求其貝葉斯均衡。（3） 在以上兩種類型拍賣中，證明拍賣人的期望收入相同。（1）參與人在該博弈中的戰(zhàn)略空間是從報(bào)價(jià)到價(jià)值的一個(gè)映射。假定參與人i 的報(bào)價(jià)為ib，則效用函數(shù)為：pr0ijijiuivibob bb。由于*()jjjbbv的類型依存戰(zhàn)略是單調(diào)遞增的，因此存在反函數(shù)。即由*()jjibvb可得*1()jjivbb。

37、 且由于jv服從 0 ， m上的均勻分布， 所以prjiob bb*1pr()jjiob vbb* 1( ) /jibbm。因此，可得簡化后的效用函數(shù)為：*1( ) /ijijiuivibbbm一階條件為：*1*1( ) /( ) /0jijiijijiibbmbbmvibb。求得：*1jinbvn。（2）假設(shè)競標(biāo)者的戰(zhàn)略為b v，那么他的預(yù)期報(bào)酬是：00vvvb vfv dvvf vb vf v dv其中b v為標(biāo)的物價(jià)值對其為v的人的投標(biāo)的價(jià)格（即第二高價(jià)）。如果b v是最優(yōu)戰(zhàn)略，26 那么b在任何一個(gè)v下都是最優(yōu)的，因此b在每一點(diǎn)都要滿足一階微分條件。所以上述效用函數(shù)對v微分，可得0vf

38、 vb v fv，即vb v。（3）在二級價(jià)格拍賣里，假設(shè)標(biāo)的物對兩個(gè)競標(biāo)者的價(jià)值是v和v。如果vv，那么賣方得到的價(jià)錢是第二高價(jià)b v，而競標(biāo)者會出價(jià)v和v的概率密度函數(shù)分別是f v和fv。由于每個(gè)人出價(jià)獨(dú)立， 所以有人同時(shí)出價(jià)v和v的概率密度將是fv和fv的乘積。將所有 0 到v可能出價(jià)b v的收益積分起來便是賣方的收益，即為：000000vvvvvvb v fvfv dvdvf vb v fv dvdvf vf v vdvdv上式中第二個(gè)等式的來源是二級價(jià)格拍賣下的均衡價(jià)格出價(jià)。在一級價(jià)格拍賣中，假設(shè)一個(gè)競標(biāo)者認(rèn)定價(jià)值為v，由于他出價(jià)b v，因此其預(yù)期收益是0vvb vfv dvvb v

39、f v，在最優(yōu)戰(zhàn)略下，一階條件為0vb vfvb v f v，可得db v fvvfvb v fvb v f vdv，兩邊積分可得0vv fv dvb v f v。因此，0/vb vv f v dvf v。由此我們可以計(jì)算賣方在一級價(jià)格拍賣中的預(yù)期收益為：000vvvb v fv f v dvb v f v f v dv0000/vvvvfv fvdvfvfv f v dvfvfvv dv dv由此可見兩種拍賣的賣方預(yù)期利潤相等。11在一個(gè)兩人參加的拍賣中，參與人i 的類型 ti 服從 0，1的均勻分布，且兩者的分布獨(dú)立。（1） 如果 vi=ti+0.5，求解此時(shí)對稱均衡（2） 如果 vi=t

40、1+t2，求解此時(shí)對稱均衡（3） b 中標(biāo)價(jià)低于a 中的，說明理由（1）假設(shè)雙方采用線性對稱均衡戰(zhàn)略，iibt。則參與人i 的目標(biāo)函數(shù)是：max0.5priijie tbob bb由jiibtb可得iibt，因此，目標(biāo)函數(shù)可化為：max0.5priiiibe tbob t0.5iiibtb27 一階條件為：0.50iiitbb，所以0.52iitb，即12。（2）同上可得參與人i 的目標(biāo)函數(shù)為：1212maxpr2iiiiiiiiibbbbe ttbob tttbtb一階條件為：11022iiiibtbb，可得12121iibt，所以1,0。（3）因?yàn)槠淦谕找孢€要受其他信息的影響，所以要顯得低了一些，即中了贏者的詛咒。12考慮一個(gè)不完全信息兩人博弈的消耗戰(zhàn)模型。兩個(gè)參與人同時(shí)出價(jià)is，并且is的取值范圍為【0，）。每個(gè)參與人類型空間i是參與人的私人信息，取值范圍為【0，），對應(yīng)的分布函數(shù)為if，同時(shí)1和2兩者是獨(dú)立的?，F(xiàn)在假定參與人的效用函數(shù)為iius如果ijss，反之則iiius。（1）證明參與人最優(yōu)出價(jià)戰(zhàn)略是i的遞增函數(shù)。（2）如果1expf，證明以上博弈存在一個(gè)非對稱均衡。（1）令該博弈的純戰(zhàn)略貝葉斯均衡為12* ,*ss，則對于每一個(gè)i，iis必須滿足a