以點(diǎn)帶面：探究解決拓展提高模式

1、以點(diǎn)帶面：“探究一解決一拓展提高”模式“向量在判定三角形形狀中的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)【課例解析】1教材的地位和作川木節(jié)課是在學(xué)完人教版數(shù)學(xué)（必修4）第2章平而向量的概念、運(yùn)算、坐標(biāo)及應(yīng)用整章知識(shí) 后的一節(jié)專題解題課.教材一直堅(jiān)持從數(shù)和形兩個(gè)方而建構(gòu)和研究平而向量.如向量的兒何表示， 三和形，平行四邊行法則讓向量具備形的特征，而向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，乂讓向量具備數(shù)的 特征.所以我們?cè)谘芯肯蛄繂?wèn)題或用向量解決數(shù)學(xué)、物理問(wèn)題時(shí)，應(yīng)具備數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想.通 過(guò)本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)牛感受數(shù)形結(jié)合在解題中的魅力，體會(huì)向量的工具性，達(dá)到提高學(xué)牛運(yùn)川數(shù)形 結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題的能力，并把培養(yǎng)學(xué)牛的建構(gòu)意

2、識(shí)和合作，探索意識(shí)作為教學(xué)廿標(biāo). 2學(xué)情分析本節(jié)課z前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了平而向量的知識(shí)，對(duì)向量已有了充分了解，并在解題過(guò)程中進(jìn) 行了運(yùn)用，木節(jié)課從課木一道與三角形有關(guān)的習(xí)題（人教a版，必修4, 132頁(yè)復(fù)習(xí)參考題）入手 探求其解法并對(duì)其進(jìn)行引川，學(xué)生的知識(shí)、方法儲(chǔ)備充分，完全能達(dá)到木解題課的i標(biāo)要求.【方法闡釋】本節(jié)課的教學(xué)采用心智數(shù)學(xué)教育方式z “以點(diǎn)帶血”教學(xué)模式，主耍分“創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課, 自主探究、合作學(xué)習(xí)，成果展示、匯報(bào)交流，反饋訓(xùn)練、鞏固落實(shí)，歸納總結(jié)、提升拓展”五個(gè)教 學(xué)環(huán)節(jié).教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)牛完成怎樣解題的四步，引導(dǎo)學(xué)牛對(duì)解題規(guī)律進(jìn)行反思和總結(jié).學(xué)牛要巫視獨(dú) 立思考、大膽嘗試、

3、合作學(xué)習(xí).教學(xué)過(guò)程要注重師牛、牛牛間情感交流，鼓勵(lì)學(xué)牛大膽嘗試，培養(yǎng) 他們積極進(jìn)取的探索和創(chuàng)新精神.【目標(biāo)定位】1知識(shí)與技能目標(biāo)熟練掌握向量方法解決幾何問(wèn)題的“三步曲”一一形到向量，向量運(yùn)算，向量和數(shù)到形，進(jìn)一 步體會(huì)和認(rèn)識(shí)向量在數(shù)學(xué)中的工具作用.進(jìn)一步熟悉向量與三角形問(wèn)題的不同呈現(xiàn)形式及解決策 略.通過(guò)學(xué)生自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，提高概括、數(shù)學(xué)表達(dá)等基木數(shù)學(xué)思維能力； 2過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)課堂自主、合作探究，實(shí)現(xiàn)一切以學(xué)生為中心的教育理念.通過(guò)概括、思路探究等雙邊 活動(dòng)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；進(jìn)一步在實(shí)踐屮發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合 思想，轉(zhuǎn)化思想的能力.通過(guò)對(duì)坐

4、標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)和向量的類比，培養(yǎng)學(xué)生類比推理的能力；借助數(shù)學(xué) 圖形解決問(wèn)題，提高學(xué)牛用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題的能力.經(jīng)歷用向量方法解決平血幾何問(wèn) 題的全過(guò)程，體會(huì)向量是解決幾何問(wèn)題的一種工具，發(fā)展了學(xué)生解決問(wèn)題能力和運(yùn)算能力.3情感與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)師生互動(dòng)，生生互動(dòng)的教學(xué)活動(dòng)，啟迪學(xué)生思維，調(diào)動(dòng)了學(xué)生興趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情 和創(chuàng)新意識(shí)，感受了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，形成學(xué)牛的體驗(yàn)性認(rèn)識(shí)，體會(huì)了成功的愉悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 的興趣，形成鍥而不舍的鉆研梢神和合作交流的科學(xué)態(tài)度.4教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)木節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為用向量解決兒何問(wèn)題的方法和形式. 本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為用向量解決解析幾何問(wèn)題的思維過(guò)程.我的思考：

5、新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)向量是中學(xué)數(shù)學(xué)重要和基本的概念之一，它是溝通代數(shù)，幾何，三 角函數(shù)，的一種工具，有極其豐富的實(shí)際背景.因此，在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)不同層次的練習(xí)體驗(yàn)和 實(shí)用的教學(xué)手段，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).【課堂設(shè)計(jì)】一、創(chuàng)設(shè)情景、導(dǎo)入新課（出示）探究性問(wèn)題：已知向量血，西，西滿足條件:血+亟+亟二0,求證：三角形pip2p3是正三角形.教師：這是一道典型的山向量關(guān)系判斷三角形形狀的數(shù)學(xué)問(wèn)題.我們通過(guò)對(duì)其解法的歸納、總 結(jié)和拓展，我們能對(duì)用向量判斷三角形形狀問(wèn)題的一般解題方法理解的更深刻.請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真思考, 盡可能用多種方法來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題，并注意對(duì)所用解法進(jìn)行反思、總結(jié)請(qǐng)同學(xué)們先弄清題意. 學(xué)生：本題

6、的條件有兩個(gè)，分別為西+亦+血 =0和阿=函 =|函 =1結(jié)論為：三角形 pip2p3是止三角形，探求證明方法的關(guān)鍵是兩個(gè)已知條件的轉(zhuǎn)化以及止三角形的證明方法.兩個(gè)條 件都是關(guān)于pl、p2、p3的對(duì)稱式，由此可以看到結(jié)論一定能被滿足.我的思考：?jiǎn)l(fā)學(xué)生分析問(wèn)題的關(guān)鍵條件和結(jié)論，并設(shè)法把它們轉(zhuǎn)化這是設(shè)置探究性問(wèn)題的主 要目的.二、自主探究、合作學(xué)習(xí)（學(xué)生獨(dú)立思考后，小組交流，分小組展示解題方法與過(guò)程.）三、成果展示、匯報(bào)交流學(xué)生1:由兩個(gè)向量形式的條件，可考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題，川向 量朋標(biāo)的方式轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論iop = 1我聯(lián)想三角函數(shù)的處標(biāo)形式得到證法一.證明:以o

7、點(diǎn)為處標(biāo)原點(diǎn)，op3所在直線為x軸，過(guò)o垂直op3的直線為x軸，建立處標(biāo)系.易知厶（1，0），片（cosl20°,sinl2（r）,鬥（cos240°,sin240°）| = | = | = 73所以：三角形pip2p3是正三角形.教師：請(qǐng)各小組同學(xué)討論分析-下這種證明方法，看有沒(méi)有問(wèn)題，如有問(wèn)題有應(yīng)如何改進(jìn).學(xué)牛2：這種證法確有問(wèn)題，實(shí)際上在證明過(guò)程中，pl、p2點(diǎn)的坐標(biāo)不易求得。估計(jì)這位同學(xué) 在證明過(guò)程中不口覺(jué)地運(yùn)用了結(jié)論.我的思考：p.、p2坐標(biāo)的求解須借助于平面幾何知識(shí)，證明向量的夾角為120°,有了以上結(jié)論 就不用再求點(diǎn)的坐標(biāo)了。在證題中不自覺(jué)

8、地運(yùn)用了結(jié)論，也是經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤。再平時(shí)教學(xué)中本例 還有同學(xué)這樣建立坐標(biāo)系，以o為原點(diǎn)，平行于p|p2的直線為x軸，op3所在直線為y軸，建立平 面直角坐標(biāo)系。在建立坐標(biāo)系的過(guò)程中，也不自覺(jué)地用到了結(jié)論。結(jié)合本例學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題，應(yīng)講清楚學(xué)生所犯的錯(cuò)誤。學(xué)生2：其實(shí)不用把坐標(biāo)系建的這樣特殊.山條件”可=”可=”可=1町設(shè)：op、= (cosa,sino), 0p2 = (cos/?,sin/?), 0p3 = (cosy,siny).利用三角形的知識(shí)，即可證明.過(guò)程如下:證明一：根據(jù)0p2op3 =1,片、篤、乙在單位圓上,設(shè)0片=(cosq,sin&), 0p2 = (cos0,sin

9、0), op = (cos/,sin/)由0片 +op2op, =0,得cos a + cos 卩 + cos / = 0 > sin a + sin /? + sin / = 0即，一 cos y = cos a + cos 0, sin y = sin a + sin 0兩式平方和加的，2cos(cr-/?) = -!所以,coscif)2 +(sin0 sina)2=j2-2cos(a -0) = v3同理可得，|kx| = | = v3所以：三角形pip2p3是正三角形.學(xué)牛3：我沒(méi)有轉(zhuǎn)化處標(biāo)形式，而是直接運(yùn)用向量的幾何形式，最后通過(guò)三角形abc的角證明 結(jié)論.證明二如圖所示，設(shè)

10、od = opop2,因?yàn)椋何?，亟，亦滿足條件0耳+ 0可+ 亦 =0,op3 = -odaod = 1p2所以：|= |d| = pjd =i所以：zopr = zopqp、= 30°同理：= zop2p, = 30°所以：三角形p.p2p3是止三角形.學(xué)牛4:從數(shù)量積角度，最后通過(guò)三角形的邊長(zhǎng)去休現(xiàn). 1證明三：由已知：opj 0p?=一一所以:|p| = | = | = v3所以：三角形p1p2p3是正三角形.學(xué)生5：我也是從數(shù)量積角度，但最后走的是用內(nèi)角體現(xiàn).證明四：由已知：opop2=所以:cos zpqp?=op、 op?1op-op2=2今0馬二120

11、6;所以：三角形p,p2p3是正三角形.教師：解法非常精彩，同學(xué)們討論的也很熱烈.下血請(qǐng)同學(xué)們?cè)賹?duì)二、三、四、五這四種證明 方法分組歸納.（引導(dǎo)學(xué)生歸納，教師點(diǎn)評(píng)）學(xué)生6：證明一的特點(diǎn)是，借助向量坐標(biāo)形式，使兒何問(wèn)題代數(shù)化.學(xué)生7：證明二，采用數(shù)形結(jié)合的思想，觀察條件中的兩個(gè)等式，聯(lián)系向量的模和加法的幾何 意義，通過(guò)構(gòu)造圖形證明正三角形.學(xué)牛8：證明三和四告訴我們，證明三角形是正三角形，可以從邊、角兩方面入手，聯(lián)系兩個(gè) 向量的數(shù)量積，通過(guò)模和夾角來(lái)證明.教師：非常好，以上學(xué)生的四種證明方法，都蘊(yùn)含著同學(xué)們對(duì)條件的不同認(rèn)識(shí)和結(jié)論的不同轉(zhuǎn) 化.用向量判斷三角形形狀耍運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，借用處標(biāo)系、

12、數(shù)量積、夾角公式、三角形的邊 角關(guān)系等載體轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論.這些證明方法，也是我們?cè)谶\(yùn)用向量判定三角形的形狀，判定點(diǎn) 三角形的關(guān)系等問(wèn)題時(shí)常用的思考角度.好，下面我們一起小試牛刀，練習(xí)一下：四、反饋訓(xùn)練.鞏固落實(shí)跟蹤練習(xí)1：已知，三角形abc, ab =c , bc =a , ca = b ,且有=bc =c,試 判定三角形abc的形狀？（學(xué)生練習(xí)6分鐘，教師巡視學(xué)生情況，個(gè)別點(diǎn)撥，學(xué)生板演解法）解法一：. bc = cac（一a）=o又 a + 方 + c = 0, c = -(b + a)-0 + a)(-a) = 0方w b = a同理，可得a = c ,故三和形abc為正三角形.解法二：

13、 a + + c = o .a = -0 + c), = -(a + c),a a2 = ft2 + 2&+ c2, b? =a，+ 2ac + c，又因?yàn)?quot;c = ct所以兩式相減得2a2 =2b2:.b2 =a 即得b = a同理，可得a = c ,故三角形abc為正三角形.解法三：如圖，以a,b,c為頂點(diǎn)做平行四邊形abcd,連接bd,|tl向量減法的三角形法則，易知bd = a-c ,又ab = bc ,得方(a-c) = o所以bd = ca.又因?yàn)槠叫兴倪呅蝍bcd的對(duì)角線ac,bd相互平分,/. |ab| = |ic|，即 a = |c .同理可得b = a,故

14、三角形abc為正三角形.解法四:如圖abd山射影公式：c cosb = b cosccr2 + |c2-l2jcj+0|2|c2c|2問(wèn)c2問(wèn)訓(xùn)又山余弦定理可知:同理可得b = a,故三角形abc為正三角形.解法五：以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，bc所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.設(shè) c(t,o),a(m,n),則 a =(匚 o)，c = (-m-n), b = (m -tji)所以：a c = -tm , a b = mt -t又因?yàn)椋篴b = ac ,所以t2 = 2mt又因?yàn)椋篵c = -m2 + mt -n2,= bc所以：m n2 = t2 f 得 a = c同理，可得 =a 故三和形abc為正

15、三和形.解法六：兇為：a b = a - b|cos(;r-c)bc = b ccos(龍一a)c a = c a cos(tt - b)又因?yàn)椋簊 = ab sinc = |ft|c|sin a = acsinb2 2 2所以：tan a = tan b = tan c乂因?yàn)椋篴,b,c為三角形的內(nèi)角所以：a=b=c故三角形abc為正三角形.學(xué)生9：從正弦定理切入證法七：= cab cos a = a cosb乂由正弦定理=sin a sin b得 sinbcosa=cosbsinasin（a-b）=0,又因?yàn)椋篴,b,c為三角形的內(nèi)角a= b,同理，可得b=c故三角形abc為正三角形.教師

16、：下而請(qǐng)各個(gè)同學(xué)說(shuō)明自c的做題想法和切入點(diǎn)，大家一起感受一下. 學(xué)生10：解法一運(yùn)用條件吋，注意了。二。？.學(xué)牛11:解法二在運(yùn)用條件時(shí)，同樣注意了和方法一相比，過(guò)程更簡(jiǎn)潔明了.學(xué)生12：解法三運(yùn)用向量的兒何意義，使解題過(guò)程變得簡(jiǎn)單明了. 學(xué)牛13：解法四運(yùn)用余弦定理建立了關(guān)于三角形邊的等量關(guān)系.學(xué)牛14：解法五運(yùn)用向量的朋標(biāo)形式，是一種最基本的方法.學(xué)牛15：解法六把證明角相等作為切入點(diǎn)，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義及三角形曲積公式.學(xué)生16：解法七運(yùn)用正弦定理作為切入點(diǎn).教師：好極了，向量的模轉(zhuǎn)化為向量的平方，這是一個(gè)重要的向量解決思想.學(xué)生10和11對(duì) 數(shù)量積形式巧妙變形，使證明過(guò)程簡(jiǎn)單，令人佩

17、服.學(xué)牛15的方法獨(dú)特，從血積和數(shù)量積定義視角 看三角形，比較巧妙，耐人尋味.他們的闡述的完全正確，并體現(xiàn)了思維的靈活性和廣闊性.事實(shí)上，運(yùn)用向量判定三角形的形狀，判定點(diǎn)與三角形的關(guān)系的題目也花樣多多，耐人尋味， 好，下而我們一起看一下兒個(gè)練習(xí)題，請(qǐng)大家欣賞：（學(xué)牛練習(xí)，教師巡回對(duì)個(gè)別學(xué)牛進(jìn)行思路點(diǎn)撥.）跟蹤練習(xí)2： 1. 已知非零向量忑與處滿足（理-）bc-o jg ,則abc%（） |ab| |ac|ab| |ac| 2a三邊均不相等的三角形b.直角三角形c.等腰非等邊三角形 d.等邊三角形ac解析：非零向量與滿足（上二+上工）=0,即角4的平分線垂直tbg a ab=ac,ab i ac

18、 i乂 cos a =ab ac 1 ab ' ac ttza=-,所以aabc為等邊三角形，選d.2. 課木練習(xí)：等邊三角形的邊長(zhǎng)為1, bc=aca=b, 4b = c ,另1% a 方+ c + ca3等于()d-3a. 3 b3 c. 23. （2005山西）己知o是aabc所在平而內(nèi)一點(diǎn)，滿足鬲亦=前況 二況丙，則點(diǎn)o是abc的（）a三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)b三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)c三條中線的交點(diǎn)d三條高的交點(diǎn)解析：由麗商=西況=況丙，得ob(o4-oc) = 0,oa-(cb-oc) = 0.ob 丄 ca,oa1bc.o是abc的垂心,即三條高的交點(diǎn).選d.4. （20

19、03山西）已知0是平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，a. b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足op = oa + a(ab ac）,ag （）,+oo）,則點(diǎn)p的軌跡一定過(guò)abc的a外心b內(nèi)心c重心d垂心ababac分別為ab s猶的單位向量,ab ac（2丘|0，+8）就是起點(diǎn)為/、終點(diǎn)在za的平分線上的向量,由 ap = op-oa = a(:點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)aabc的內(nèi)心.選b.5. 設(shè)向量 a,b,c滿足 a+b+c=o,(ab)丄c,a丄b,若 i a i =ljij lai 2+lft l2+ i c i ?的值是=> c6.解析:2c-bc = 0=02bc0=1己知p是aabc內(nèi)一點(diǎn)，

20、且滿足p4 + 2pb + 3pc=0,記aabp、abcp、acp的面枳依次為s" s2、s3,則sy s?： s?等于（d ）as 1： 2： 3 b、1： 4： 9 cs v3： v2： 1 解析：取 ac、bc1!'點(diǎn) d、e,連接 pa、pb、pc、m + 2兩+ 3陀= (), pa + pc = -2(pb + pc)/. 2pd = -4pe 即 pd = -2pe由此可知,s ： s2 s3 =3： 1: 2（多媒體投影題目解答，學(xué)生相互講評(píng)，討論5分鐘）教師點(diǎn)評(píng)：跟蹤練習(xí)2以向量為題血，題目涉及三角形的內(nèi)心、垂心問(wèn)題，重心、外心問(wèn)題.同 學(xué)們要注意數(shù)量積在

21、求夾角和模方而的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合處理問(wèn)題的思想.五、歸納總結(jié)、提升拓展教師課堂總結(jié)：向量作為一種工具，向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著 廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙垂身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi) 容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視.本節(jié)在判定三角形的形 狀和點(diǎn)與三角形的關(guān)系籌方面，充分體現(xiàn)了向量的工具性作用，從中，大家體會(huì)了向量處理幾何問(wèn) 題的靈活多樣性.我的思考：最后的小結(jié)要進(jìn)一步使學(xué)生明白：向量作為一種工具，向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物 理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)

22、形于一 體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視, 本節(jié)在解三角形，與正弦定理，余弦定理的配合，判定三角形的形狀和點(diǎn)與三角形的關(guān)系等方面的 作用，體現(xiàn)了知識(shí)的連貫性，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò).教師：最后，留一個(gè)問(wèn)題供大家課示繼續(xù)研究，希望大家能給出風(fēng)采各異的解答.大家仔細(xì)觀 察，和習(xí)題中的題目具有哪些相似z處，聯(lián)系在哪里？又有哪些不同，可以類比的方法是哪些？課后思考練習(xí)1三角形abc內(nèi)接于以o為圓心，1為半徑的圓，且30a + 40b + 50c = 0求oaob , oboc.oaoc求三角形abc的面積？2學(xué)有余力的同學(xué)可以對(duì)教學(xué)鏈接素材中的問(wèn)題進(jìn)行深入研究.【教學(xué)鏈接】相關(guān)檢索：與三角形有關(guān)的的向量結(jié)論的介紹筆者研究的一部分與三角形有關(guān)的