數(shù)列知識點總結(jié)及題型歸納

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作，在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項，序號為 的項叫第項（也叫通項）記作；數(shù)列的一般形式：，簡記作 。（2）通項公式的定義：如果數(shù)列的第n項及n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，說明：表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項，= 表示數(shù)列的通項公式； 同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一。例如，= =；不是每個數(shù)列都有通項公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，（3）數(shù)列的函數(shù)特征及圖象表示：從函數(shù)觀點看，

2、數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當自變量從1開始依次取值時對應的一系列函數(shù)值，通常用來代替，其圖象是一群孤立點。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項及項之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）數(shù)列的前項和及通項的關(guān)系：二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項及它的前一項的差等于

3、同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或例：等差數(shù)列，(二)、等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列中，等于（ ）A15 B30 C31 D642.是首項，公差的等差數(shù)列，如果，則序號等于（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 3.等差數(shù)列，則為為（填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）(三)、等差中項的概念：定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做及的等差中項。其中，成等差數(shù)列 即： （）例：1（06全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 （ ）

4、A BC D(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；(五)、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列 )遞推公式： 例：1.如果等差數(shù)列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）352.（2009湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，已知，則等于( )A13 B35 C49 D 63 3.（2009全國卷理） 設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則=4.若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146，且所有項的和為390，則這個數(shù)

5、列有（ ）A.13項B.12項C.11項D.10項5.已知等差數(shù)列的前項和為，若6.（2009全國卷理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則7.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項的和，則其公差等于( ) C. D.8.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則9（00全國）設(shè)an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S77，S1575，Tn為數(shù)列的前n項和，求Tn。(六).對于一個等差數(shù)列：（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則偶奇； ；（2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則奇偶；。 1.一個等差數(shù)列共2019項，求它的奇數(shù)項和及偶數(shù)項和之比_2.一個等差數(shù)列前20項和為75，其中奇數(shù)項和及偶數(shù)項和之比1：

6、2，求公差d3.一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和是15，奇數(shù)項之和是，則它的首項及公差分別是_(七).對及一個等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一個等差數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為。3已知等差數(shù)列的前10項和為100，前100項和為10，則前110項和為4.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，=5（06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則ABCD(八)判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：定義法：是等差數(shù)列中項法：是等差數(shù)列通項公式法：是等差數(shù)列前項

7、和公式法：是等差數(shù)列例：1.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷 2.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷4.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷5.已知一個數(shù)列滿足，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷6.數(shù)列滿足

8、=8， （）求數(shù)列的通項公式；7（01天津理，2）設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn=n2，則an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列(九).數(shù)列最值（1），時，有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（）；或者求出中的正、負分界項，即：若已知，則最值時的值（）可如下確定或。 例：1等差數(shù)列中，則前項的和最大。 2設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知求出公差的范圍，指出中哪一個值最大，并說明理由。3（02上海）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和

9、，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6及S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。（1）數(shù)列從哪一項開始小于0？（2）求數(shù)列前項和的最大值，并求出對應的值(十).利用求通項1.數(shù)列的前項和（1）試寫出數(shù)列的前5項；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫出數(shù)列的通項公式嗎？2.設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=2n2，求數(shù)列的通項公式；3.（2019安徽文）設(shè)數(shù)列的前n項和，則的值為（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）644、2019北京卷）數(shù)列an的前n項和為S

10、n，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項及它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：(一)、遞推關(guān)系及通項公式1 在等比數(shù)列中,，則2 在等比數(shù)列中,則3.（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為（ ）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中，則=5.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項，前三項和為21，則（ ）A 33 B 72 C 84 D 189(二)、等比中項：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱為的等比中項，且

11、為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：1.和的等比中項為( )2.（2009重慶卷文）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=（ ） A B CD(三)、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1.（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應項成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列.例：1在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根,則( )2. 在等比數(shù)列，已知，則=3.等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且（ ） A12 B10 C8 D2+4.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當時， （ ） A. B. C. D. (四)、等比數(shù)列的前n項和，例：1.已知等比數(shù)列的首相，公比，則其

12、前n項和2（2019年北京卷）設(shè)，則等于（ ）ABCD3（1996全國文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q； (五). 等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，那么，成等比數(shù)列.例：1.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 的前n 項和為，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.32.一個等比數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前3項的和為（ ）A83 B108 C75 D633.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且(六)、等比數(shù)列的判定法（1）定義法：為等比數(shù)列；（2）中項法：為等比數(shù)列； （3）通項公式法：為等比數(shù)列； （4）前項和法：為等比數(shù)

13、列。 為等比數(shù)列。例：1.已知數(shù)列的通項為，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為 （ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無法判斷四、求數(shù)列通項公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知等差數(shù)列滿足：， 求；2.等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，求數(shù)列的通項公式3.已知數(shù)列滿足 （），求數(shù)列的通項公式；4. 已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式

14、；5.數(shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式=（2）累加法1、累加法 適用于：若，則 兩邊分別相加得 例：1.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。2. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。3. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。（3）累乘法適用于： 若，則兩邊分別相乘得，例：1. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。2. 已知數(shù)列滿足，求。3.已知，求。（4） 待定系數(shù)法 適用于例：1.已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。2. （2019，重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項_3.已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式；（5）遞推公式中既有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應的方法求解。1. （2019北京卷）數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項公式2.（2019山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為，且，證明數(shù)列是等比數(shù)列(6)取倒數(shù)法。五、數(shù)列求和1直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。公比含字母時一定要討論2錯位相減法求和：如：例：1求和2.求和：3裂項相消法求和：把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項：數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項和例：1.數(shù)列的前項和為，若，則等于（）A1 B C D2.已知數(shù)列的通項公式為