江蘇高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽歷年試題(本一)

1、2000 年江蘇省第五屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科一級(jí)）一、填空（每題3 分，共 15 分）1.設(shè) f xx x ，則 f f x.2.xxx.limx1x1 ln x3.x144 dx.x51x2t1x2t34.通過直線 L1 :y3t2;L2 :y3t1 的平面方程為.z2t3z2t15.設(shè) zzx, y由方程 Fy , z0確定（ F 為任意可微函數(shù)） ，則 x zy zx xxy二、選擇題（每題 3 分，共15 分）1對(duì)于函數(shù) y2 x1，點(diǎn)x 0是 ()11.2 x1A. 連續(xù)點(diǎn)；B. 第一類間斷點(diǎn)； C. 第二類間斷點(diǎn)； D 可去間斷點(diǎn)2.設(shè) fx可導(dǎo)， Fxfx1sin x，若欲使

2、Fx 在 x0 可導(dǎo)，則必有（）A.f 00； B.f 00；C.f 0 f 0 0 ；D f 0f 003.sinxylimxy（）x0y0A. 等于 1；B. 等于 0； C. 等于1； D 不存在4.若fx0 , y0, fxyx0 , y0 都存在，則fx, y 在 x0 , y0()A. 極限存在，但不一定連續(xù)；B. 極限存在且連續(xù)；C. 沿任意方向的方向?qū)?shù)存在；D 極限不一定存在，也不一定連續(xù)5.設(shè)sin n1為常數(shù)，則級(jí)數(shù)()n 1n2nA. 絕對(duì)收斂B. 條件收斂；C. 發(fā)散；D 收斂性與取值有關(guān)x 2三（ 6 分）設(shè) fx 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， f 00, f 0 0 ，求 lim

3、0xx 0x20f t dt.f t dtxt(1t )02四（ 6分）已知函數(shù)yy( x) 由參數(shù)方程dyt 0 .teyy1確定，求0dx 2五（ 6 分）設(shè) fx, gx 在 a,b上可微，且 g x0 ，證明存在一點(diǎn)cacb，使得f af cfc.g cg bgc分）設(shè) fxx ， gsin x0x2，求 Fx六（ 6xxft gxtdt .00x2七（ 6 分）已知 uux, y 由方程 ufx, y, z,t, gy, z,t0,hz,t0 確定，其中f , g, h 都是可微函數(shù)，求u ,u .xy八（ 8 分）過拋物線yx2 上一點(diǎn)a, a2作切線，問 a 為何值時(shí)所作的切線與

4、拋物線yx24x1所圍成的平面圖形面積最小 .九（ 8分）求級(jí)數(shù)1111的和 .3 33n 3n13 232十（ 8 分）設(shè) fx在 a, b 上連續(xù)且大于零， 利用二重積分證明不等式：bfb1 dxb2x dxfa .aax十一（ 8 分）已知兩個(gè)球的半徑分別為a,b(ab) ，且小球球心在大球球面上，試求小球在大球內(nèi)的那部分的體積 .十二（ 8分）計(jì)算曲面積分x2y2z2 ds ，其中為曲面 za2x2y2 ( a0) .2002 年江蘇省第六屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科一級(jí)）一 .填空（每題5 分，共 40 分）1. limetan xex， ckc c 0 ，則 kx 0x2. 設(shè) f x

5、 在 1,上可導(dǎo)，下列結(jié)論成立的是A. 若 limfx0 ，則 fx在 1,上有界 B. 若 lim f x0 ，則 fx 在 1,上無界xxC. 若 limfx1，則 fx在 1,上無界x3.設(shè)由 e yx yx1x 確定 yy( x) ，則 y0.4.arcsin x arccosxdx.5.曲線zx2y2，在點(diǎn)1,1,2 的切線的參數(shù)方程為.x2y22 y6.設(shè) zfygex ,sin y， f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則2 zxx y13x7.交換二次積分的次序0dxx2fx, y dy.8.冪級(jí)數(shù)1xn 的收斂域.n1 1112n二.（8分）設(shè) I n4 tann xdx

6、，求證1I n1n 2 .02 n 12n1三.（8分）設(shè) fx 在 a,b 上連續(xù)，bb0，求證 : fx 在 a, b 內(nèi)至少存在兩個(gè)零點(diǎn) .f (x)dxf (x)exdxaa四 .（ 8 分）求直線體的體積 .x 1yz 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程，求求該曲面與y0, y2 所包圍的立211n1五 .（9 分）設(shè) k 為常數(shù)，試判斷級(jí)數(shù)n 2 nkln n2 的斂散性，何時(shí)絕對(duì)收斂？何時(shí)條件收斂？何時(shí)發(fā)散？1x, y0,0yarctany2討論 fx, y 在 0,0六.（9分）設(shè) fx, yx2連續(xù)性， 可偏導(dǎo)性與可微性 .0x, y0,0七.（9分）設(shè) fu 在 u0 可導(dǎo)，

7、 f00, D : x2y22tx, y 0 ，求 lim1f x2y2ydxdyt4t0D八 .（9 分）設(shè)曲線 AB 的方程為 x2y24y3 x 0 ，一質(zhì)點(diǎn) P 在力 F 作用下沿曲線 AB 從 A 0,1 運(yùn)動(dòng)到 B 0,3，力 F 的大小等于 P 到定點(diǎn) M2,0 的距離， 其方向垂直于線段 MP ，且與 y 軸正向的夾角為銳角，求力F 對(duì)質(zhì)點(diǎn) P做得功.2004 年江蘇省 第七屆 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科一級(jí)）一 .填空（每題5 分，共 40 分）1. x0 時(shí)， xsin x cosx cos2x 與 cx k 為等價(jià)無窮小，則cx22. lim x arctan1xx1113.

8、 limnn24n21622n4n4. f xx4 ln 1 x , n 4 時(shí) f n 0xsin x cosx5.sin x2 dxcosx6.n.1 2nn 1 n7.設(shè) fx, y可微， f1,22, f x1,23, f y1,24 ，xfx, fx,2 x，則1.8. 設(shè) fxg xx0x 1x,yfy fxy dxdy.0其他， D 為，則D二（ 10 分）設(shè) fx在 a, bf x在 a, bf ( a)f (b)0 ，b0 ，上連續(xù)，內(nèi)二階可導(dǎo)，f ( x)dxa求證 :1) a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得 ff； 2） a,b 內(nèi)至少存在一點(diǎn), 使得 ff三.（10分）設(shè) D :

9、 x2y24x, yx，在 D 的邊界 yx 上任取點(diǎn) P ,設(shè) P 到原點(diǎn)距離為 t ，作 PQ 垂直于 yx ，交 D 的邊界 x2y24x 于 Q1）試將P,Q 的距離 PQ 表示為 t 的函數(shù)； 2）求 D 饒 yx 旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積 .四（ 10分）已知點(diǎn) P(1,0, - 1),Q(3,1,2) , 在平面 x - 2 y +z = 12上求一點(diǎn) M ，使 PM + MQ 最小.五（ 10分）求冪級(jí)數(shù)n 1 n 3n1nxn 的收斂域 .2六（ 10分）求證： 33x2 y2z 5dxdydz3，其中: x2y2z21.2七（ 10 分）設(shè)fx連續(xù)，可導(dǎo)，f11G為不含原點(diǎn)單

10、連通域，任取M , NG ，G 內(nèi)積分N1ydxxdy與路徑無關(guān) .M2x2fy122（ 1）求 fx ；（ 2）求2ydx xdy 其中為 x3y 31邊界取正向 .2xfy2006 年江蘇省 第八屆 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科一級(jí)）一 .填空（每題5 分，共 40 分）1.fxax3， lim1f1 f2f nn4 lnn12.limxetx 21 dt5x00x3.1arctan x01x22 dx4.已知點(diǎn)A4,0,0,B(0,2,0), C(0,0,2) , O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四面體 OABC 的內(nèi)接球面方程為5.設(shè)由xzeyz 確定 zz( x, y) ，則 dze,06.函數(shù) fx,

11、 ye xaxby2中常數(shù) a, b滿足條件時(shí)， f1,0為其極大值 .7.是ya sin x(a0)上從點(diǎn)0,0到,0的一段曲線，a時(shí)，曲線積分設(shè)x2y dx2xyey2dy 取最大值 .8.級(jí)數(shù)1n1 n1n 條件收斂時(shí)，常數(shù)p 的取值范圍是n1n p二.（10分）某人由甲地開汽車出發(fā)，沿直線行駛，經(jīng)2 小時(shí)到達(dá)乙地停止，一路暢通，若開車的最大速度為 100 公里 /小時(shí)，求證：該汽車在行駛途中加速度的變化率的最小值不大于200公里 /小時(shí) 3.三.（10分）曲線的極坐標(biāo)方程為1cos02，求該曲線在所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的切線L 的4直角坐標(biāo)方程，并求切線L 與 x 軸圍成圖形的面積 .四（ 8 分

12、）設(shè) f(x) 在,上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù)，fxf x1，求證： fx1.x,.五（ 12 分）設(shè)錐面 z23x23y2 ( z0) 被平面 x3z40 截下的有限部分為.（ 1）求曲面的面積；（ 2）用薄鐵片制作的模型， A(2,0, 23), B(1,0, 3) 為上的兩點(diǎn)， O 為原點(diǎn)，將沿線段 OB 剪開并展成平面圖形D ，以 OA 方向?yàn)闃O坐標(biāo)軸建立平面極坐標(biāo)系，寫出 D 的邊界的極坐標(biāo)方程 .六（ 10 分）曲線x22z 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周生成的曲面與 z 1, z 2 所圍成的立體區(qū)域記為，求y01x2y2 z2 dxdydz .七（ 10 分） 1）設(shè)冪級(jí)數(shù)an2xn 的收斂域

13、為1,1 ，求證冪級(jí)數(shù)an xn 的收斂域也為1,1 ； 2）試n 1n 1 n問命題 1）的逆命題是否正確，若正確給出證明；若不正確舉一反例說明.2008 年江蘇省 第九屆 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽題（本科一級(jí)）一填空題（每題5 分，共 40 分）1. a =， b =時(shí)， limax + 2 xarctanx = - pbx - xx2a =，時(shí)x在x ?0時(shí)關(guān)于 x 的無窮小的階數(shù)最高。2.b =f ( x) = ln(1-ax) +1+ bxp3. ò2 sin2 x cos4 xdx =04.通過點(diǎn) (1,1,- 1) 與直線 x = t , y = 2, z = 2 + t 的平面方

14、程為5.設(shè) z =2x, 則 ?n z(2,1) =y2x2 -? yn6.設(shè) D 為 y =x, x = 0, y =1圍成區(qū)域，則蝌 arctan ydxdy =D7.設(shè) G 為 x2 +y2 = 2x( y ?0) 上從 O (0,0)到 A(2,0)的一段弧，則( yex+x)dx + (ex -xy) dy =òG￥8.冪級(jí)數(shù) ? nxn 的和函數(shù)為，收斂域?yàn)椤= 1二（ 8 分）設(shè)數(shù)列 xn 為 x1 = 3, x2 =3- 3,L, xn+ 2 = 3-3 + xn (n = 1,2,L )證明：數(shù)列 xn 收斂，并求其極限三（ 8 分）設(shè) f(x) 在a, b1bb

15、/上具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，求證max f ( x) ?b- a 蝌af ( x)dxf ( x) dxax ba四（ 8 分） 1）證明曲面 S : x = (b + a cosq)cos j , y = a sin q, z = (b + a cosq)sin j(0 q2p ,0 j2p ) (0 < a < b) 為旋轉(zhuǎn)曲面2）求旋轉(zhuǎn)曲面 S 所圍成立體的體積抖u五（ 10 分）函數(shù) u( x, y) 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，算子A 定義為 A(u) = xu,抖+ yxy1）求 A(u -A(u) ； 2)利用結(jié)論 1）以 x =y , h = x - y 為新的自變量改變方程xx

16、2 抖2 u+ 2xy2u+ y2 ? 2u= 0的形式抖 2抖y2xxy1t2t六（ 8 分）求 lim+t6 蝌dxsin( xy) dyt? 00x七（ 9 分）設(shè) S : x2 + y2 + z2 = 1(z ? 0) 的外側(cè)，連續(xù)函數(shù)f (x, y) = 2( x -y)2 + 蝌 x( z2 + ez )dydz + y( z2 + ez) dzdx + (zf (x, y) -2ez )dxdy ，求 f (x, y)S八（ 9 分）求x2 ( x - 3)的關(guān)于 x 的冪級(jí)數(shù)展開式f ( x) =1)3 (1- 3x)( x -2010 年江蘇省 第十屆 高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本科

17、一級(jí)）一 .填空（每題4 分，共 32 分）1. limx sinsin x3x 0sin x2.設(shè)函數(shù) f ,可導(dǎo)， y f arctanxtan x ，則 y3. y cos2 x ，則 y n1 x4. x2 ex dx15.21x4 dx6.圓2x2 y z 2 0的面積為y2z2x24x 2 y 2z 197.設(shè) f2xy, x, f 可微， f13,2 2, f 2 3,23 ，則 dz x, y2,1yn8.級(jí)數(shù)11n1 !的和為n12n n!二（ 10分）設(shè) fx 在0,c 上二階可導(dǎo)， 證明：存在0,c ，使得ccc3f x dxf 0 f cf0212三（ 10 分）已知正

18、方體ABCDA1B1C1D1 的邊長為2， E 為 D1C1 的中點(diǎn)， F 為側(cè)面正方形BCC1B1 的中點(diǎn)，（ 1）試求過點(diǎn)A1, E, F 的平面與底面ABCD 所成二面角的值。（ 2）試求過點(diǎn) A1 , E, F 的平面截正方體所得到的截面的面積.四（ 12分）已知 ABCD 是等腰梯形， BC / AD , ABBC CD8 ,求 AB, BC, AD 的長，使得梯形繞 AD旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大。五（ 12 分）求二重積分cos2 xsin2y dxdy ，其中 D : x2y21D六（ 12 分）應(yīng)用高斯公式計(jì)算ax2by 2cz2dS ，（ a, b, c 為常數(shù)），其中:

19、 x2y2y22z .七 .（ 12 分）已知數(shù)列an ， a11,a22, a35, an 1 3anan 1 n 2,3,記 xn1xn 的斂散性 .，判別級(jí)數(shù)ann 12012年江蘇省第十一屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（本一）一、填空題（每小題4分，共 32分，把答案寫在題中橫線上）1、 lim( x 1)(3 x 1)(4 x 1)( x 1)3x 12、 yln(1 x2 ), 則 y(n )3、2 sin 8 xdx04、13 arccos 1 dx1xx5、函數(shù)( x),(x),f (x, y) 皆可微，設(shè) zf ( (x y), (xy), 則 zzxy6、設(shè) :222,2xyz( x yz) dxdydzz 則7、點(diǎn) (2,1,3)到直線 x1y 3z 的距離為1228、級(jí)數(shù)(1) nnk1) k為條件收斂，則常數(shù)k 的取值范圍是n 2n(二、（每小題 6分，共 12分）123( 1)n 1 n（ 1）求 l