2018江蘇數(shù)學(xué)高考真題及答案

1、2018 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)參考公式：錐體的體積13vsh，其中s是錐體的底面積，h是錐體的高一、填空題：本大題共14 小題，每小題5 分，共計70 分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1已知集合0,1,2,8a，1,1,6,8b，那么 ab2若復(fù)數(shù) z 滿足i12iz，其中 i 是虛數(shù)單位，則z 的實部為3已知 5 位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這 5 位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為4一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的s的值為5函數(shù)2( )log1f xx的定義域為6某興趣小組有2 名男生和3 名女生，現(xiàn)從中任選2 名學(xué)生去參加活動，則恰好選

2、中2 名女生的概率為7已知函數(shù)sin(2)()22yx的圖象關(guān)于直線3x對稱，則的值是8在平面直角坐標系xoy 中，若雙曲線22221(0,0)xyabab的右焦點( ,0)f c到一條漸近線的距離為32c ，則其離心率的值是9函數(shù)( )f x 滿足(4)( )()f xf xxr ，且在區(qū)間( 2,2 上，cos,02,2( )1|, 20,2xxf xxx-則(15)ff的值為10如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為11 若函數(shù)32( )21()f xxaxar在 (0,) 內(nèi)有且只有一個零點，則( )f x 在 1,1上的最大值與最小值的和為12在平面直角坐

3、標系xoy 中， a 為直線:2lyx 上在第一象限內(nèi)的點，(5,0)b，以 ab為直徑的圓c與直線 l 交于另一點 d若0ab cd，則點 a 的橫坐標為13在abc中，角,a b c 所對的邊分別為, ,a b c ，120abc，abc的平分線交ac于點 d，且1bd，則4ac的最小值為14已知集合*|21,ax xnnn，*|2 ,nbx xnn將ab的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列na記ns 為數(shù)列 na的前 n 項和，則使得112nnsa成立的 n 的最小值為二、解答題： 本大題共 6小題，共計 90分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答， 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15

4、（本小題滿分14 分）在平行六面體1111abcdab c d 中，1111,aaab abb c 求證：（1）11aba bc平面； （2）111abb aa bc平面平面16 （本小題滿分14 分）已知,為銳角，4tan3，5cos()5（1）求cos 2的值； （2）求 tan() 的值17 （本小題滿分14 分）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓o 的一段圓弧mpn（p為此圓弧的中點）和線段mn 構(gòu)成已知圓o 的半徑為40 米，點 p 到 mn 的距離為 50 米現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形 abcd ，大棚內(nèi)的地塊形狀為cdp，要求,a b 均在線段

5、mn上，,c d 均在圓弧上設(shè)oc 與 mn 所成的角為（1）用分別表示矩形abcd和cdp的面積，并確定sin的取值范圍；（2）若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4 : 3求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大18 （本小題滿分16 分）如圖，在平面直角坐標系xoy 中，橢圓c 過點1(3,)2，焦點12(3,0),(3,0)ff，圓 o 的直徑為12f f （1）求橢圓 c及圓 o 的方程；（2）設(shè)直線 l 與圓 o 相切于第一象限內(nèi)的點p若直線l 與橢圓 c 有且只有一個公共點，求點p的坐標；直線 l 與橢圓 c交于,a b 兩點若o

6、ab的面積為2 67，求直線 l 的方程19 （本小題滿分16 分）記( ),( )fxg x 分別為函數(shù)( ),( )f xg x 的導(dǎo)函數(shù)若存在0 xr ，滿足00()()f xg x且00()()fxgx，則稱0 x 為函數(shù)( )f x 與( )g x 的一個“ s點”（1） 證明：函數(shù)( )f xx 與2( )22g xxx不存在“ s點”； （2） 若函數(shù)2( )1f xax與( )lng xx 存在“ s點”，求實數(shù) a 的值；（3）已知函數(shù)2( )f xxa ，e( )xbg xx對任意0a，判斷是否存在0b，使函數(shù)( )f x 與( )g x 在區(qū)間 (0,)內(nèi)存在“ s點”，

7、并說明理由20 （本小題滿分16 分）設(shè) na是首項為1a ，公差為d 的等差數(shù)列，nb是首項為1b ，公比為q的等比數(shù)列（1）設(shè)110,1,2abq，若1|nnabb 對1,2,3,4n均成立，求d 的取值范圍；（2）若*110,(1,2mabmqn，證明：存在dr，使得1|nnabb 對2,3,1nm均成立，并求d的取值范圍（用1,b m q 表示） 數(shù)學(xué)試題參考答案一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法每小題5 分，共計70 分11，8 22 390 4 8 52，+）6310768 2 922104311 3 123 139 14 27 二、解答題15本小題主要考查直線與

8、直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力和推理論證能力滿分14 分證明：（1）在平行六面體abcd -a1b1c1d1中， aba1b1因為 ab平面 a1b1c，a1b1平面 a1b1c，所以 ab平面 a1b1c（2）在平行六面體abcd -a1b1c1d1中，四邊形abb1a1為平行四邊形又因為 aa1=ab，所以四邊形abb1a1為菱形，因此ab1a1b又因為 ab1b1c1， bc b1c1，所以 ab1bc又因為a1b bc =b， a1b平面 a1bc， bc平面 a1bc ，所以 ab1平面 a1bc 因為 ab1平面 abb1a1，所以平面abb1a1平面

9、a1bc 16本小題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和（差）及二倍角的三角函數(shù)，考查運算求解能力滿分14 分解： （1）因為，所以因為，所以，因此，（2）因為為銳角，所以又因為，所以，因此因為，所以，因此，4tan3sintancos4sincos322sincos129cos2527cos22cos125,(0, )5cos()5225sin()1cos ()5tan()24tan322tan24tan21tan7tan 2tan()2tan()tan2()1+ tan 2tan()1117本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際

10、問題的能力滿分14 分解： （1）連結(jié) po 并延長交mn 于 h，則 phmn，所以 oh=10過 o 作 oebc于 e，則 oemn，所以 coe = ，故 oe=40cos ，ec =40sin ，則矩形 abcd的面積為240cos （40sin +10）=800（4sin cos +cos ） ，cdp的面積為12 2 40cos （40 40sin ）=1600（cos sin cos ） 過 n 作 gnmn，分別交圓弧和oe的延長線于g 和 k，則 gk=kn=10令 gok=0，則 sin0=14，0（ 0，6） 當 0，2）時，才能作出滿足條件的矩形abcd，所以 sin

11、的取值范圍是 14，1） 答：矩形abcd的面積為 800（4sin cos +cos ）平方米，cdp的面積為1600（cos sin cos ） ，sin的取值范圍是14，1） （2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為43，設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k0） ，則年總產(chǎn)值為4k800 （ 4sin cos +cos ）+3k1600 （cos sin cos ）=8000k（sin cos +cos ） ， 0，2） 設(shè) f（ ）= sin cos +cos ， 0，2） ，則222( )cossinsin(2sinsin1)(2sin1)(sin1)f

12、令( )=0f，得 =6，當 （ 0，6）時，( )0f，所以 f（ ）為增函數(shù)；當 （6，2）時，( )0，設(shè)32( )3h xxxaxa 因為(0)0(1)1320hahaa，且 h（x）的圖象是不間斷的，所以存在0 x （ 0，1） ，使得0()0h x，令03002e (1)xxbx，則 b0函數(shù)2e( )( )xbf xxag xx，則2e (1)( )2( )xbxfxxg xx， 由 f（x）=g（x）且 f （x）=g （x） ，得22ee (1)2xxbxaxbxxx，即00320030202ee (1)2e (1)2e(1)xxxxxxaxxxxxxx（* ）此時，0 x

13、滿足方程組（ * ） ，即0 x 是函數(shù) f（x）與 g（x）在區(qū)間（ 0，1）內(nèi)的一個“ s點”因此，對任意a0，存在 b0，使函數(shù)f（ x）與 g（x）在區(qū)間（ 0，+）內(nèi)存在“ s點”20解： （1）由條件知：因為1|nnabb 對 n=1，2，3，4 均成立，即對 n=1，2，3，4 均成立，即11，1d 3，3 2d 5，7 3d 9，得因此， d 的取值范圍為（2）由條件知：若存在d，使得1|nnabb （n=2，3， ， m+1）成立，即，即當時， d 滿足因為，則，從而，對均成立因此，取d=0 時，1|nnabb 對均成立下面討論數(shù)列的最大值和數(shù)列的最小值（） 當時，當時，有，

14、從而因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞增，故數(shù)列的最大值為設(shè)，當 x0 時，所以單調(diào)遞減，從而f（0）=1當時，因此，當時，數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列的最小值為因此， d 的取值范圍為112(,)nnnand b1 12|()1|nnd7532d7 5,3 2111(1),nnnabnd bb q1111|1|2,3,(1()nbndb qbnm2,3,1nm1111211nnqqbdbnn(1, 2mq112nmqq11201nqbn1101nqbn2,3,1nm2,3,1nm121nqn11nqn2,3,1nm2nm1112222111()()()nnnnnnnnqqnqqnqn qqqnnn nn n11

15、2mq2nmqq1() 20nnnn qqq21nm121nqn121nqn2mqm()()21xfxxln 21(0(n)l2 2)xfxx( )f x( )f x2nm111112 111()()( )nnnqq nnfqnnnn21nm11nqn11nqnmqm11(2),mmbqb qmm數(shù)學(xué) ( 附加題 ) 21 【選做題】本題包括a、b、c、d 四小題，請選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩小題評分解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟a選修 41：幾何證明選講(本小題滿分10 分) 如圖， 圓 o 的半徑為 2，ab 為圓 o 的直徑， p為 ab延長

16、線上一點， 過 p作圓 o 的切線， 切點為 c若2 3pc，求 bc 的長b選修 42：矩陣與變換 (本小題滿分10 分)已知矩陣2312a（1）求a的逆矩陣1a；（2）若點 p在矩陣a對應(yīng)的變換作用下得到點(3,1)p，求點 p的坐標c選修 44：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10 分) 在極坐標系中，直線l 的方程為sin()26，曲線 c的方程為4cos，求直線l 被曲線 c截得的弦長d選修 45：不等式選講 (本小題滿分10 分) 若 x，y， z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求222xyz 的最小值【必做題】第22 題、第 23 題，每題10 分，共計20 分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答

17、，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10 分）如圖，在正三棱柱abc-a1b1c1中， ab=aa1=2，點 p，q 分別為 a1b1，bc的中點（1）求異面直線bp與 ac1所成角的余弦值；（2）求直線 cc1與平面 aqc1所成角的正弦值23(本小題滿分10 分) 設(shè)*nn ，對 1，2， ，n 的一個排列1 2ni ii ，如果當st 時，有stii ，則稱 ( , )stii是排列1 2ni ii 的一個逆序，排列1 2ni ii 的所有逆序的總個數(shù)稱為其逆序數(shù)例如：對1， 2，3 的一個排列231，只有兩個逆序(2，1)，(3，1)，則排列 231 的逆序數(shù)為2

18、記( )nfk 為 1， 2， ，n 的所有排列中逆序數(shù)為k 的全部排列的個數(shù)（1）求34(2),(2)ff的值；（2）求(2)(5)nfn的表達式 (用 n 表示 )數(shù)學(xué) ( 附加題 )參考答案21 【選做題】 a選修 41：幾何證明選講 本小題主要考查圓與三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力滿分10 分證明： 連結(jié) oc因為 pc與圓 o 相切，所以ocpc又因為pc =2 3 ，oc=2，所以 op=22pcoc=4又因為ob=2，從而 b 為 rtocp斜邊的中點，所以bc=2b選修 42：矩陣與變換 本小題主要考查矩陣的運算、線性變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分10 分解： （1）

19、因為2312a， det()221310a，所以 a 可逆，從而1a2312（2）設(shè) p(x，y)，則233121xy，所以13311xya，因此，點p的坐標為 (3， 1)c選修 44：坐標系與參數(shù)方程 本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分10 分解： 因為曲線c的極坐標方程為=4cos，所以曲線c 的圓心為（ 2，0） ，直徑為4 的圓因為直線l 的極坐標方程為sin()26，則直線l 過 a（ 4，0） ，傾斜角為6，所以 a 為直線 l 與圓 c的一個交點設(shè)另一個交點為b，則 oab=6連結(jié) ob，因為 oa為直徑，從而oba=2，所以4cos2 36ab因此

20、，直線l 被曲線 c截得的弦長為2 3 d選修 45：不等式選講 本小題主要考查柯西不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力滿分10 分證明： 由柯西不等式，得2222222()(122 )(22 )xyzxyz因為22 =6xyz，所以2224xyz，當且僅當122xyz時，不等式取等號，此時244333xyz，所以222xyz 的最小值為422【必做題】本小題主要考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎(chǔ)知識，考查運用空間向量解決問題的能力滿分 10 分解：如圖，在正三棱柱abc-a1b1c1中，設(shè) ac，a1c1的中點分別為o，o1，則 oboc，oo1oc，oo1ob，以1,ob oc oo為基底，建立空間直角坐標系o-xyz因為 ab=aa1=2，所以1110, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()abcabc（1）因為 p 為 a1b1的中點，所以31(,2)22p，從而131(,2)(0,2,222),bpac，故111|14|3 10|cos,|20| |52 2bp acbp acbpac因此，異面直線bp 與 ac1所成角的余弦值為3 1020（2）因為 q 為 bc 的中點，所以3 1(,0)2