D隱函數(shù)求導高等數(shù)學學習教案

1、會計學1D隱函數(shù)求導高等數(shù)學隱函數(shù)求導高等數(shù)學1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程當 C 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時,研究其連續(xù)性、可微性 及求導方法問題 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共33頁定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導公式)定理證明從略，僅就求導公式推導如下： 具有連續(xù)的偏導數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導數(shù)第2頁/共33頁兩邊對 x 求導在的某鄰域內(nèi)則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共33頁若

2、F( x , y ) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù),xy則還有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共33頁在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導隱函數(shù)解解: 令連續(xù) ,由 定理1 可知, )(xfy 導的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 并求第5頁/共33頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共33頁兩邊對 x 求導1兩邊再對 x 求導令 x = 0 , 注意此時 利用隱函數(shù)求導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共33頁若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù) ,則方程在點并有連續(xù)偏導數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (

3、x , y) , 定理證明從略, 僅就求導公式推導如下:滿足 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共33頁兩邊對 x 求偏導同樣可得則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共33頁解法解法1 利用隱函數(shù)求導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 再對 x 求導第10頁/共33頁設(shè)則兩邊對 x 求偏導機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共33頁設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù),解法解法1 利用偏導數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故第12頁/共33頁對方程兩邊求微分:解法解法2 微分法. 2F機動 目錄 上頁 下

4、頁 返回 結(jié)束 第13頁/共33頁隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共33頁的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導數(shù)公式 : 在點的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:導數(shù)；機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共33頁定理證明略.僅推導偏導數(shù)公式如下：(P34-P35)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxGFyyGF第16頁/共33頁有隱函數(shù)組則兩邊對 x 求導得在

5、點P 的某鄰域內(nèi)xuxvxF00公式 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故得系數(shù)行列式第17頁/共33頁同樣可得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共33頁解解:方程組兩邊對 x 求導，并移項得求練習練習: 求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 答案答案:由題設(shè)故有第19頁/共33頁在點(u,v) 的某一1) 證明函數(shù)組( x, y) 的某一鄰域內(nèi)2) 求解解: 1) 令對 x , y 的偏導數(shù).在與點 (u, v) 對應的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共33頁式兩邊對 x 求導, 得xuxv機動

6、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則有由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導數(shù). 第21頁/共33頁機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得第22頁/共33頁, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導, 可得,1vxJyuuxJyv1第23頁/共33頁的反變換的導數(shù) .同樣有所以由于uyJ 1r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共33頁1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數(shù)求導法

7、則直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式思考與練習思考與練習設(shè)求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共33頁 11f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共33頁),(zyxzyxfz2f 21fzyf作業(yè)作業(yè) P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由d y, d z 的系數(shù)即可得第27頁/共33頁分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導, 得x x(2001考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解得因此第28頁/共33頁是由方程和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求解法解法1 分別在各方程兩端對 x 求導, 得(99考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共33頁對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 可得第30頁/共33頁解解:第31頁/共33頁德國數(shù)學家. 他在數(shù)學方面最主要的成就是和挪威數(shù)學家阿貝兒相互獨地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對行列式理論也作了奠基性的工