常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)教師

1、常用邏輯用語(yǔ)目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 理解命題的概念；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.2. 了解命題“若p,則q”的形式及其逆命題、否命題及逆否命題，分析四種命題相互關(guān)系.3. 理解必要條件、充分條件及充要條件的意義.4. 理解全稱量詞及存在量詞的意義；能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.重點(diǎn)：充分條件及必要條件的判定難點(diǎn)：根據(jù)命題關(guān)系或充分(或必要)條件進(jìn)行邏輯推理。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：命題1. 定義：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分構(gòu)成. 命題通常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.（2）命題有真假之

2、分，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題. 數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理等都是真命題（3）命題“”的真假判定方式： 若要判斷命題“”是一個(gè)真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時(shí)在推導(dǎo)時(shí)加上語(yǔ)氣詞“一定”能幫助判斷。如：一定推出. 若要判斷命題“”是一個(gè)假命題，只需要找到一個(gè)反例即可.注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命題.2. 邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.（1）不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題.（2）復(fù)合命題的構(gòu)成形式：p或q；p且q；非p（即命題p的否定）.（3）復(fù)合命題的真假判斷（利用真值表）：非真真假真真真假假真假

3、假真真真假假假真假假當(dāng)p、q同時(shí)為假時(shí)，“p或q”為假，其它情況時(shí)為真，可簡(jiǎn)稱為“一真必真”； 當(dāng)p、q同時(shí)為真時(shí)，“p且q”為真，其它情況時(shí)為假，可簡(jiǎn)稱為“一假必假”。 “非p”及p的真假相反.注意：（1）邏輯連結(jié)詞“或”的理解是難點(diǎn)，“或”有三層含義，以“p或q”為例：一是p成立且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立?？梢灶惐扔诩现小盎颉?（2）“或”、“且”聯(lián)結(jié)的命題的否定形式：“p或q”的否定是“p且q”； “p且q” 的否定是“p或q”.（3）對(duì)命題的否定只是否定命題的結(jié)論；否命題，既否定題設(shè)，又否定結(jié)論。知識(shí)點(diǎn)二：四種命題1. 四種命題的形式：用p和q分別表示原命

4、題的條件和結(jié)論，用p和q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式為：原命題：若p則q； 逆命題：若q則p；否命題：若p則q； 逆否命題：若q則p.2. 四種命題的關(guān)系原命題逆否命題.它們具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的依據(jù)和途徑之一.逆命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，具有相同的真假性，是命題轉(zhuǎn)化的另一依據(jù)和途徑.除、之外，四種命題中其它兩個(gè)命題的真?zhèn)螣o必然聯(lián)系.命題及集合之間可以建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，在這樣的對(duì)應(yīng)下，邏輯聯(lián)結(jié)詞和集合的運(yùn)算具有一致性，命題的“且”、“或”、“非”恰好分別對(duì)應(yīng)集合的“交”、“并”、“補(bǔ)”，因此，我們就可以從集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)有關(guān)這些邏輯聯(lián)結(jié)詞的規(guī)定。知識(shí)點(diǎn)三：充分條件及必

5、要條件1. 定義：對(duì)于“若p則q”形式的命題：從邏輯觀點(diǎn)上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在于區(qū)分命題的條件及結(jié)論之間的關(guān)系若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若且¹>，則是成立的必要不充分條件；若既有pq，又有qp，記作pq，則p 是q的充分必要條件（充要條件）.若¹>且¹>，則是成立的既不充分也不必要條件從集合的觀點(diǎn)上，關(guān)于充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件的判定在于判斷、相應(yīng)的集合關(guān)系建立

6、及、相應(yīng)的集合，即成立，成立若，則是的充分條件，若，則是成立的充分不必要條件；若，則是的必要條件，若，則是成立的必要不充分條件；若，則是成立的充要條件；若AB且BA，則是成立的既不充分也不必要條件2. 理解認(rèn)知：（1）在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪是條件，哪是結(jié)論；然后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論 推條件，最后進(jìn)行判斷.（2）充要條件即等價(jià)條件，也是完成命題轉(zhuǎn)化的理論依據(jù).“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“必須且只須”.“等價(jià)于”“反過來也成立”等均為充要條件的同義詞語(yǔ).3. 判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價(jià)法：由于原命題及它的逆否命題等價(jià)，否命題及逆命題等價(jià)，因此，如果原命

7、題及逆命題真假不好判斷時(shí)，還可以轉(zhuǎn)化為逆否命題及否命題來判斷即利用及；及；及的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否定式）的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.如圖：“”“，且”是的充分不必要條件.“”“”是的充分必要條件.知識(shí)點(diǎn)四：全稱量詞及存在量詞1. 全稱量詞及存在量詞全稱量詞及表示：表示全體的量詞稱為全稱量詞。表示形式為“所有”、“任意”、“每一個(gè)”等，通常用符號(hào)“”表示，讀作“對(duì)任意”。含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)

8、是關(guān)于x的命題.（II）存在量詞及表示：表示部分的量稱為存在量詞。表示形式為“有一個(gè)”，“存在一個(gè)”,“至少有一個(gè)”，“有點(diǎn)”,“有些”等，通常用符號(hào)“”表示，讀作“存在”。含有存在量詞的命題，叫做特稱命題特稱命題“存在M中的一個(gè)x，使p(x)成立”可表示為“”，其中M為給定的集合，p(x)是關(guān)于x的命題.2. 對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定（I）對(duì)含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定全稱命題p：，他的否定： 全稱命題的否定是特稱命題。（II）對(duì)含有一個(gè)量詞的特稱命題的否定 特稱命題p：，他的否定： 特稱命題的否定是全稱命題。注意：（1）命題的否定及命題的否命題是不同的.命題的否定只對(duì)命題的結(jié)論進(jìn)行否定

9、（否定一次），而命題的否命題則需要對(duì)命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定（否定二次）。（2）一些常見的詞的否定：正面詞等于大于小于是都是一定是至少一個(gè)至多一個(gè)否定詞不等于不大于不小于不是不都是一定不是一個(gè)也沒有至少兩個(gè)規(guī)律方法指導(dǎo)1. 解答命題及其真假判斷問題時(shí)，首先要理解命題及相關(guān)概念，特別是互為逆否命題的真 假性一致.2. 要注意區(qū)分命題的否定及否命題.3. 要注意邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”及集合中的“并”“交”“補(bǔ)”是相關(guān)的，將二者相互對(duì)照可加深認(rèn)識(shí)和理解.4. 處理充要條件問題時(shí)，首先必須分清條件和結(jié)論。對(duì)于充要條件的證明，必須證明充分性，又要證明必要性；判斷充要條件一般有三種方法：用集合的

10、觀點(diǎn)、用定義和利用命題的等價(jià)性；求充要條件的思路是：先求必要條件，再證明這個(gè)必要條件是充分條件.5. 特別重視數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的運(yùn)用?？偨Y(jié)升華：1. 判斷復(fù)合命題的真假的步驟： 確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式； 判斷其中簡(jiǎn)單命題p和q的真假； 根據(jù)規(guī)定（或真假表）判斷復(fù)合命題的真假.2. 條件“或”是“或”的關(guān)系，否定時(shí)要注意.類型二：四種命題及其關(guān)系2. 寫出命題“已知是實(shí)數(shù)，若ab=0，則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。解析：逆命題：已知是實(shí)數(shù)，若a=0或b=0, 則ab=0, 真命題； 否命題：已知是實(shí)數(shù)，若ab0，則a0且b0，真命題； 逆否命題：已知是實(shí)數(shù)

11、，若a0且b0，則ab0，真命題?？偨Y(jié)升華：1.“已知是實(shí)數(shù)”為命題的大前提，寫命題時(shí)不應(yīng)該忽略；2. 互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假；3. 注意區(qū)分命題的否定和否命題. 類型三：全稱命題及特稱命題真假的判斷總結(jié)升華：1. 要判斷一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定的集合M中每一個(gè)元素，驗(yàn)證成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)，使不成立可；2. 要判斷一個(gè)特稱命題的真假，依據(jù)：只要在限定集合M中，至少能找到一個(gè)，使成立，則這個(gè)特稱命題就是真命題，否則就是假命題.類型四：充要條件的判斷總結(jié)升華：1. 處理充分、必要條件問題時(shí)，首先要分清條件及結(jié)論；2. 正確使用判定充要條件的三種方法

12、，要重視等價(jià)關(guān)系轉(zhuǎn)換，特別是及關(guān)系.類型五：求參數(shù)的取值范圍總結(jié)升華：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個(gè)為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類討論總結(jié)升華：從認(rèn)知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉(zhuǎn)化，是解決這類問題的基本策略。類型六：證明總結(jié)升華：1. 利用反證法證明時(shí)，首先正確地作出反設(shè)（否定結(jié)論）.從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，從而假設(shè)不正確，原命題成立，反證法一般適宜結(jié)論本身以否定形式出現(xiàn)，或以“至多”、“至少”形式出現(xiàn)，或關(guān)于唯一性、存在性問題，或者結(jié)論的反面是比原命題更具體更容易研

13、究的命題.2. 反證法時(shí)對(duì)結(jié)論進(jìn)行的否定要正確，注意區(qū)別命題的否定及否命題總結(jié)升華：1. 對(duì)于充要條件的證明，既要證明充分性，又要證明必要性，所以必須分清條件是什么，結(jié)論是什么。2. 充分性：由條件結(jié)論；必要性：由結(jié)論條件.3.敘述方式的變化（比如是的充分不必要條件”等價(jià)于“的充分不必要要條件是”）.三、典型例題選講例1 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假（1）已知，為實(shí)數(shù)，若，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）兩條平行線不相交；（3）若，則，全為零分析：寫出一個(gè)命題的四種命題形式，關(guān)鍵是分清命題的條件及結(jié)論，把命題寫成“如果那么”的形式，再根據(jù)四種命題的定義寫出其他三種命題

14、即可解：（1）原命題是真命題；逆命題：若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，（假）；否命題：若，則沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（假）；逆否命題：若沒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，（真）（2）原命題形式可寫成：若兩條直線平行，則它們不相交，（真）；逆命題：若兩條直線不相交，則它們平行，（假）；否命題：若兩條直線不平行，則它們相交，（假）；逆否命題：若兩條直線相交，則它們不平行，（真）（3）原命題是真命題；逆命題：若，全為零，則，（真）；否命題：若，則，不全為零，（真）；逆否命題：若，不全為零，則，（真）歸納小結(jié)：(1)本題考查了命題的四種形式，并能進(jìn)行真假判斷，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)運(yùn)用的靈活性(2)要注意四種命題之間的等價(jià)

15、關(guān)系，即原命題及逆否命題等價(jià)，否命題及逆命題等價(jià)在判斷一個(gè)命題是真命題時(shí)，要嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行推理證明，而要說明它是假命題時(shí)，只需要舉出一個(gè)反例即可(3)在否定條件或結(jié)論時(shí)，要注意否定詞語(yǔ)的使用常見否定詞語(yǔ)有：正面詞語(yǔ)等于大于小于是都是至多有一個(gè)否定詞語(yǔ)不等于不大于不小于不是不都是至少有兩個(gè)正面詞語(yǔ)至少有一個(gè)任意的所有的一定否定詞語(yǔ)一個(gè)也沒有某個(gè)某些一定不例2 說明下列命題形式，指出構(gòu)成它們的簡(jiǎn)單命題：矩形的對(duì)角線垂直平分；不等式的解集是或；方程沒有實(shí)數(shù)根分析：根據(jù)命題中出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞或隱含的邏輯聯(lián)結(jié)詞，進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的判斷，其中解題的關(guān)鍵是正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”、“非”的含義解：

16、這個(gè)命題是“”的形式，其中：矩形的對(duì)角線互相垂直，：矩形的對(duì)角線互相平分這個(gè)命題是“”的形式，其中：不等式的解集是，：不等式的解集是或這個(gè)命題是“”的形式，其中：，：這個(gè)命題是“”的形式，其中：方程有實(shí)數(shù)根歸納小結(jié)：本題考查了含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題結(jié)構(gòu)，要求能正確理解邏輯聯(lián)結(jié)詞，并找出隱含的邏輯聯(lián)結(jié)詞，能根據(jù)命題形式分析問題、解決問題把簡(jiǎn)單命題合成為復(fù)合命題或把復(fù)合命題分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單命題并判斷其真假是本節(jié)的重點(diǎn)之一，關(guān)鍵在于理解邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義熟悉真值表可以加快對(duì)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”、“且”、“非”及日常用語(yǔ)中的“或”、“且”、“非”的意義是不完全相同的如邏輯詞中的

17、“或”含有可以兼有之意，而生活中的“或”一般不可兼有的意思例3（2019廣東）已知命題：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（）ABCD分析：本題只需要判斷出命題和命題的真假，根據(jù)真值表進(jìn)行判斷即可解：由題意可以判斷命題是真命題，命題是假命題，所以命題是假命題，命題是真命題只有是真命題，故選D歸納小結(jié)：（1）本題考查了命題的真假判斷和真值表的使用，考查了邏輯判斷的思辯能力和推理能力；（2）命題的真假判斷是“一真就真，全假為假”；命題的真假判斷是“一假就假，全真為真”；命題及的真假相反.例4（年北京）“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件

18、D既不充分也不必要條件分析：簡(jiǎn)易邏輯中充要條件的判斷前提是先明確條件及結(jié)論，即弄清楚哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論，再根據(jù)條件分析出推式的關(guān)系，從而利用定義和推式得到結(jié)論解：當(dāng)時(shí)，即反之，當(dāng)時(shí)，有，或，即¹>綜上所述，“”是“”的充分不必要條件，故選A例5（2019福建)設(shè)集合,那么“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件分析：本題條件及結(jié)論的形式都是集合形式，只要理清集合之間的關(guān)系，按照充要條件及集合的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可作出判斷解：，故選A歸納小結(jié)：（1）本題考查了充要條件的定義，這是高考試題題型的常見形式之一，可及其他考查內(nèi)容綜合同時(shí)還考查了數(shù)

19、學(xué)轉(zhuǎn)化思想、合情推理能力（2）充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件、既不充分也不必要條件反映了條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：確定問題的條件和結(jié)論；嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；確定條件是結(jié)論的什么條件也可以從命題體現(xiàn)的集合運(yùn)算關(guān)系，判斷出命題間的條件在從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件時(shí)，可以利用學(xué)過的定理、定義和公式直接做邏輯判斷，或利用數(shù)軸或Venn圖分析兩個(gè)集合的關(guān)系判斷出“”和“”的真假例6（2019湖北）已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件現(xiàn)有下列命題：是的充要條件；是的充分條件而不是必要條件；是的必要條件而不是

20、充分條件；的必要條件而不是充分條件；是的充分條件而不是必要條件，則正確命題序號(hào)是（ ）A. B. C. D.分析：本題命題及其關(guān)系較多，如果直接解決則比較麻煩，可以用符號(hào)“”、“”等符號(hào)表示，簡(jiǎn)化題意，解決方便解：由題意可知：，且¹>，所以，正確；，且¹>，正確；，不正確；，且¹>，正確；，不正確故選B歸納小結(jié)：（1）本題考查了充分條件、必要條件、充要條件的概念及命題之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，逆否命題的等價(jià)性，考查了邏輯思辯能力和轉(zhuǎn)化思想（2）在命題之間的充分條件、必要條件、充要條件的推導(dǎo)過程中，使用符號(hào)語(yǔ)言可以簡(jiǎn)化過程，降低思維量例7 已知命題：，命題：

21、，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為等價(jià)命題形式：是的充分不必要條件，利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件及結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，從而求出的取值范圍解：記，是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，即.，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是歸納小結(jié)：(1)本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用的靈活性(2)對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，在判斷或利用兩個(gè)命題的充要條件時(shí)，可以利用它們的等價(jià)式，即將命題轉(zhuǎn)化

22、為另一個(gè)等價(jià)形式的命題，一般可以利用逆否命題的等價(jià)形式：若，即，則是的必要條件，是的充分條件；若，且¹>，即，且¹>，則是的必要不充分條件；若，且¹>，即，且¹>，則是的充分不必要條件；若，則，即、互為充要條件；若¹>，且¹>，即¹>，且¹>，則是的既不充分也不必要條件例8（年海南、寧夏）有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：其中是假命題的有（ ）A， B， C， D，分析：若全稱命題為真命題，必須對(duì)限定范圍內(nèi)的元素中的全體都成立；若特稱命題是真命題，只需在限定范圍中有一個(gè)元素滿

23、足條件即可解：是假命題，因?yàn)椋?；是真命題，如時(shí)成立；是真命題，.；是假命題，如，時(shí)，但故選A歸納小結(jié)：（1）本題考查了全稱命題及特稱命題的真假判斷，同時(shí)也考查了對(duì)概念的轉(zhuǎn)化能力和推理能力（2）一般地說，全稱命題及特稱命題的真假判斷方法是：判定一個(gè)全稱命題是真命題時(shí)，必須對(duì)限定的集合中的每一個(gè)元素，驗(yàn)證成立即可；判定一個(gè)全稱命題是假命題時(shí)，只要能列舉出集合中的一個(gè)元素，使不成立即可；判定一個(gè)特稱命題是真命題時(shí)，只要在限定的集合中，至少能找到一個(gè)元素，使成立即可，否則，這個(gè)特稱命題就是假命題例9（2019寧夏）已知命題：，則（ ）A. B.C. D.分析：對(duì)全稱（特稱）命題的否定是將其全稱（存在）量詞改為存在（全稱）量詞，再將結(jié)論否定解：將變?yōu)?，同時(shí)否定，可以