高中數(shù)學(xué)典型例題解析：第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、1第二章第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2.12.1映射、函數(shù)、反函數(shù)映射、函數(shù)、反函數(shù)一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.映射：一般地，設(shè) A、B 兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 ，對于集合 A 中的任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做集合 A 到集合 B 的映射，記作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的對應(yīng)法則)2.函數(shù)： 設(shè) A，B 都是非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合 A 中每一個元素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，且 B 中每一個元素都的原象，這樣的對應(yīng)叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)，記作 (

2、)yf x.其中所有的輸入值x組成的集合 A 稱為函數(shù)( )yf x定義域.對于 A 中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)(xA)的值域是 C，根據(jù)這個函數(shù)中 x,y 的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x=f-1(y). 若對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x 在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù) y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y). 我們一般用 x 表示自變量，用 y 表示函數(shù)，為此我們常常對

3、調(diào)函數(shù) x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改寫成 y=f-1(x) 反函數(shù) y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù) y=f(x)的值域、定義域.二、疑難知二、疑難知識導(dǎo)析識導(dǎo)析1.對映射概念的認(rèn)識(1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的，(2) 輸出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到對應(yīng)的輸入值.集合 A 中每一個輸入值，在集合 B 中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合 B 中有剩留元素；允許多對一，不允許一對多.(3)集合 A，B 可以是數(shù)集，也可以是點集或其它類型的集合. 2.對函數(shù)概念的認(rèn)識（1）對函數(shù)符號 ( )f

4、x的理解知道 y=( )f x與 ( )f x的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量，( )f x是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對應(yīng). (2)注意定義中的集合 A，B 都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合；2（3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法.3.對反函數(shù)概念的認(rèn)識（1）函數(shù)y=( )f x只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來求，而應(yīng)該通過原函數(shù)的值域而得.（3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于 y=x 對稱.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例

5、例 11設(shè) Ma，b，c，N2,0,2,求（1）從 M 到 N 的映射種數(shù)；（2）從 M 到 N 的映射滿足 f(a)f(b)f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù).錯解錯解：（1）由于 Ma，b，c，N2,0,2，結(jié)合映射的概念，有 2200220 ,2 ,2 ,2,0 ,2222220aaaaaabbbbbbcccccc ，共 6 個映射 (2)由（1）得滿足條件的映射僅有202abc 一種情況錯因錯因：沒有找全滿足條件的映射個數(shù)，關(guān)健是對概念認(rèn)識不清正解正解：（1）由于 Ma，b，c，N2,0,2，結(jié)合映射的概念，有一共有 27 個映射（2）符合條件的映射共有 4 個0222,2,2,0 ,

6、0,2220aaaabbbbcccc 例例 22已知函數(shù)( )f x的定義域為0，1，求函數(shù)(1)f x 的定義域錯解錯解：由于函數(shù)( )f x的定義域為0，1，即01x，112x (1)f x 的定義域是1，2錯因錯因：對函數(shù)定義域理解不透，不明白( )f x與( ( )f u x定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實在這里只要明白：( )f x中x取值的范圍與( ( )f u x中式子( )u x的取值范圍一致就好了.正解正解：由于函數(shù)( )f x的定義域為0，1，即01x(1)f x 滿足011x 10 x ，(1)f x 的定義域是1，0 例例 33已知：*,xN5(6)( )(2)(6)xxf

7、 xf xx，求(3)f.3錯解錯解： 5(6)( )(2)(6)xxf xf xx，(2)(2)53f xxx故5(6)( )3(6)xxf xxx，(3)f330.錯因錯因：沒有理解分段函數(shù)的意義，(3)f的自變量是 3，應(yīng)代入(2)f x 中去，而不是代入x5 中，只有將自變量化為不小于 6 的數(shù)才能代入解析式求解.正解正解： 5(6)( )(2)(6)xxf xf xx，(3)f(32)(5)ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函數(shù)是1( )fx，如果( )f x與1( )fx的圖像有交點，那么交點必在直線yx上，判斷此命題是否正確？ 錯解錯解：正確錯因錯因：

8、對互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx對稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù)1161()log16xyyx與的圖像的交點中，點1 11 1( , ),2 44 2（，）不在直線yx上，由此可以說明說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點必在直線yx上”是不正確的. 例例 55求函數(shù)2( )46yf xxx，1,5)x的值域.錯解錯解：22(1)14 163,(5)545611ff 又1,5)x，( )f x的值域是311，錯因錯因: :對函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個 x 值都有唯一的 y 值與之對應(yīng)，錯誤地理解為 x的兩端點時函數(shù)值就是 y 的取值范圍了.正解正解：配方，得22( )46(2)2yf xxxx1,5)x

9、，對稱軸是2x 當(dāng)2x 時，函數(shù)取最小值為(2)f2，( )(5)11f xf( )f x的值域是211， 例例 66已知( )34f xx，求函數(shù)1(1)fx的解析式.錯解錯解：由已知得(1)3(1)437f xxx437,yx即73yx，1(1)fx73x 錯因錯因：將函數(shù)1(1)fx錯誤地認(rèn)為是(1)f x 的反函數(shù)，是由于對函數(shù)表達(dá)式理解不透徹所致，實際上(1)f x 與1(1)fx并不是互為反函數(shù)，一般地應(yīng)該由( )f x先求1( )fx，再去得到1(1)fx.正解正解：因為( )34f xx的反函數(shù)為1( )fx43x ，所以1(1)fx(1)4333xx113x 例例 77根據(jù)條

10、件求下列各函數(shù)的解析式：（1）已知( )f x是二次函數(shù)，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求( )f x.（2）已知(1)2fxxx，求( )f x（3）若( )f x滿足1( )2 ( ),f xfaxx求( )f x解解：（1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解設(shè)( )f x2(0)axbxca由于(0)0f得2( )f xaxbx，又由(1)( )1f xf xx，22(1)(1)1a xb xaxbxx即22(2)(1)1axab xabaxbx211021abbaabab因此：( )f x21122xx(2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解設(shè)22( )(

11、1)2(1)1(1)f uuuuu( )f x21x （1x ）（3）由于( )f x為抽象函數(shù)，可以用消參法求解用1x代x可得：11( )2 ( ),ff xaxx與1( )2 ( )f xfaxx聯(lián)列可消去1( )fx得：( )f x233aaxx.1(0),1(1)uxxxuu5點評點評：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)( )f x的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知 ( )f g x表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 例例 88 已知xyx62322，試求22yx 的最大值.分析分析：要求22yx 的最大值，由已知條件很快將22yx 變?yōu)橐辉魏?/p>

12、數(shù),29)3(21)(2xxf然后求極值點的x值，聯(lián)系到02y，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值.解 由 xyx62322得. 20, 0323, 0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)2x時，22yx 有最大值，最大值為. 429)32(212點評點評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下：由 xyx62322得 ,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)3x時，22yx 取最大值，最大值為29這種解法由于忽略了02y這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤.因此，要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點，而且還

13、能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題. 例例 99設(shè)( )f x是 R 上的函數(shù)，且滿足(0)1,f并且對任意的實數(shù), x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表達(dá)式.解法一解法一：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，設(shè)xy，得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x21xx解法二解法二：令0 x ，得(0)(0)(1)fyfyy 6即()1(1)fyyy 又將y用x代換到上式中得( )f x21xx點評點評：所給函數(shù)中含有兩個變量時，可對這兩個變

14、量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定.四、典型習(xí)題導(dǎo)練四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 已知函數(shù) f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的個數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 22.對函數(shù)baxxxf23)(作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是( )A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost3.方程f(x,y)=0 的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲線是 ( )4.函數(shù) f(x)的最小值為19i

15、1|xn|A190 B.171 C.90 D.455. 若函數(shù)f(x)=34 xmx(x43)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( )A.3B.23C.23D.36.已知函數(shù)( )f x滿足：()( )( )f abf af b，(1)2f，則2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff .7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=)1(12xxaa (其中a0,a1,x0),求f(x)的表達(dá)式.ABCD78.已知函數(shù)( )f x是函數(shù)21101xy （xR）的反函數(shù)，函數(shù)( )g x的圖像與函數(shù)431xyx的圖像關(guān)于直線 yx1

16、 成軸對稱圖形，記( )F x( )f x+( )g x.（1）求函數(shù) F（x）的解析式及定義域；（2）試問在函數(shù) F（x）的圖像上是否存在兩個不同的點 A、B，使直線 AB 恰好與 y 軸垂直？若存在，求出 A、B 兩點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2.22.2 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.函數(shù)的單調(diào)性：（1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域為 I，如果定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時，都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).（2）減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域為 I，如果定義域 I

17、 內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時,都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).（3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如 y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) f(x)在這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的奇偶性：（1）奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù).（2）一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù).（3）如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那

18、么就說 f(x)具有奇偶性.3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個值 x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到平面內(nèi)的一個點（x0,f(x0)），當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值時，就得到一系列這樣的點，所有這些點的集合（點集）組成的圖形就是函數(shù) y=f(x)的圖像.二、疑難知識導(dǎo)析二、疑難知識導(dǎo)析1. 對函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個子區(qū)間上來討論，函數(shù) y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.2.對函數(shù)奇偶

19、性定義的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖像的特殊的對稱性的反映.這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求.3. 用列表描點法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點，就無法了解

20、函數(shù)圖像的特點，如二次函數(shù)圖像是拋物線，如果不知道拋物線的頂點坐標(biāo)和存在著對稱軸，盲目地列表描點是很難將圖像的特征描繪出來的.8三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11判斷函數(shù)1( )3xy的單調(diào)性.錯解錯解：1101,( )33xy 是減函數(shù)錯因錯因：概念不清，導(dǎo)致判斷錯誤.這是一個復(fù)合函數(shù)，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間），仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化.當(dāng)然這個函數(shù)可化為3xy ，從而可判斷出其單調(diào)性.正解正解：令tx ，則該函數(shù)在 R 上是減函數(shù)，又1101,( )33ty 在 R 上是減函數(shù)，1( )3xy是增函數(shù) 例例 22判斷函

21、數(shù)1( )(1)1xf xxx的奇偶性.錯解錯解：1( )(1)1xf xxx221(1)11xxxx22()1()1( )fxxxf x 1( )(1)1xf xxx是偶函數(shù)錯因錯因：對函數(shù)奇偶性定義實質(zhì)理解不全面.對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.正解正解：1( )(1)1xf xxx有意義時必須滿足10111xxx 即函數(shù)的定義域是x11x ，由于定義域不關(guān)于原點對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例 3 判斷22( )log (1)f xxx的奇偶性.錯解錯解：)1(log)1

22、)(log)(2222xxxxxf )()(xfxf且)()(xfxf所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)錯因錯因：對數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中 f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改為研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立.正解正解：方法一：)1(log)1)(log)(2222xxxxxf911log22xx)1(log22xx)(xf)(xf是奇函數(shù)方法二：)1(log)1(log)()(2222xxxxxfxf01log)1()1(log2222xxxx)()(xfxf)(xf是奇函數(shù) 例例 44函數(shù) y=245xx

23、的單調(diào)增區(qū)間是_.錯解錯解：因為函數(shù)2( )54g xxx的對稱軸是2x ，圖像是拋物線，開口向下，由圖可知2( )54g xxx在(, 2 上是增函數(shù)，所以 y=245xx 的增區(qū)間是(, 2 錯因錯因：在求單調(diào)性的過程中注意到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究方法，但沒有考慮到函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導(dǎo)致了解題的錯誤.正解正解：y=245xx 的定義域是 5,1，又2( )54g xxx在區(qū)間 5, 2上增函數(shù)，在區(qū)間 2,1是減函數(shù)，所以 y=245xx 的增區(qū)間是 5, 2 例例 55 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+

24、f(x23)0,求x的取值范圍.錯解錯解：f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60解得x2 或x3又 f(x)是定義在(3，3)上的函數(shù)，所以 2x3錯因錯因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域.正解正解：由66603333332xxxx得,故 0 x6,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2 或x3,綜上得 2x6,即A=x|2x6, 例例 66 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2)|lg |10 xy .10分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價變形.在變

25、換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.解：(1)當(dāng) x2 時，即 x-20 時，當(dāng) x2 時，即 x-20 時，所以)2(49)21()2(49)21(22xxxxy這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖)(2)當(dāng) x1 時，lgx0，y=10lgx=x；當(dāng) 0 x1 時，lgx0，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖)點評：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意 x，y 的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像

26、. 例例 77若 f(x)= 21xax在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍解解：設(shè)12121212112,()()22axaxxxf xf xxx 1112211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxax xaxxax xaxxxxaxxaxxaxxxxxx由f(x)=21xax在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得12()()0f xf x210a a21 點評點評：有關(guān)于單調(diào)性的問題，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時，回到單調(diào)性的定義上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一

27、村”的感覺. 例例 88 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f(21)=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0 x1 時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減解解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令 0 x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f(21121xxxx)0 x1x20,1x1x20，

28、21121xxxx0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,012121xxxx1,由題意知f(21121xxxx)0，即f(x2)21時，f(x)0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗證.7.已知函數(shù)y=f(x)=cbxax12 (a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時，f(x)有最小值 2，其中bN 且f(1)25.(1)試求函數(shù)f(x)的解析式；(2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關(guān)于點(1，0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2.32.3基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)一、知識導(dǎo)學(xué)一

29、、知識導(dǎo)學(xué)1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).（1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式2( )(0)f xaxbxca二次函數(shù)的頂點式2( )()(0)f xa xmna和13二次函數(shù)的坐標(biāo)式12( )()()(0)f xa xxxxa（2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.2( )(0)f xaxbxca，當(dāng)240bac 時圖像與 x 軸有兩個交點.M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|=|a.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點或二次函

30、數(shù)的頂點處取得.2.指數(shù)函數(shù)xya(0,1)aa和對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa的概念和性質(zhì).（1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則：mnm naaa；()mnmnaa；()nnnaba b（這時 m,n 是有理數(shù)）對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式. log ()loglog;logloglogaaaaaaMM NMNMNN1loglog;loglognnaaaaMnMMMn；logloglogcacbba （2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點.對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點.指數(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在 x 軸上方，當(dāng) a1 時，圖像越接近 y 軸，底數(shù) a 越大；當(dāng) 0a1 時，圖像越接近 x 軸

31、，底數(shù) a 越大; 當(dāng) 0a1 時，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越小.3.冪函數(shù)yx的概念、圖像和性質(zhì).結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x3,y=12,yxyx,y=12x的圖像，了解它們的變化情況.0 時，圖像都過（0,0）、（1,1）點，在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)；注意1 與 01 時，指數(shù)大的圖像在上方.二、疑難知識導(dǎo)析二、疑難知識導(dǎo)析 1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對稱軸的右側(cè)；（2）定義域區(qū)間在對稱軸的左側(cè)；（3）對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi)2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意

32、公式正確使用.會用語言準(zhǔn)確敘述這些14運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯誤：（1）式子nnaa，（2）log ()loglog;log ()loglogaaaaaaMNMNM NMN3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值.4.函數(shù)( )f xya的研究方法一般是先研究( )f x的性質(zhì)，再由a的情況討論( )f xya的性質(zhì).5.對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa與指數(shù)函數(shù)xya(0,1)aa互為反函數(shù)，會將指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)化.6.冪函數(shù)yx的性質(zhì)，要注意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響.（1）當(dāng)奇奇時，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當(dāng)奇偶時，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當(dāng)偶奇時，定義域不關(guān)于原點對稱，冪函數(shù)為

33、非奇非偶函數(shù).三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11已知18log 9,185,ba求36log45錯解錯解：185,b18log 5b1818183618181818log45log 5log 9log45log 36log4log 9log4baa錯因錯因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.正解正解：185,b18log 5b1818183621818181818log45log 5log 9log451818log 36log4log 92log ()2log ()99bababaaaa 例例 22分析方程2( )0f xaxbxc（0a ）的兩個根都大于 1 的充要條件.錯解錯解：由

34、于方程2( )0f xaxbxc（0a ）對應(yīng)的二次函數(shù)為2( )f xaxbxc的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo)都大于 1 即可.15故需滿足(1)012fba，所以充要條件是(1)012fba錯因錯因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與 x 軸交點坐標(biāo)要大于 1，卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點才行，即滿足0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.正解正解：充要條件是2(1)01240fbabac 例例 33求函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)區(qū)間.錯解錯解：令6xt，則3612 65xxy 2125tt 當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)，當(dāng)

35、t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù)函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,)錯因錯因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.正解正解：令6xt，則6xt 為增函數(shù)，3612 65xxy 2125tt 2(6)41t 當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)，當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù)函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,) 例例 44已知)2(logaxya在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是錯解錯解：)2(logaxya是由uyalog，axu 2復(fù)合而成，又a0axu 2在0，1

36、上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知uyalog應(yīng)為增函數(shù)，a1錯因錯因：錯因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在0，1上有意義.正解正解：)2(logaxya是由uyalog，axu 2復(fù)合而成，又a0axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知uyalog應(yīng)為增函數(shù)，a1又由于x 在0，1上時 )2(logaxya有意義，axu 2又是減函數(shù)，x1 時，16axu 2取最小值是au 2min0 即可，a2綜上可知所求的取值范圍是 1a2 例例 55已知函數(shù)( )log (3)af xax.（1）當(dāng)0,2x時( )

37、f x恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍.（2）是否存在這樣的實數(shù)a使得函數(shù)( )f x在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1，如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.分析分析：函數(shù)( )f x為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時一般先假設(shè)存在后再證明.解：解：（1）由假設(shè)，ax30，對一切0,2x恒成立，0,1aa顯然，函數(shù) g(x)= ax3在0，2上為減函數(shù)，從而 g(2)32a0 得到a32a的取值范圍是（0，1）（1，32）(2)假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，由題設(shè)知(1)1f，即(1)log (3)afa1a32此時3( )log

38、 (3)2af xx當(dāng)2x 時，( )f x沒有意義，故這樣的實數(shù)不存在.點評點評：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決. 例例 66已知函數(shù)f(x)=1421lg2aaaxx, 其中a為常數(shù)，若當(dāng)x(, 1時, f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍.分析分析：參數(shù)深含在一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a(bǔ)分離出來，重新認(rèn)識a與其它變元(x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，常可使原

39、問題“柳暗花明”.解：14212aaaxx0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0, a)2141(xx,當(dāng)x(, 1時, y=x41與y=x21都是減函數(shù)， y=)2141(xx在(, 1上是增函數(shù)，)2141(xxmax=43,17 a43, 故a的取值范圍是(43, +). 點評：點評：發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=)2141(xx的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法. 例例 77

40、若1133(1)(32 )aa，試求a的取值范圍.解解：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，根據(jù)1a 和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系10320.132aaaa 10320.132aaaa 10.320aa 解三個不等式組：得23a32，無解，a1a的取值范圍是（，1）（23，32）點評點評：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為132aa ，從而導(dǎo)致解題錯誤. 例例 88 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 12aa (x x1 ) (1)求 f(x)； (2)判斷 f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (3)對于 f(x) ,當(dāng) x (1 , 1)時

41、, 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m 的集合 M .分析分析：先用換元法求出 f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問.解：(1)令 t=logax(tR)，則).(),(1)(),(1)(,22Rxaaaaxfaaaatfaxxxttt, 101,.)(,10,)(, 01,1.)(,),()(1)()2(22aaxfaaaxuaaaxfRxxfaaaaxfxxxx或無論綜上為增函數(shù)類似可判斷時當(dāng)為增函數(shù)時當(dāng)為奇函數(shù)且f(x)在 R 上都是增函數(shù).) 1 , 1().1()1 (,)(, 0)1 ()1 () 3(22xmfm

42、fRxfmfmf又上是增函數(shù)是奇函數(shù)且在. 211111111122mmmmm點評點評：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對字母進(jìn)行討論.對本例的不需要代入 f（x）的表達(dá)18式可求出 m 的取值范圍，請同學(xué)們細(xì)心體會.四、典型習(xí)題導(dǎo)練四、典型習(xí)題導(dǎo)練1. 函數(shù)bxaxf)(的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.0, 1baB.0, 1baC.0, 10baD.0, 10ba2、已知 2lg(x2y)=lgx+lgy,則yx的值為（ ） A.1 B.4 C.1 或 4 D.4 或 8 3、方程2) 1(log2xxa (0a1)的解的個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.34、

43、函數(shù) f(x)與 g(x)=(21)x的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱,則 f(4x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ） A., 0 B.0 , C.2 , 0 D.0 , 25、圖中曲線是冪函數(shù) yxn在第一象限的圖像，已知 n 可取2，12四個值,則相應(yīng)于曲線 c1、c2、c3、c4的 n 依次為( )A.2，12，12，2 B2，12，12，2C. 12，2,2，12 D. 2，12，2, 126. 求函數(shù) y = log 2 (x2 5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間.7. 若 x 滿足03log14)(log24221xx ,求 f(x)=2log2log22xx最大值和最小值.8.已知定義在

44、R 上的函數(shù)( )2,2xxaf x a為常數(shù)（1）如果( )f x()fx，求a的值；（2）當(dāng)( )f x滿足（1）時，用單調(diào)性定義討論( )f x的單調(diào)性.2.42.4函數(shù)與方程函數(shù)與方程一、知識導(dǎo)學(xué)1.函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系：一般地，對于函數(shù)( )yf x（xD）我們稱方程( )0f x 的實數(shù)根x也叫做函數(shù)的零點，即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根19的個數(shù)就是求函數(shù)( )( )yf xg x的零點.2.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系：一般地，函數(shù)( )yf x（xD）的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)就是( )0f x 的根.綜合方程f(x)=g(

45、x)的根，就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點或交點個數(shù)，或求方程( )( )yf xg x的圖像與x軸交點的橫坐標(biāo).3.判斷一個函數(shù)是否有零點的方法：如果函數(shù)( )yf x在區(qū)間a,b上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，即至少存在一個數(shù)( , )ca b使得( )0f c ，這個 c 也就是方程( )0f x 的一個根.對于我們學(xué)習(xí)的簡單函數(shù)，可以借助( )yf x圖像判斷解的個數(shù)，或者把( )f x寫成( )( )g xh x，然后借助( )yg x、( )yh x的圖像的交點去判斷函數(shù)( )f x的

46、零點情況.4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系：二次函數(shù)2yaxbxc的零點，就是二次方程20axbxc的根，也是二次函數(shù)2yaxbxc的圖像與 x 軸交點的橫坐標(biāo).5. 二分法：對于區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷，且( )( )0f af b的函數(shù)( )yf x，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.二、疑難知識導(dǎo)析1.關(guān)于函數(shù)( )( )yf xg x的零點，就是方程( )( )f xg x的實數(shù)根，也就是( )yf x與函數(shù)( )yg x圖像的交點的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運(yùn)用.2.如果二次函數(shù)2( )

47、yf xaxbxc，在閉區(qū)間m,n上滿足( )( )0f mf n，那么方程20axbxc在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的1( , )xm n，使1()0f x，方程20axbxc另一解2(,)( ,)xmn .3. 二次方程20axbxc的根在某一區(qū)間時，滿足的條件應(yīng)據(jù)具體情形而定.如二次方程( )f x20axbxc的根都在區(qū)間( , )m n時20應(yīng)滿足：02( )0( )0bmnaf mf n 4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是（1）取一個區(qū)間（, a b）使( )( )0f af b（2）取區(qū)間的中點，02abx（3）計算0()f x，若0()0f x，則0 x就是(

48、)0f x 的解，計算終止；若0( )()0f af x，則解位于區(qū)間（0,a x）中，令110,aa bx；若0()( )0f xf b則解位于區(qū)間（0,x b）令101,ax bb（4）取區(qū)間是（11,a b）的中點，1112abx重服第二步、第三驟直到第 n 步，方程的解總位于區(qū)間（,nna b）內(nèi)（5）當(dāng),nna b精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11已知函數(shù)2( )3f xxaxa 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立，求a的取值范圍.錯解錯解：（一）( )0f x 恒成立，24(3)aa0 恒成立解得a的取值范圍為62a 錯

49、解錯解：（二）2( )3f xxaxa 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立( 2)0(2)0ff即22( 2)2302230aaaa 解得a的取值范圍為773a 錯因錯因：對二次函數(shù)( )f x2axbxc當(dāng)xR上( )f x0 恒成立時，0片面理解為，2axbxc0， 2,2x 恒成立時，0 ；或者理解為( 2)0(2)0ff這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導(dǎo)致的錯誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對對稱軸進(jìn)行分類討論；“軸定區(qū)間變”要對區(qū)間進(jìn)行討論.21正解正解：設(shè)( )f x的最小值為( )g a（1）當(dāng)22a 即a4 時，( )g a( 2)f 73a0，得73a 故此時a不

50、存在；(2) 當(dāng) 2,22a 即4a4 時，( )g a3a24a0，得6a2又4a4，故4a2；（3）22a即a4 時，( )g a(2)f7a0，得a7，又a4故7a4綜上，得7a2 例例 22已知210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍.錯解錯解：設(shè)2( )1f xmxx210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)(0)(1)0ff得m2錯因錯因：對于一般( )f x，若( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點，但不一定唯一.對于二次函數(shù)( )f x，若( )( )0f af b則在區(qū)間（a,b）上存在唯一的零點，一次函數(shù)有

51、同樣的結(jié)論成立.但方程( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時，不僅是( )( )0f af b，也有可能( )( )0f af b.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時，就是這種情況.由圖可知( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，但是( )( )0f af b正解正解：設(shè)2( )1f xmxx，（1）當(dāng)m0 時方程的根為1，不滿足條件.（2）當(dāng)m0210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)又(0)f10有兩種可能情形(1)0f得m2或者1(1)02fm且00 即)(xfx )1)()1)()()()(2121111axxxaxaxxxxFxxxFxxxfx021xxxa1.01

52、 , 021axxx0)(1xfx綜合得1)(xxfx（2）依題意知abx20，又abxx121aaxaxaxxaabx2121)(221210, 012ax22110 xaaxx點評點評：解決本題的關(guān)健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表達(dá)式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，此直線為二次函26數(shù)的對稱軸，即abx20 例例 88 已知函數(shù)0) 1 (),1(2)(2fbccbxxxf，且方程01)(xf有實根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若 m 是方程01)(xf的一個實根，判斷)4(mf的正負(fù)并加以證明分析：（1）題中條件涉及不等

53、關(guān)系的有1 bc和方程01)(xf有實根.及一個等式0) 1 (f，通過適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷)4(mf的符號，因而只要研究出4m值的范圍即可定出)4(mf符號.(1)證明：由0) 1 (f，得 1+2b+c=0,解得21cb，又1 bc，1cc21解得313c，又由于方程01)(xf有實根，即0122cbxx有實根，故0) 1(442cb即0) 1(4) 1(2cc解得3c或1c13c，由21cb，得b0.（2）cbxxxf2)(2=) 1)() 1(2xcxcxcx01)(mf，cm1（如圖）c4m43bc 且 f(1)=0，證明：f(x)的圖像與 X 軸相交；(

54、2)證明：若對 x1、x2R ，且 f(x1) f(x2),則方程2)()()(21xfxfxf 必有一實根在區(qū)間（x1,x2）內(nèi)；(3)在（1）的條件下，是否存在實數(shù) m，使 f(m) = a 成立時,f(m+3)0.2.52.5函數(shù)的綜合運(yùn)用函數(shù)的綜合運(yùn)用一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識.在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程.這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展.2.以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識.函數(shù)內(nèi)容

55、最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價轉(zhuǎn)化或非等價轉(zhuǎn)化.因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.3.要重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識.但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮.284.函數(shù)應(yīng)用題主要研究如何利用函數(shù)思想解決生產(chǎn)實踐中的實際問題，要求各位同學(xué)有較寬

56、的知識面，能讀懂題意，然后對問題進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，建立量與量的函數(shù)關(guān)系，把實際問題材轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)問題材的解決達(dá)到實際問題解決目的.二、疑難知二、疑難知識導(dǎo)析識導(dǎo)析1.為了能較快地解決函數(shù)綜合問題，要求各位學(xué)生在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力.掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng).初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動變化的觀點分析問題.2.

57、對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，是提高分析問題、解決問題能力的好途徑.不少人在數(shù)學(xué)應(yīng)用題面前，束手無策；有的讀不懂題意；有的不會歸納抽象、建模，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)加強(qiáng)提高閱讀理解能力，然后將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號，實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想去解決問題.三、經(jīng)典例題導(dǎo)講三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 例例 11 不等式 ).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx錯解錯解： , 122x, 2342322xxxx. 223, 0622xxxx或錯因錯因： 當(dāng)2x時，真數(shù)0232 xx且2x在所求的范圍內(nèi)（因 232 ） ，說明解法錯誤.原因是沒有弄清對數(shù)定義.此題

58、忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性.正解正解 122x2342302304232222xxxxxxxx 2231231313131xxxxxx或或或. 22xx或 例例 22將進(jìn)價為 8 元的商品，按每件 10 元售出，每天可銷售 0 件，若每件售價漲價 0.5 元，其銷售量就減少 10 件，問應(yīng)將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出這個最大利潤.29錯解錯解：設(shè)每件售價提高 x 元，利潤為 y 元，則 y=)20200)(8(xx81) 1(202xx=1 時，1620maxy（元）錯因錯因：沒理解題意，每天銷售 0 件是在定價 10 元時的情況下，所

59、設(shè)的應(yīng)理解為在定價目10 元的基礎(chǔ)上，再每件售價提高 x 元，故利潤每件應(yīng)為（2+x）元，此時的銷售量為（020 x）元正解正解：設(shè)每件售價提高 x 元，利潤為 y 元，則 y=)20200)(2(xx=720)4(202x故當(dāng)4x，即定價為 14 元時，每天可獲得最大利潤為 720 元. 例例 33某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長率都是 m，則這兩年內(nèi)第二年三月份的產(chǎn)值比第一年三月份的產(chǎn)值的增長率是多少？錯解錯解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為 a，則經(jīng)過二年，三月份的產(chǎn)值是 a(1+m)11,則所求增長率為1)1 ()1 (1111maama，或把第二年三月份的產(chǎn)值寫為 a(1+m)13.錯

60、因錯因：對增長率問題的公式xpNy)1 ( 未透徹理解而造成錯解，或者是由于審題不細(xì)致而造成題意的理解錯誤.若某月的產(chǎn)值是 a，則此后第x月的產(chǎn)值為xma)1 ( ，指數(shù)x是基數(shù)所在時間后所跨過的時間間隔數(shù).正解正解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為 a，則第四個月的產(chǎn)值為 a(1+m)，五月份的產(chǎn)值為 a(1+m)2，從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 個月，故第二年的三月份的產(chǎn)值是a(1+m)12，又由增長率的概念知，這兩年的第二年的三月份的產(chǎn)值比第一年的三月份的產(chǎn)值的增長率為1)1 ()1 (1212maama 例例 44在一個交通擁擠及事故易發(fā)生路段，為了確保交通安全，交通部門