2017年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷3及答案解析

1、數(shù)學(xué)試卷第 1 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 2 頁(yè)（共 18 頁(yè)）絕密啟用前2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5分，共 60 分 .在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知集合22( , )1ax yxy，( , )bx yyx，則ab中元素的個(gè)數(shù)( )a.3 b.2 c.1 d.0 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足1i z2i，則z( )a.12b.22c.2d.2 3. 某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪

2、制了下面的折線(xiàn)圖. 根據(jù)該折線(xiàn)圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )a. 月接待游客量逐月增加b.年接待游客量逐年增加c.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8 月份d. 各年 1 月至 6 月的月接待游客量相對(duì)7 月至 12 月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)4.5+y2yxx的展開(kāi)式中33yx的系數(shù)為( )a.80 b.40 c.40 d.80 5. 已知雙曲線(xiàn)2222:1xycab00ab，的一條漸近線(xiàn)方程為52yx,且與橢圓221123xy有公共焦點(diǎn)，則c的方程為( )a.221810 xyb.22145xyc.22154xyd.22143xy6. 設(shè)函數(shù)3cosfxx，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )a.fx的

3、一個(gè)周期為2b.fx的圖像關(guān)于直線(xiàn)8=3x對(duì)稱(chēng)c.fx的一個(gè)零點(diǎn)為6xd.fx在(2, )單調(diào)遞減7. 執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出s的值小于91，則輸入的正整數(shù)n的最小值為 ( )a.5 b.4 c.3 d.2 8. 已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為( )a. b.34c.2d.49. 等差數(shù)列na的首項(xiàng)為1，公差不為0.若236a aa,成等比數(shù)列，則na前 6 項(xiàng)的和為( )a.24b.3c.3 d.8 10. 已知橢圓c：22221xyab0ab的左、右頂點(diǎn)分別為1a，2a，且以線(xiàn)段12a a為-在-此-卷-上-答-題-無(wú)-效- 畢業(yè)學(xué)

4、校_姓名_考生號(hào)_數(shù)學(xué)試卷第 3 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 4 頁(yè)（共 18 頁(yè)）直徑的圓與直線(xiàn)20bxayab相切，則c的離心率為( )a.63b.33c.23d.1311. 已知函數(shù)211( )2(ee)xxf xxxa有唯一零點(diǎn)，則a( )a.12b.13c.12d.1 12. 在矩形abcd中，12abad，動(dòng)點(diǎn)p在以點(diǎn)c為圓心且與bd相切的圓上 .若ap=ab+ad，則的最大值為( )a.3 b.22c.5d.2 二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分. 13. 若 x ，y滿(mǎn)足約束條件y0,20,0,xxyy則z34xy的最小值為. 14. 設(shè)等比數(shù)列na滿(mǎn)足1

5、213 1,3aaaa，則4=a. 15. 設(shè)函數(shù)1,0,( )2 ,0,xxxf xx則滿(mǎn)足1( )()12f xf x的 x 的取值范圍是. 16.a b，為空間中兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰直角三角形abc的直角邊ac所在直線(xiàn)與a b，都垂直，斜邊ab以直線(xiàn)ac為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線(xiàn)ab與 a 成60角時(shí)，ab與b成30角；當(dāng)直線(xiàn)ab與 a 成60角時(shí)，ab與b成60角；直線(xiàn)ab與 a 所成角的最小值為45；直線(xiàn)ab與 a 所成角的最大值為60. 其中正確的是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）三、解答題：共 70 分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第 1721 題為必考題，每個(gè)

6、試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共60 分. 17. （12 分）abc的內(nèi)角a b c， ，的對(duì)邊分別為a b c，已知sin3cos0aa，=27a,2b. （ 1）求 c ；（2）設(shè)d為bc邊上一點(diǎn)，且adac,求abd的面積 . 18. （12 分）某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4 元，售價(jià)每瓶6元， 未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶 2 元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān) .如果最高氣溫不低于25，需求量為500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300

7、瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200 瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15， 20）20，25）25，30）30，35）35， 40）天數(shù)2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. （1）求六月份這種酸奶一天的需求量x（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量 n （單位：瓶）為多少時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？19.（12 分）如 圖 ， 四 面 體abcd中 ，abc是 正 三 角 形 ，a c d是 直 角

8、 三 角 形 ，.abdcbd abbd，（1）證明：平面acd平面abc；（2）過(guò)ac的平面交bd于點(diǎn)e，若平面aec把四面體abcd分成體積相等的兩數(shù)學(xué)試卷第 5 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 6 頁(yè)（共 18 頁(yè)）部分，求二面角daec的余弦值 . 20.（12 分）已知拋物線(xiàn)c：22yx，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線(xiàn)l交c與,a b兩點(diǎn)， 圓m是以線(xiàn)段ab為直徑的圓 . （1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)o在圓m上；（2）設(shè)圓m過(guò)點(diǎn)p（ 4，2），求直線(xiàn)l與圓m的方程 . 21.（12 分）已知函數(shù)1(n)lfxaxx. （1）若( )0f x，求 a 的值；（2）設(shè) m 為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，211

9、11+1+1+222nm，求 m 的最小值 . （二）選考題：共10 分.請(qǐng)考生在第22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 . 22.選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（ 10 分）在直角坐標(biāo)系xoy中，直線(xiàn)1l的參數(shù)方程為2+ ,xtykt（t為參數(shù)），直線(xiàn)2l的參數(shù)方程為2,xmmyk（ m 為參數(shù)） .設(shè)1l與2l的交點(diǎn)為p，當(dāng)k變化時(shí)，p的軌跡為曲線(xiàn)c. （1）寫(xiě)出c的普通方程；（ 2 ） 以 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 為 極 點(diǎn) ， x 軸 正 半 軸 為 極 軸 建 立 極 坐 標(biāo) 系 ， 設(shè)3l：cossi2=0n，m為3l與c的交點(diǎn)，求m的極徑 . 23.選修 45：不等

10、式選講 （10 分）已知函數(shù)12fxxx（）. （1）求不等式1fx（）的解集；（2）若不等式2fxxxm（）的解集非空，求m 的取值范圍 . -在-此-卷-上-答-題-無(wú)-效- 畢業(yè)學(xué)校_姓名_考生號(hào)_數(shù)學(xué)試卷第 7 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 8 頁(yè)（共 18 頁(yè)）2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）理科數(shù)學(xué)答案解析1 【答案】 b 【解析】a 表示圓221xy上的點(diǎn)的集合， b 表示直線(xiàn)yx上的點(diǎn)的集合， 直線(xiàn)yx與圓221xy有兩個(gè)交點(diǎn)，所以ab中元素的個(gè)數(shù)為2. 2.【答案】 c 【解析】2i 1i2izi 1 i1 i1i1i，所以z2. 3.【答案】 a 【解析】

11、 根據(jù)折線(xiàn)圖可知， 2014 年 8月到 9 月、2014 年 10 月到 11 月等月接待游客量都是減少，所以a 錯(cuò)誤 . 4 【答案】 c 【解析】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含23x y的項(xiàng)，即23352cxy，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y 時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含32x y的項(xiàng)， 即32252cxy，所以33x y的系數(shù)為23325522108440cc. 5 【答案】 b 【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)c 的漸近線(xiàn)方程為52yx， 可知52ba， 又橢圓221123xy的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 （3， 0） 和 （3， 0） ,所以229ab，根據(jù)可知224,5ab,所以選 b. 6 【答案】 d 【解析】根

12、據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)fx的最小正周期為2,所以函數(shù)的一個(gè)周期為2，a 正確；當(dāng)8,333xx，所以cos13x，所以b 正確；4coscos33fxxx，當(dāng)6x時(shí)，4 332x，所以0fx，所以c 正確；函數(shù)cos3fxx在（2，23）上單調(diào)遞減； （23，）上單調(diào)遞增，故d 不正確 .所以選 d.7 【答案】 d 【解析】0100100102,100 911001090,13smtsmt， ；，,9091，輸出s，此時(shí)，3t不滿(mǎn)足tn，所以輸入的正整數(shù)n的最小值為2，故選d. 8 【答案】 b 【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r， 則22213=1=24r， 所以， 圓柱的體積33= 1=44v，

13、故選 b. 9 【答案】 a 【解析】設(shè)等差數(shù)列na的公差為d，因?yàn)?36,aa a成等比數(shù)列，所以2263a aa，即211152adadad， 又11a， 所以220dd， 又0,d則2d，所以6159aad，所以na的前 6 項(xiàng)的和61 96242s，故選 a. 10 【答案】 a 以線(xiàn)段12a a為直徑的圓的方程為222xya，由原點(diǎn)到直線(xiàn)20bxayab的距離222abdaba，得223ab，所以 c 的離心率22613bea. 11 【答案】 c 【解析】由2112xxfxxxa ee，得2212121121222 24422xxxxxfxxxa eexxxa eexxa e， 所

14、以2fxfx， 即1x為fx圖像的對(duì)稱(chēng)軸 .由題意fx有唯一零點(diǎn)，所以fx的零點(diǎn)只能為1x，即21 11 1112 10fa ee，解得12a.故選 c. 12 【答案】 a 【解析】以a 為坐標(biāo)原點(diǎn)，abad，所在直線(xiàn)分別為x，y 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 a （0， 0） ， b （1， 0） ， c （1， 2） ， d （0， 2） ， 可得直線(xiàn)bd的方程為220 xy，數(shù)學(xué)試卷第 9 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 10 頁(yè)（共 18 頁(yè)）點(diǎn) c 到直線(xiàn)bd的距離為2222512，圓 c：224125xy，因?yàn)閜在圓 c 上，所以p（2 51cos5，2 52sin5）(1,

15、0)ab，(0,2)ad，( ,2 )apabad，所以2 51cos52 52sin252 552cossin2sin355，tan2，選 a. 13 【答案】1【解析】 作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線(xiàn): 340lxy，平移直線(xiàn)l，當(dāng)直線(xiàn)34zxy經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（ 1， 1）時(shí)，z取得最小值，最小值為341. 14 【答案】8【 解 析 】 設(shè) 等 比 數(shù) 列na的 公 比 為q， 則121(1)1aaaq，2131(1)3aaaq，兩式相除，得21113qq，解得12,1qa，所以3418a a q. 15 【答案】1（-， +）4【解析】當(dāng)0 x ，( )=21xf x恒

16、成立，當(dāng)102x，即12x 時(shí)，121()=212xf x，當(dāng)102x， 即102x時(shí)，111()=222f xx， 則不等式1( )() 12f xf x恒成立 . 當(dāng)0 x時(shí)，113( )()121222f xf xxxx，所以104x. 綜上所述，x的取值范圍是（14，）. 16 【答案】【解析】由題意知，, ,a b ac三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖. 不妨設(shè)圖中所示正方體的棱長(zhǎng)為1， 則1 ,2a ca b， 斜邊ab以直線(xiàn)ac為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)， 則a點(diǎn)保持不變，b點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以c為圓心，l為半徑的圓 . 數(shù)學(xué)試卷第 11 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 12 頁(yè)（共 18 頁(yè)）以

17、c為坐標(biāo)原點(diǎn)， 以cd的方向?yàn)閤軸正方向，cb方向?yàn)閥軸正方向，ca的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系. 則d（1，0，0） ，a（0，0， 1） ，直線(xiàn)a的單位方向向量(0,1,0),1.aab點(diǎn)起始坐標(biāo)為（0，1，0） ，直線(xiàn)b的單位方向向量b(1,0,0),1.b設(shè)b點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)b(cos,sin,0)，其中為cb與cd的夾角，0, 2 ). 那么ab在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量(cos ,sin, 1),2abab. 設(shè)直線(xiàn)ab與a所成的夾角為0,2,(cos,sin, 1) (0,1,0)22cossin0,22a ab故,42所以正確，錯(cuò)誤. 設(shè)直線(xiàn)ab與b所成的夾角為，則0,2,

18、 bcosabb ab(cos ,sin, 1) (1,0,0)b ab2=cos.2當(dāng)ab與a成60角時(shí)，=3，12sin=2 cos=2 cos=2=.322因?yàn)?2sin+cos=1,所以2cos=.2所以21cos=cos=.22因?yàn)?,2,所以=3，此時(shí)ab與b成60角. 所以正確，錯(cuò)誤. 三、解答題17. 【答案】解：（1）由已知得tan3a，所以23a=. 在abc中，由余弦定理得222844 cos3cc，即2+224=0cc. 解得c6 ，（舍去），c=4（2）由題設(shè)可得=2cad， 所以6badbaccad. 故abd面積與acd面積的比值為1sin26112abadaca

19、d又abc的面積為142sin232bac，所以abd 的面積為3. 【解析】（1） ）先求出角a, 再根據(jù)余弦定理求出c即可；（2）根據(jù)abd，acd，abc的面積之間的關(guān)系求解即可. 18. 【答案】解：（ 1 ） 由 題 意 知 ，x所 有 的 可 能 取 值 為200,300,500， 由 表 格 數(shù) 據(jù) 知2162000.290p x，數(shù)學(xué)試卷第 13 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 14 頁(yè)（共 18 頁(yè)）363000.490p x，25745000.490p x. 因此x的分布列為x200300500p0.2 0.4 0.4 （ 2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少

20、為200，因此只需考慮200500n當(dāng) 300500n時(shí)，若最高氣溫不低于25，則642ynnn ；若最高氣溫位于區(qū)間20，,25，則63002300412002 ;ynnn（）若最高氣溫低于20，則6200220048002 ;ynnn（）因此20.4120020.480020.26400.4 .eynnnn（）當(dāng) 200300n時(shí)，若最高氣溫不低于20，則642 ;ynnn若最高氣溫低于20，則6200220048002 ;ynnn（）因此20.40.480020.2160 1.2 .eynnn所以300n時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元 . 【解析】（ 1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)

21、進(jìn)行分類(lèi)求解即可；（ 2) 根據(jù)分布列得到關(guān)于利潤(rùn)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解最值. 19. 解：（1）由題設(shè)可得，,abdcbd從而addc. 又acd 是直角三角形，所以0=90acd. 取ac的中點(diǎn)o，連接,do bo則,.doac doao又由于abc 是正三角形，故boac. 所以dob 為二面角dacb的平面角 . 在rt aob中，222boaoab . 又abbd，所以222222bodoboaoabbd，故0dob=90. 所以平面acd平面abc. （2）由題設(shè)及（ 1）知，oa,ob,od兩兩垂直，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oa的方向?yàn)閤軸正 方 向 ，oa為 單 位 長(zhǎng) ， 建 立 如

22、 圖 所 示 的 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系o xyz-， 則(1， 0， 0),(0，3， 0),(1， 0， 0),(0， 0， 1)abcd. 由題設(shè)知，四面體abce的體積為四面體abcd的體積的12，從而e到平面abc的距離為d到平面abc的距離的12，即e為db的中點(diǎn)，得3 1022e，故3 11 ， 0， 1 ，2， 0， 0 ，1，22adacae設(shè)=x, y,zn是平面dae的法向量，則00adae，nn即031022xzxyz.，可取3113=,n. 設(shè)m是平面aec的法向量，則0，0，acaemm同理可得013,m. 則77cos,n mn mn m. 所以二面角daec

23、的余弦值為77. 數(shù)學(xué)試卷第 15 頁(yè)（共 18 頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第 16 頁(yè)（共 18 頁(yè)）【解析】（1）通過(guò)題目中的邊角關(guān)系證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而得二面角dacb的平面角為dob，最后利用勾股定理的逆定理得90dob，從而得證；（2）根據(jù)（ 1）中得到的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可. 20.【答案】解： （1）設(shè)11222a x ,y,bx ,y,l : xmy.由222xmyyx，可得212240 則4ymy,y y. 又221212=22yyx,x,故21212=44y yx x. 因此oa的斜率與ob的斜率之積為12124=14yyxx，所以oaob. 故坐標(biāo)原點(diǎn)o在圓m上. （2）

24、由（ 1）可得2121212+=2+=+4=24yym,xxm yym. 故圓心m的坐標(biāo)為2+2，mm，圓m的半徑2222rmm. 由于圓m過(guò)點(diǎn)42p （， ），因此0ap bp,故121244220 xxyy，即121212124+2200 x xxxy yyy由（ 1）可得1212=-4，=4y yx x，所以2210mm，解得11或2mm. 當(dāng)1m時(shí)， 直線(xiàn) l 的方程為20 xy， 圓心m的坐標(biāo)為（3， 1） ， 圓m的半徑為10，圓m的方程為223110 xy. 當(dāng)12m時(shí)，直線(xiàn)l的方程為240 xy，圓心m的坐標(biāo)為91， -42，圓m的半徑為854，圓m的方程為229185+4216xy. 【解析】 （1）設(shè)出l的方程， 通過(guò)聯(lián)立方程， 證明直線(xiàn)oa與ob的斜率之積為1即可；（2）根據(jù)（ 1）的結(jié)論及p點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解直線(xiàn)與圓的方程. 21.【答案】解： （1）fx的定義域?yàn)?， +. 若0a，因?yàn)?1=-+2022fa ln，所以不滿(mǎn)足題意；若0a， 由1ax af xxx知， 當(dāng)0 x,a時(shí)，0f x； 當(dāng)， +xa時(shí)，0f x，所以fx在0,a單調(diào)遞減，在， +a單調(diào)遞增，故xa是fx在0， +x的唯一最小值點(diǎn). 由于10f，所以當(dāng)且僅當(dāng)1a時(shí)，0fx. 故1a. （2）由（