高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式

1、1 / 15 第第 2 節(jié)節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 考試要求 1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2cos21，sin cos tan ；2.能利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式2 ，的正弦、余弦、正切 . 知 識 梳 理 1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 (1)平方關(guān)系：sin2cos21. (2)商數(shù)關(guān)系：sin cos tan_. 2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k(kz) 2 2 正弦 sin sin_ sin_ sin_ cos_ cos_ 余弦 cos cos_ cos_ cos_ sin_ sin_ 正切 tan ta

2、n_ tan_ tan_ 口訣 函數(shù)名不變，符號看象限 函數(shù)名改變， 符號看象限 常用結(jié)論與微點提醒 1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形 (sin cos )21 2sin cos ；sin tan cos . 2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣 “奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化. 3.在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號. 2 / 15 診 斷 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)若 ，為銳角，則 sin2cos21.( ) (2)sin()sin 成立的條件是 為銳角.( ) (3)若 r，則 tan

3、sin cos 恒成立.( ) (4)若 sin(k)13(kz)，則 sin 13.( ) 解析 (1)對任意的角 ，sin2cos21. (2)中對于任意 r，恒有 sin()sin . (3)中當(dāng) 的終邊落在 y 軸上，商數(shù)關(guān)系不成立. (4)當(dāng) k 為奇數(shù)時，sin 13， 當(dāng) k 為偶數(shù)時，sin 13. 答案 (1) (2) (3) (4) 2.(新教材必修第一冊 p186t15改編)已知 tan 2，則3sin cos sin 2cos ( ) a.54 b.54 c.53 d.53 解析 原式3tan 1tan 23212254. 答案 a 3.(老教材必修 4p29t2改編)

4、已知 為銳角，且 sin 45，則 cos()( ) a.35 b.35 c.45 d.45 解析 因為 為銳角，所以 cos 1sin235， 故 cos()cos 35. 答案 a 3 / 15 4.(2017 全國卷)已知 sin cos 43，則 sin 2( ) a.79 b.29 c.29 d.79 解析 (sin cos )212sin cos 1sin 2， sin 2143279. 答案 a 5.(2019 濟南質(zhì)檢)若 sin 513，且 為第四象限角，則 tan ( ) a.125 b.125 c.512 d.512 解析 sin 513，為第四象限角， cos 1sin

5、21213，因此 tan sin cos 512. 答案 d 6.(2019 豫北六校精英對抗賽)若 f(x)cos2x 1，且 f(8)2，則 f(2 018)_. 解析 f(8)cos(4)1cos 12， cos 1，f(2 018)cos 22 018 1 cos(1 009)1cos()1cos 1 110. 答案 0 考點一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系及其應(yīng)用多維探究 角度 1 切弦互化 【例 11】 (1)已知 為第二象限角，tan 53，則 cos ( ) a.5 3434 b.3 3434 c.35 d.45 (2)若 tan(3)5，則sin 2cos cos（）3sin（2）(

6、 ) 4 / 15 a.316 b.316 c.34 d.34 解析 (1)因為 為第二象限角，所以 tan sin cos 1cos2cos 53，解得 cos 3 3434. (2)由 tan(3)5，得 tan 5， 所以sin 2cos cos（）3sin（2）sin 2cos cos 3sin tan 213tan 5213（5）316. 答案 (1)b (2)a 規(guī)律方法 利用 sin2cos21 可以實現(xiàn)角 的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan 可以實現(xiàn)角 的弦切互化. 角度 2 “1”的變換 【例 12】 (1)若 tan()12，則sin21cos2sin2( )

7、a.12 b.2 c.12 d.2 (2)已知 tan 2，則 sin2sin cos 2cos2等于( ) a.43 b.54 c.34 d.45 解析 (1)tan()tan()tan 12， sin21cos2sin22sin2cos2cos2sin22tan211tan22122111222. (2)sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan21，又 tan 2，故原式4224145. 答案 (1)d (2)d 規(guī)律方法 注意公式的逆用及變形應(yīng)用：1sin2cos2，sin21cos2，5 / 15 cos21sin2.

8、 角度 3 sin cos 與 sin cos 的轉(zhuǎn)化 【例 13】 (2020 煙臺檢測)已知 為第二象限角，sin ，cos 是關(guān)于 x 的方程2x2( 31)xm0(mr)的兩根，則 sin cos ( ) a.1 32 b.1 32 c. 3 d. 3 解析 因為 sin ，cos 是方程 2x2( 31)xm0(mr)的兩根，所以 sin cos 1 32，sin cos m2，可得(sin cos )212sin cos 1m2 32，解得 m32.因為 為第二象限角，所以 sin 0，cos 0，因為(sin cos )212sin cos 1m132，所以 sin cos 13

9、22 3242 34（1 3）241 32.故選 b. 答案 b 規(guī)律方法 應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于 sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，利用(sin cos )21 2sin cos ，可以知一求二. 【訓(xùn)練 1】 (1)(角度 1)已知 是第四象限角，sin 1213，則 tan 等于( ) a.513 b.513 c.125 d.125 (2)(角度 2)若 3sin cos 0，則1cos22sin cos 的值為( ) a.103 b.53 c.23 d.2 (3)(角度 3)已知 sin cos 43，0，4，則 sin cos 的值為_. 解

10、析 (1)因為 是第四象限角，sin 1213， 所以 cos 1sin2513， 故 tan sin cos 125. 6 / 15 (2)3sin cos 0cos 0tan 13， 1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103. (3)sin cos 43，sin cos 718. 又(sin cos )212sin cos 29，0，4， sin cos 23. 答案 (1)c (2)a (3)23 考點二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 【例 2】 (1)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，角 的終邊經(jīng)過點 p(3，4)，則sin2 01

11、72( ) a.45 b.35 c.35 d.45 (2)已知 f()cos2 sin32cos（）tan（），則 f253的值為_. 解析 (1)由題意知 sin 45，cos 35， sin2 0172sin2cos 35. (2)因為 f()cos2 sin32cos（）tan（） sin （cos ）（cos ）sin cos cos ， 所以 f253cos253cos 312. 7 / 15 答案 (1)b (2)12 規(guī)律方法 (1)誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用 求值：負化正，大化小，化到銳角為終了. 化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了. (2)含 2 整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 由終邊相同

12、的角的關(guān)系可知，在計算含有 2 的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2 的整數(shù)倍去掉后再進行運算.如 cos(5)cos()cos . 【訓(xùn)練 2】 (多選題)若角 a，b，c 是abc 的三個內(nèi)角，則下列等式中一定成立的是( ) a.cos(ab)cos c b.sin(ab)sin c c.cosac2sin b2 d.sinbc2cos a2 解析 因為 abc，所以 abc，ac2b2，bc2a2，所以 cos(ab)cos(c)cos c，sin(ab)sin(c)sin c，cosac2cos2b2sin b2，sinbc2sin2a2cos a2. 答案 cd 考點三 同角三角函數(shù)基本

13、關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用 【例 3】 (1)(2020 濰坊調(diào)研)已知 3sin3314 5cos514 ，則 tan514 ( ) a.53 b.35 c.35 d.53 (2)已知 為銳角，且 2tan()3cos2 50，tan()6sin()10，則 sin ( ) a.3 55 b.3 77 c.3 1010 d.13 解析 (1)由 3sin3314 5cos514 ， 8 / 15 得 sin514 53cos514 ， 所以 tan514 sin514cos51453cos514cos514 53. (2)由已知得3sin 2tan 50，tan 6sin 10. 消去 si

14、n ，得 tan 3， sin 3cos ，代入 sin2cos21， 化簡得 sin2910，則 sin 3 1010( 為銳角). 答案 (1)a (2)c 規(guī)律方法 1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形. 2.注意角的范圍對三角函數(shù)值符號的影響. 【訓(xùn)練 3】 (1)已知角 的終邊在第三象限，tan 22 2，則 sin2sin(3)cos(2) 2cos2等于( ) a.26 b.26 c.23 d.23 (2)已知 sin 2 55，則 tan()sin52cos52_. 解析 (1)由 tan 22 2可得 tan 2

15、2tan 1tan22 2， 即 2tan2tan 20， 解得 tan 2或 tan 22. 又角 的終邊在第三象限，故 tan 2， 故 sin2sin(3)cos(2) 2cos2 sin2sin cos 2cos2 9 / 15 sin2sin cos 2cos2sin2cos2 tan2tan 2tan21 （ 2）2 2 2（ 2）2123. (2)sin 0，為第一或第二象限角， tan()sin52cos52tan cos sin sin cos cos sin 1sin cos . 當(dāng) 是第一象限角時，cos 1sin255， 原式1sin cos 52； 當(dāng) 是第二象限角時

16、，cos 1sin255， 原式1sin cos 52. 綜合知，原式52或52. 答案 (1)d (2)52或52 a級 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.(2019 閩粵贛三省十校聯(lián)考)若 2， ，sin 33，則 tan ( ) a. 2 b.32 c.22 d. 2 解析 因為 2， ，sin 33，所以 cos 63，所以 tan sin cos 22. 10 / 15 答案 c 2.已知 sin() 3cos(2)，|2，則 等于( ) a.6 b.3 c.6 d.3 解析 sin() 3cos(2)， sin 3cos ， tan 3，|2，3. 答案 d 3. 12sin（2）cos（

17、2）( ) a.sin 2cos 2 b.sin 2cos 2 c. (sin 2cos 2) d.cos 2sin 2 解析 12sin（2）cos（2） 12sin 2cos 2 （sin 2cos 2）2|sin 2cos 2|sin 2cos 2. 答案 a 4.(2020 成都診斷)已知 cos()25，則 sin22( ) a.725 b.725 c.1725 d.1725 解析 由 cos()cos 25，得 cos 25， sin22cos 22cos211725. 答案 d 5.若sin（）cos（2）sin cos（）12，則 tan ( ) a.1 b.1 c.3 d.3

18、 解析 因為sin（）cos（2）sin cos（） sin cos sin cos 12， 所以 2(sin cos )sin cos ， 11 / 15 所以 sin 3cos ，所以 tan 3. 答案 d 6.當(dāng) 為第二象限角，且 sin2213時，1sin cos 2sin 2的值是( ) a.1 b.1 c. 1 d.0 解析 sin2213，cos 213， 2在第一象限，且 cos 2sin 2， 1sin cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 21. 答案 b 7.已知 sin31213，則 cos6 ( ) a.513 b.1213 c.513 d.12

19、13 解析 因為 sin31213，所以 cos6 sin26 sin31213. 答案 b 8.已知 sin xcos x312，x(0，)，則 tan x 等于( ) a.33 b.33 c. 3 d. 3 解析 由題意可知 sin xcos x312，x(0，)，則(sin xcos x)242 34，因為 sin2xcos2x1， 所以 2sin xcos x32，即2sin xcos xsin2xcos2x2tan xtan2x132，得 tan x33或 tan x 3.當(dāng) tan x33時，sin xcos x0，所以 a為銳角， 由 tan asin acos a23以及 si

20、n2acos2a1， 可求得 sin a2211. 答案 2211 10.已知 為第四象限角，sin 3cos 1，則 tan _. 解析 由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin cos 8cos2，又因為 為第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 43. 答案 43 11.化簡：sin（）cos（）sin52tan（）cos3（2）_. 解析 原式（sin ）（cos ）sin2tan cos3 sin cos cos sin cos cos3sin cos2sin cos21. 答案 1 12.已知 tan 3，則 cos322 _. 解

21、析 tan 3，cos322 sin 22sin cos sin2cos22tan tan2169135. 答案 35 b級 能力提升 13.(2020長 沙 一 中 月 考 ) 若 sin 是 方 程 5x2 7x 6 0 的 根 ， 則13 / 15 sin32 sin32 tan2（2）cos2 cos2 sin（）( ) a.35 b.53 c.45 d.54 解析 方程 5x27x60 的兩根分別為 x12和 x235，sin 35. 則sin32 sin32 tan2（2）cos2 cos2 sin（） sin2 （cos ）tan2sin （sin ）（sin ）cos2sin2cos2sin3 1sin 53，故選 b. 答案 b 14.若 tan cos ，則1sin cos4 的值為( ) a. 2 b.2 c.2 2 d.4 解析 tan cos sin cos cos sin cos2，故1sin cos4sin2cos2sin sin2sin cos2sin 1cos2sin sin sin 1sin 2. 答案 2 15.已知 是三角形的一個內(nèi)角，且