直線和圓的方程——高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題直線和圓的方程直線和圓的方程知識關(guān)系學(xué)習(xí)必備歡迎下載直注 :確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件,通常用待定系數(shù)法 ;線確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍.的直線是平面幾何的基本圖形，它與方程中的二元一次方程A x+By+C=0 （A 2+B2 0）方是一一對應(yīng)的 .程例 1.過點 M(2,a) 和 N ( a,4) 的直線的斜率等于 1,則 a 的值為 ()(A) 1(B) 4(C)1 或 3(D)1 或 4例 2.若, 則直線 2 x cos 3y1=0 的傾斜角的取值范圍（）直625 , 5線 (A)6,(B)(C) (0,)(D)2的2

2、6661 x方 例3.直線 y2 的傾斜角是（）程3111 )1（ A ） arctan() （ B） arctan（C） arctan(（ D ）arctan()3B( 2,4)333例 4.連接A(4,1)和_,與 y 軸的交點 P 的坐標(biāo)為 _.兩點的直線斜率為一、直線的傾斜角和斜率1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x 軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時,其傾斜角為0 ,故直線傾斜角的范圍是0 180.2.直線的斜率 : 傾斜角不是90 的直線其傾斜角的正切叫這條直線的斜率k ,即k tan .注：每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.直 當(dāng)90

3、時，直線 l 垂直于 x 軸，它的斜率 k 不存在 .線 過兩點 P1 (x1, y1 ) 、 P2 (x2y2y1, y2 ) ( x1 x2 ) 的直線斜率公式 k tanx1的x2例 5. 以點 (1,3)和(5, 1) 為端點的線段的中垂線的方程是一、兩直線的位置關(guān)系1. 兩直線平行 : 斜率存在且不重合的兩條直線l1 y=k1x+b1， l 2 y=k2 x+b2 ，則 l1 l 2k1=k2;兩條 不重合 直線 l 1,l 2 的傾斜角為,2,1則 l 1 l 212 .兩直 2.兩直線垂直 :線斜率存在的兩條直線l1y=k1x+b1,l 2 y=k2x+b2,則 l lk

4、83; k = - 1;.例 6. 將直線 2x 3y 6 0繞著它與y 軸的交點逆時針旋轉(zhuǎn) 45 的角后，在 x 軸上的截距是 ( )42(A)(B)5555(C) (D)24例 7. 將一張畫了直角坐標(biāo)系且兩軸的長度單位相同的紙折疊一次， 使點 (2，方二、直線方程的五種形式及適用條件程名稱方程斜截式y(tǒng)=kx+b說明適用條件k斜率傾斜角為90°的b縱截距直線不能用此式(x0， y0) 直線上已傾斜角為90°的的1212位兩直線 l1 A 1x+B 1y+C 1=0， l 2 A 2x+B2y+C2=0，則 l1 l 2A 1A2+B 1B2 = 0置關(guān)系0)與點 ( 2

5、，4)重合，若點（7， 3）與點（ m ,n）重合，則 m+n 的值為 ()(A)4(B)4(C)10(D) 10例 8.與直線點斜式y(tǒng)- y0=k(x-x0)知點，直線不能用此式k 斜率3. “到角”與“夾角” : 2 x 3 y50 平 行直線 l 1 到 l 2 的角（方向角） ；且過點 A(1,4)的 直 線y y1x x1(x1， y1)， (x2， y2)是與兩坐標(biāo)軸平行兩點式=的直線不能用此y2y1x2 x1直線上兩個已知點式xya直線的橫截距過（ 0，0）及與兩截距式+坐標(biāo)軸平行的直a=1b直線的縱截距b線不能用此式一般式A x+B y+C=0A 、 B 不能同時為(A、B 不

6、全為零 )零直線 l1 到 l2 的角，是指直線 l 1 繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的方程是 _。與 l 2 重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是 (0, ) .例 9. 已知二直線l1 : mx8yn0 和注 : 當(dāng) 兩 直 線 的 斜 率 k1,k2 都 存 在 且 k1 · k2 - 1l 2 : 2xmy10 ，若時 , tank2k1 ;當(dāng)直線的斜率不存在時,可結(jié)合圖形判斷.1 k1k2l1 l 2 ，l1 在 y 軸上的截距為-1，則m=_ ，n=_.兩條相交直線l 1 與 l 2的夾角：兩條相交直線 l 1 與 l 2的夾角，是指由 l 1 與 l 2 相交所成的四個角中最小的正

7、角，又稱為 l 1 和 l 2 所成的角，它的取值范圍是 0,當(dāng)兩直線的斜率k1 ，k2 都存在且 k1· k22 - 1 時，則有 tank 2k 1 .1k 1 k 24.距離公式。已知一點 P(x0， y0)及一條直線l ：A x+By+C=0，則點 P到直線 l 的距離 d= | Ax0By0C | ；A2B2兩兩平行直線l 1:Ax+B y+C1=0 ， l 2:Ax+B y+C2=0 之間的距例 10. 經(jīng)過兩直線11x3y 9 0 與12x y 19 0 的交點，且過點 (3,- 2)的直線方程為 _.例 11. 已知 ABC 中，A（2，- 1），B（4，3），C（3

8、，- 2），求：BC 邊上的高所在直線方程； AB 邊中垂線方程； A 平分線所在直線方程 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 13.若點（ 3，1）和（4 ，6）在直線 3x 2y a0 的兩側(cè)，則實數(shù) a 的取值范圍是（）( A)a 7或a 24(B) 7 a 24( C)a7或 a24（ ）以上都不對D例 14. ABC 的三個頂點的坐標(biāo)為 A(2 , 4) ， B( 1, 2) ， C(1, 0) ，點 P( x , y) 在ABC 內(nèi)部 及 邊界 上運 動， 則 y2x 的 最大 值 為， 最 小 值為。xy1 0例 15. 不等式組： xy 0表示的平面區(qū)域的面積是；y 0例 16.20 個勞動

9、力種 50 畝地，這些地可種蔬菜、棉花或水稻，如果種這些農(nóng)作物每畝地所需的勞動力和預(yù)計產(chǎn)值如下表。 問怎樣安排才能使每畝都種上農(nóng)作物，所有的勞動力都有工作且農(nóng)作物的預(yù)計產(chǎn)值最高？直離 d=| C1C2|A2。線B2的位置 5.當(dāng)直線位置不確定時，直線對應(yīng)的方程中含有參數(shù). 含參數(shù)方程中有兩種特殊情形，它們的對應(yīng)的直線是關(guān)有規(guī)律的，系 即旋轉(zhuǎn)直線系和平行直線系 .在點斜式方程 y- y0=k(x- x0)中，當(dāng)（ x0，y0）確定， k 變化時，該方程表示過定點（x0 ，y0）的旋轉(zhuǎn)直線系，當(dāng) k 確定， (x0， y0)變化時，該方程表示平行直線系.已知直線 l： A x+B y+C=0，則方

10、程 A x+B y+m=0（m 為參數(shù)）表示與 l 平行的直線系；方程 - B x+A y+n=0 （n 為參數(shù)）表示與l 垂直的直線系。已知直線l1： A 1x+B1y+C1=0，直線 l2： A 2 x+B 2y+C 2=0，則方程 A 1x+B 1y+C1+ (A 2 x+B 2y+C2)=0 表示過 l 1 與 l 2 交點的直線系（不含 l2）例 12. 已知定點P（6，4）與定直線 l 1：y=4x，過 P 點的直線 l與 l1 交于第一象限 Q 點，與 x 軸正半軸交于點 M ，求使 OQM 面積最小的直線 l 方程 .簡單的線性規(guī)劃例 17.某集團準(zhǔn)備興辦一所中學(xué)，投資 120

11、0 萬用于硬件建設(shè) .為了考慮社會效益和經(jīng)濟利益， 對該地區(qū)教育市場進行調(diào)查， 得出一組數(shù)據(jù)列表 （以班為單位）如下：掌握含參數(shù)方程的幾何意義是某種直線系，有時可以優(yōu)化解題思路 .簡線性規(guī)劃單當(dāng)點 P(x0 ，y0 )在直線 A x+B y+C=0 上時，其坐標(biāo)滿足方程A x0+B y0+C=0 ；的當(dāng) P 不在直線 A x+By+C=0 上時，Ax0+B y0+C 0，即 A x0 +By0+C>0 或 A x0+B y0+C<0 。線這就是二元一次不等式的幾何意義：二元一次不等式A x+B y+C>0（或 <0）表示直線性A x+B y+C=0 上方或下方區(qū)域，其具

12、體位置的確定常用原點（0， 0）代入檢驗。規(guī)利用此幾何意義，可以解決一類二元函數(shù)的最值問題。這就是線性規(guī)劃的內(nèi)容。劃根據(jù)有關(guān)規(guī)定， 除書本費、 辦公費外，初中生每年可收取學(xué)費 600 元，高中生每年可收取學(xué)費 1500 元.因生源和環(huán)境等條件限制，辦學(xué)規(guī)模以 20至 30 個班為宜 .根據(jù)以上情況，請你合理規(guī)劃辦學(xué)規(guī)模使年利潤最大，最大利潤多少萬元？（利潤 =學(xué)費收入年薪支出）曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中,當(dāng)曲線 C 和方程 F(x，y)=0 滿足如下關(guān)系時：曲線 C 上點的坐標(biāo)都是方程F(x， y)=0 的解；以方程F(x，y)=0 的解為曲坐標(biāo)的點都在曲線C 上，則稱曲線C 為方程 F(x，

13、y)=0 表示的曲線；方程線 F(x，y)=0 是曲線 C 表示的方程 .和方 注:如果曲線 C 的方程是 F(x ,y)=0，那么點 P0(x0 ,y0)在曲線 C 上的充要條程 件是 F(x0 ,y0)=0解析幾何研究的內(nèi)容就是給定曲線 C，如何求出它所對應(yīng)的方程，并根據(jù)方程的理論研究曲線的幾何性質(zhì)。 其特征是以數(shù)解形 , 坐標(biāo)法是幾何問題代數(shù)化的重要方法。求曲線方程的步驟 : 建、設(shè)、現(xiàn)（限）、代、化 .例 18. 點 M (t 2 ,t 6 ) 適合方程 yx3 是點 M 在曲線 yx 3 上的 ()(A) 充分條件 (B) 必要條件(C) 充要條件 (D) 什么條件也不是例 19.曲

14、線 C 1 ： x 2y 2x與 C 2 ： 2xyy 的交點數(shù)是（）(A)1 個(B) 2 個(C)3 個(D)4 個例 20. 已知定點 A( 1,0) ， B(1,0) ，點 M 與 A 、B 兩點所在直線的斜率之積等于 4 ，則點 M 的軌跡方程是曲 例 21. 已知圓 x 2y 24 和兩點A（，），（， ）當(dāng)點P在圓上運動時，04 B 40線求ABC 的重心的軌跡方程 .和方程例 22. 如圖，圓 O1 與圓 O2 的半徑都是 1， O1O24 . 過動點 P 分別作圓 O1 、圓 O2 的切線 PM ，PN （ M ，N 分別為切點），使得 PM2 PN .試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并

15、求動點P 的軌跡方程 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件。的圓方程的適用范圍。一、圓的方程形式 :222圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x- a) +(y- b) =r ,其中（ a,b）是圓心坐標(biāo) ,r 是圓的半徑；2222DE圓的一般方程： x +y +Dx+Ey+F=0（D +E - 4F>0）,圓心坐標(biāo)為（-，-），22D 2E 24F半徑為 r=2.圓的參數(shù)方程： (x-a)2+(y-b)2=r2（r>0）的參數(shù)方程為 :xar cos （為ybr sin參數(shù) ,表示旋轉(zhuǎn)角），參數(shù)式常用來表示圓周上的點。注:確定圓的方程需要有三個互相獨立的條件, 通常也用待定系數(shù)法

16、 ;圓的方程有三種形式，注意各種形式中各量的幾何意義,使用時常數(shù)形結(jié)合充分運用圓的平面幾何知識 .圓圓的直徑式方程：(x x1)(xx2) (y y1)(yy2) 0 , 其 中的 A( x1 , y1 ) , B(x 2 , y 2 ) 是圓的一條直徑的兩個端點 .（用向量可推導(dǎo)） .方程二、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交，判定方法有兩種：代數(shù)法：直線： Ax+By+C=0，圓： x2+y2+D x+Ey+F=0，聯(lián)立得方程組AxByC00相交消元一元二次方程判別式0相切x2y2DxEy F0 b2 4 ac0相離（2）幾何法：直線 :A x+By+C=0，圓：

17、 (x- a)2+(y- b)2=r2，圓心（ a，b）到直dr相離線的距離為 d= | Aa BbC | ，則 dr相切A2B2r相交d三、圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓圓心分別為 O1、O2，半徑分別為 r1，r2，|O1O2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下： |O1O2 |>r1+r2 兩圓外離；|O1O2 |=r1+r2 兩圓外切；| r1- r21212兩圓相交；|<|O O|< r +r|O1 21- r2|兩圓內(nèi)切；O|=| r兩圓內(nèi)含。0<| O121- r2O |<| r|注：直線和圓位置關(guān)系及圓和圓位置關(guān)系常借助于平面幾何知識， 而一般不采用方程組理論

18、（法） .四、圓的切線 :1. 求過圓上的一點 ( x0 , y0 ) 圓的切線方程 : 先求切點與圓心連線的斜率 k , 則圓 由垂直關(guān)系 , 切線斜率為 1 , 由點斜式方程可求得切線方程 ;的k2. 求 過圓 外 一點 (x0 , y0 ) 圓的 切線 方 程 : ( 幾何 方法 ) 設(shè)切 線方程為方y(tǒng) y0k( x x0 ) 即 k x - y k x0 y0 0 , 然后由圓心到直線的距離等于半徑 ,程可 求 得 k , 切 線 方 程 即 可 求 出 . ( 代 數(shù) 方 法 )設(shè)切線方程為y y0k( x x0 ) , 即 y kx k x0 y0 代入圓方程得一個關(guān)于x 的一元二

19、次方程, 由0, 求得 k , 切線方程即可求出 .注：以上方法只能求存在斜率的切線, 斜率不存在的切線 ,可結(jié)合圖形求得. 過圓 x2y2r 2 上一點 P( x0 , y0 ) 的切線方程為 xx0yy0r 2.例 23. 若直線 1a xy10 與圓 x2y22x 0相切，則 a的值為( )( A)1或 1(B)2 或2(C)1( D )1例 24.兩圓 x2+y2 -4x+2y+1=0 與 (x+2)2+(y-2)2=9 的位置關(guān)系是（）(A) 內(nèi)切(B) 相交(C)外切(D) 相離例 25.已知圓 C 與圓 (x- 1)2+y2=1 關(guān)于直線 y=- x 對稱，則圓 C 的方程為 (

20、 )(A) ( x+1)2+y2=1(B) x2+y2=1(C)x2+(y+1)2=1(D)x2+(y- 1)2=1例 26.若直線4x- 3y- 20 與圓 x2y22ax 4 y a212 0 有兩個不同的公共點，則實數(shù) a 的取值范圍是（）圓 (A) - 3a7(B)- 6a4(C)- 7a3(D) - 21a19的xsin方 例27.把參數(shù)方程（為參數(shù)）化為普通方程，結(jié)果是.ycos程1過點 ( 1,1)的直線被圓 x2y 22x0 截得的弦長為 2例 28.，則此直線的方程為例 29. 圓的方程為 x2+y26x8y0，過坐標(biāo)原點作長為 8 的弦，求弦所在的直線方程。例 30.已知方

21、程 x2+y2 - 2(m+3)x+2(1- 4m2)y+16m4+9=0 表示一個圓，求實數(shù) m 取值范圍；求圓的半徑 r 取值范圍；求圓心軌跡方程 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第七章直線和圓的方程 )答案例 1.A例 2.B例3.C例 4.1、(0,3)例 5. x y 2 02例 6.B例 7.C例 8. 2x3y10 0例 9. 0,8,例 10. 13x5 y290例 11. 解: kBC =5, BC 邊上的高 AD 所在直線斜率 k=15 AD 所在直線方程 y+1=1 (x-2) 即 x+5y+3=05 AB 中點為（ 3，1），kAB=2, AB 中垂線方程為

22、x+2y-5=0設(shè) A 平分線為 AE，斜率為 k，則直線 AC 到 AE 的角等于 AE 到 AB 的角。 kAC=- 1， AB k12k,k=2,k12k1 k2+6k-1=0, k=-3- 10 （舍），k=-3+ 10 AE 所在直線方程為 ( 10 -3)x-y-2 10 +5=0評注：在求角 A 平分線時，必須結(jié)合圖形對斜率k 進行取舍。一般地涉及到角平分線這類問題時，都要對兩解進行取舍。也可用軌跡思想求AE所在直線方程，設(shè) P(x，y)為直線 AE 上任一點，則 P 到 AB 、AC 距離相等，得 | 2xy5 | | x y 1| ，52化簡即可。還可注意到， AB 與 AC

23、 關(guān)于 AE 對稱。例 12. 解題思路分析：直線 l 是過點 P 的旋轉(zhuǎn)直線，因此是選其斜率 k 作為參數(shù)，還是選擇點 Q（還是 M ）作為參數(shù)是本題關(guān)鍵。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，選 k 作為參數(shù)，運算量稍大，因此選用點參數(shù)。解:設(shè) Q（x0，4x0），M （ m， 0） Q， P， M 共線 kPQ kPM 44x04解之得： m5x016x06mx0 x0， 0>0 m>0x -1>02 SOMQ1| OM | 4x0 2mx010x02x01令 x0，則t>0, S10(t 1)210(t12)40-1=ttt當(dāng)且僅當(dāng) t=1，x0Q（11，44），直線 l：x+y-

24、10=0時，等號成立 此時=11,評注：本題通過引入?yún)?shù)，建立了關(guān)于目標(biāo)函數(shù)SO QM 的函數(shù)關(guān)系式，再由基本不等式再此目標(biāo)函數(shù)的最值。要學(xué)會選擇適當(dāng)參數(shù)，在解析幾何中，斜率k，截距 b，角度 ，點的坐標(biāo)都是常用參數(shù)，特別是點參數(shù)。例 13.B例14. 4， 2例 15.14例 16.種蔬菜 20 畝 ,棉花 30 畝,水稻不種 ,總產(chǎn)值最高 27 萬元 .例 17.解：設(shè)初中 x 個班，高中 y 個班，則20 xy 30(1)28 x 58 y 1200設(shè)年利潤為 s，則 s60 0.06 x 40 0.15 y 2 1.2 x 2.51.6 y1.2x2 y作出（ 1）、（ 2）表示的平面區(qū)域，如圖，過點 A 時， S 有最大值，由 xy 30解得 A（18，12）.28x58y1200易知當(dāng)直線 1.2x+2y=s即學(xué)?？梢?guī)劃初中18 個班，高中 12 個班 ,smax1.21821245.6 （萬元） .可獲最大年利潤為45.6 萬元 .評 線性規(guī)劃是直線方程的簡單應(yīng)用，是新增添的教學(xué)內(nèi)容，是新大綱重視知識應(yīng)用的體現(xiàn)，根據(jù)考綱要求，了解線性不等式表示的平面區(qū)域，了解線性規(guī)劃的意義并會簡單應(yīng)用，解決此類問題，關(guān)鍵是讀懂內(nèi)容，根據(jù)要求，求出線性約束條件和目