專題36第7章圓之證明切線的方法備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國通用）（解析版）

1、36第7章圓之證明切線的方法一、單選題1同學(xué)小明在用一副三角板畫出了許多不同度數(shù)的角，但下列哪個(gè)度數(shù)他畫不出來（）A15° B65° C75° D135°【答案】B【解析】試題分析：一副三角板中有30°，45°，60°和90°，60°45°15°，30°45°75°，45°90°135°，所以可畫出15°、75°和135°等，但65°畫不出故選B點(diǎn)睛：本題考查了角的和差運(yùn)算，用一副三角板

2、只能畫出三角板上各個(gè)角的和差組成的角二、填空題2如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)D、E是半圓的三等分點(diǎn)，AE、BD的延長線交于點(diǎn)C，若CE2，則圖中陰影部分的面積為_【答案】【分析】結(jié)合題意，利用三角形邊長關(guān)系，得出OAE、ODE、OBD、CDE都是等邊三角形，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，然后利用扇形面積，建立等式，計(jì)算結(jié)果，即可.【詳解】連接OE、OD，點(diǎn)D、E是半圓的三等分點(diǎn)，AOEEODDOB60°OAOEODOBOAE、ODE、OBD、CDE都是等邊三角形，ABDE，SODESBDE；圖中陰影部分的面積S扇形OAESOAE+S扇形ODE=故答案為【點(diǎn)睛】考查圓綜合問題，考查等

3、邊三角形的判定，關(guān)鍵將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為苛求的三角形面積，難度中等3如圖是某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm），則該幾何體的側(cè)面積為_cm2【答案】2【分析】結(jié)合題意，得出直徑和母線的長度，發(fā)現(xiàn)側(cè)面展開的圖形是以2為半徑的半圓，計(jì)算面積，即可【詳解】解：由題意得底面直徑為2，母線長為2，幾何體的側(cè)面積為×2×22，故答案為2【點(diǎn)睛】考查圓面積計(jì)算公式，關(guān)鍵得出側(cè)面展開圖形是一個(gè)半圓，難度中等4如圖，AB是O的直徑，AB13，AC5，則tanADC_【答案】【分析】結(jié)合勾股定理，計(jì)算BC的長度，利用圓周角定理，計(jì)算結(jié)果，即可【詳解】解：AB為O直徑，ACB90°

4、，BC12，tanADCtanB，故答案為:【點(diǎn)睛】考查勾股定理，考查圓周角定理，關(guān)鍵得出，計(jì)算結(jié)果，即可，難度中等5在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線y=x+與以O(shè)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的位置關(guān)系為_【答案】相切【詳解】解：令y=x+=0，解得：x=，令x=0，解得：y=，直線y=x+與x軸交于點(diǎn)A（，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，），OA=，OB=，AB=設(shè)圓心到直線y=x+的距離為r，則r=1，半徑為1，d=r，直線y=x+與以O(shè)點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的位置關(guān)系為相切，故答案為：相切【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)三、解答題6如圖，在中，C=90°，以BC為

5、直徑的O交AB于點(diǎn)D，在線段AC上取點(diǎn)E，使A=ADE（1）求證：DE是O的切線；（2）若A=30°，O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、等量代換可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面積公式和三角形的面積公式即可得【詳解】（1）如圖，連接OD，又，即，點(diǎn)D在上，即OD為的半徑，DE是的切線；（2）如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)H，為等邊三角形，則陰影部分的面積為【點(diǎn)睛

6、】本題考查了圓的切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵7如圖已知AB是O的直徑，點(diǎn)C，D在O上，DC平分ACB，點(diǎn)E在O外，(1)求證：AE是O的切線；(2)求AD的長【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可知，由直徑所對(duì)圓周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，從而證明結(jié)論（2）DC平分ACB可知，根據(jù)圓周角定理可知，是等腰直角三角形，AD的長是圓半徑的倍，計(jì)算求出答案【詳解】（1）和是所對(duì)圓周角，；AB是圓的直徑，在中，AE是O的切線（2）如圖：AB是圓的直徑，D

7、C平分ACB，是直角三角形；，【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、勾股定理，熟練運(yùn)用圓周角定理是解題關(guān)鍵8如圖，在RtABC中，ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的O分別交AC，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)N作NEAB，垂足為E，（1）若O的半徑為，AC=6，求BN的長；（2）求證：NE與O相切【答案】（1）BN=4；（2）見解析【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求AB=10，由勾股定理可求BC=8，由等腰三角形的性質(zhì)可得BN=4；（2）欲證明NE為O的切線，只要證明ONNE【詳解】解：（1）連接DN，ONO的半徑為，CD=5ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，BD=

8、CD=AD=5，AB=10，BC=8CD為直徑CND=90°，且BD=CDBN=NC=4（2）ACB=90°，D為斜邊的中點(diǎn)，CD=DA=DB=AB，BCD=B，OC=ON，BCD=ONC，ONC=B，ONAB，NEAB，ONNE，NE為O的切線【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型9如圖，拋物線yx2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為M，對(duì)稱軸交x軸于E，點(diǎn)D在第一象限，且在拋物線的對(duì)稱軸上，DEOC，DM（1）求拋物線的對(duì)稱軸方程；（2）若DADC，求拋物線的解

9、析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若在直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q，使PQC45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）x5；（2）yx2x+4；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，9）或（5，）【分析】（1）D點(diǎn)坐標(biāo)（ ，c），M點(diǎn)坐標(biāo)（， ）， ，化簡(jiǎn)求出b值；代入計(jì)算， 即是對(duì)稱軸的方程（2）利用韋達(dá)定理求出AE，AEAB，AB；在R t 中， DEc，ADDC5，由勾股定理得：AD2DE2+AE2，即可求解（3）作的外接圓，圓心點(diǎn)K 到點(diǎn)C、Q距離相等，構(gòu)造一個(gè)含坐標(biāo)參數(shù)的方程，線段KQ只有一個(gè)解，利用根的判別式，計(jì)算出P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】（1）OCc，DEOCc，點(diǎn)D在拋物線

10、對(duì)稱軸上，點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c，點(diǎn)M是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，則DMc（cb2）， ；解得b（舍去），或b，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=5；（2）由（1）可知拋物線的表達(dá)式為yx2x+c，令yx2x+c0，設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為xA、xB，則xA+xB10，xAxB4c，則AB，在Rt中，AEAB，DEc，ADDC5，由勾股定理得：AD2DE2+AE2， ，25c2+254c，化簡(jiǎn)得： ，解得c4，故拋物線的表達(dá)式為yx2x+4；（3）如圖，連接PQ、PC、QC，作的外接圓K，連接KP、KC，過點(diǎn)K作y軸的垂線，交y軸于點(diǎn)F，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，n），點(diǎn)P（5，t），PQC45

11、°，故PKC90°，且PKCKQK，F(xiàn)KC+NKP90°，NKP+NPK90°，F(xiàn)KCNPK，RtRt（AAS），CFNK，PNMK，4n5m，tnm，nm1，t2m1，故點(diǎn)K的坐標(biāo)為（m，m1），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，2m1）由拋物線的表達(dá)式知，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），由點(diǎn)B、M的坐標(biāo)得，直線MB的表達(dá)式為yx6，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（r，r6），由KC2KQ2得，m2+（m14）2（mr）2+（m1r+6）2，整理得：r2（m+）r+20m0，關(guān)于r的一元二次方程，直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q，r的解只有一個(gè)，（m+）24×

12、15;20m0，解得m5或，點(diǎn)P坐標(biāo)（5，t），t2m1，當(dāng)m5時(shí)，t9；當(dāng)m時(shí)，t；故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，9）或（5，）【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)圖像性質(zhì)，圓與直線關(guān)系；涵蓋知識(shí)點(diǎn)多，理解題中“直線BM上只存在一個(gè)點(diǎn)Q”隱含的條件，即的外接圓與直線BM相切，這是解決第三個(gè)問題的關(guān)鍵10如圖，已知P是O外一點(diǎn)，PO交圓O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦ABOC，AOB=120，連接PB(1)求BC的長；(2)求證：PB是O的切線【答案】（1）2；（2）見解析【分析】（1）由OA=OB，弦ABOC，易證得OBC是等邊三角形，則可求得BC的長；（2）由OC=CP=2，OBC

13、是等邊三角形，可求得BC=CP，即可得P=CBP，又由等邊三角形的性質(zhì)，OBC=60°，CBP=30°，則可證得OBBP，繼而證得PB是O的切線【詳解】解：（1）OA=OB，弦ABOC，AOC=BOC=12AOB=60，OB=OC，OBC是等邊三角形，BC=OC=2；（2）證明：OC=CP，BC=OC，BC=CP，CBP=CPB，OBC是等邊三角形，OBC=OCB=60，CBP=30，OBP=CBP+OBC=90，OBBP，點(diǎn)B在O上，PB是O的切線【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂

14、直即可11如圖，AB為O的直徑，且AB4，DBAB于B，點(diǎn)C是弧AB上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)C作O的切線交BD于點(diǎn)E連接OE交O于F（1）求證：ADOE；（2）填空：連接OC、CF，當(dāng)DB 時(shí)，四邊形OCEB是正方形；當(dāng)DB 時(shí)，四邊形OACF是菱形【答案】（1）見解析；（2）4，BD4【分析】（1）連接OC、BC，由AB為O的直徑，DBAB于B，推出DB是O的切線，進(jìn)而證明OEBC，ACBC，即可得出結(jié)論；（2）若四邊形OCEB是正方形，CEBEOBOCAB2，由（1）可證，得到DEBE2，BDBE+DE4即可求出；若四邊形OACF是菱形，則OAAC，又OAOC，于是OAC為等邊三角形，A60

15、76;，在RtABD中，由tanA，即可求得BD【詳解】（1）證明：連接OC、BC，如圖1，AB為O的直徑，DBAB于B，DB是O的切線，CE與O相切于點(diǎn)C，BECE，點(diǎn)E在BC的垂直平分線上，OBOC，點(diǎn)O在BC的垂直平分線上，OEBC，ACB90°，即ACBC，ADOE；（2）如圖2，若四邊形OCEB是正方形，AB4，CEBEOBOCAB2，OEAC，DEBE2，BDBE+DE4，故答案為：4；若四邊形OACF是菱形，CO平分ACF，CFOA，ACOFCOAOC，OAOC，AACOAOC，AOC是等邊三角形，A60°，ABD90°，RtABD中，tanA，BD

16、4，故答案為：4；【點(diǎn)睛】本題是圓綜合題，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)以及菱形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12如圖，在RtABC中，C90°，AD是BAC的角平分線，以AB上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作O（1）尺規(guī)作圖：作出O（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）；（2）求證：BC為O的切線【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析【分析】（1）因?yàn)锳D是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上，作AD的垂直平分線，與AB的交點(diǎn)即為所求；（2）因?yàn)镈在圓上，所以只要能證明ODBC就說明BC為O的切線【詳解】解：（1）如圖所示，O即為所求；（2

17、）證明：連接ODOAOD，OADODA，AD是BAC的角平分線，CADOAD，ODACAD，ODAC又C90°，ODB90°，BC是O的切線【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵13如圖，在O 中，點(diǎn)D在直徑AB的延長線上，點(diǎn)C、E在O上，CECB，BCDCAE，延長AE、BC交于點(diǎn)F(1) 求證：CD是O的切線；(2) 若BD1，CD，求線段EF的長【答案】（1）詳見解析；（2）【分析】（1）連OC，根據(jù)切線的判定，證明；（2）設(shè)半徑為r，在用勾股定理列式求出半徑，過O作OHAE于H，證明，利用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出AH，由垂徑定理得到AE，最

18、后用AF-AE求得EF長【詳解】（1）連OC，OAOC，OACOCA，AB為直徑，ACB90°，CECB，CAEOAC，BCDCAE，BCDOCA，OCDBCDOCBOCAOCB90°，OC是O半徑，CD是O的切線； （2）設(shè)O的半徑為r，在RtOCD中，OC²CD²OD²，即：r2()2(r1)2，解得r，由（1）得，CABCAF，ACBF，AFAB1，過O作OHAE于H，則AHEH，CECB，EABCOB，即，AH，AE2AH，EFAFAE1【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合題，涉及切線的證明和相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)定理

19、結(jié)合題目條件進(jìn)行證明14如圖，在ABC中，ABAC，BAC120°，點(diǎn)D在BC邊上，D經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B且與BC邊相交于點(diǎn)E（1）求證：AC是D的切線；（2）若CE2，求D的半徑【答案】（1）見解析；（2）D的半徑AD2【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到B=C=30°，BAD=B=30°，求得ADC=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是D的切線；（2）連接AE，推出ADE是等邊三角形，得到AE=DE，AED=60°，求得EAC=AED-C=30&

20、#176;，得到AE=CE=2，于是得到結(jié)論【詳解】（1）證明：連接AD，ABAC，BAC120°，BC30°，ADBD，BADB30°，ADC60°，DAC180°60°30°90°，AC是D的切線；（2）解：連接AE，ADDE，ADE60°，ADE是等邊三角形，AEDE，AED60°，EACAEDC30°，EACC，AECE2，D的半徑AD2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵15如圖，已知是的直徑，與的兩直角邊

21、分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，連接（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的值【答案】（1）見解析；（2）tanCAF=【分析】（1）連結(jié)OF，BE，由題意易得BECD，再由點(diǎn)F是中點(diǎn)可求證OFCD，問題得證；（2）由題意易得OFDACD，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解AC的長，然后利用勾股定理及線段比例關(guān)系進(jìn)行求解即可【詳解】（1）證明：連結(jié)OF，BE，AB是O的直徑，AEB=90°，C=90°，AEB=ACD，BECD， 點(diǎn)F是弧BE的中點(diǎn)，OFBE，OFCD， 直線DF是O的切線； （2）解：C=OFD=90°，ACOF，OFDACD， ，BD=1，OB=2，

22、OD=3，AD=5，OF=2,， CD=， ，tanCAF=【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與直線的位置關(guān)系及解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到切線，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理進(jìn)行求解三角函數(shù)即可16已知為O直徑，、為上兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，且，（1）求證：為O切線（2）若，且，求的值【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接、，根據(jù)，且，得到為正三角形，得到，設(shè)可得，則有，可求出，則有，可證為O切線；（2）連接，作、，根據(jù)，可得，得到，設(shè)，根據(jù)，則有，可得，根據(jù)，可解得，則，根據(jù)為正三角形得到，根據(jù)得到，可有，可得，則，利用可得結(jié)果【詳解】解：（1）連接、，且為正三角形又設(shè)則又

23、，為O切線（2）連接，作、，易知，設(shè)，則，由上式，又由（1）可知，解得或又，又，為正三角形，【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17如圖1，CD是O的直徑，且CD過弦AB的中點(diǎn)H，連接BC，過弧AD上一點(diǎn)E作EFBC，交BA的延長線于點(diǎn)F，連接CE，其中CE交AB于點(diǎn)G，且FEFG（1）求證：EF是O的切線；（2）如圖2，連接BE，求證：BE2BGBF；（3）如圖3，若CD的延長線與FE的延長線交于點(diǎn)M，tanF，BC5，求DM的值【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【分析】（1）根據(jù)已知

24、得出GCH+CGH=+=90°，而FEO=FEG+CEO=+=90°，即可求解；（2）CBA=F，故F=CEB，而FBE=GBE，故FEBEGB，即可求解；（3）在RtBCH中，BC=5，tanCBH=tan= 則sin=，cos=，CH=BCsin=， 同理HB=，設(shè)圓的半徑為r，則OB2=OH2+BH2，求出r的值，解RtCDE求得FG，繼而得出答案【詳解】（1）連接OE，則OCEOEC，F(xiàn)EFG，F(xiàn)GEFEG，H是AB的中點(diǎn)，CHAB，GCHCGH90°，F(xiàn)EOFEGCEO90°，EF是O的切線；（2）CHAB，CBACEB，EFBC，CBAF，故

25、FCEB，F(xiàn)BEGBE，F(xiàn)EBEGB，；（3）如圖2，過點(diǎn)F作FRCE于點(diǎn)R，設(shè)CBACEBGFE，則tan，EFBC，F(xiàn)ECBCG，故BCG為等腰三角形，則BGBC5，在RtBCH中，BC5，tanCBHtan，則sin，cos，CHBCsin5×3，同理HB4；設(shè)圓的半徑為r，則OB2OH2BH2，即r2（r3）2（4）2，解得：r；GHBGBH54，tanGCH，則cosGCH，則tanCGH3tan，則cos，連接DE，則CED90°，在RtCDE中cosGCH，解得：CE，在FEG中，cos，解得：FG；FHFGGH，HMFHtanF×；CMHMCH，M

26、DCMCDCM2r【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識(shí)，切線的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)18如圖，在RtABC中，ABC90°，以AB為直徑作O，D為O上一點(diǎn)，且CDCB，連接DO并延長交CB的延長線于點(diǎn)E（1）判斷直線CD與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若BE4，OE5，求AC的長【答案】（1）CD與O相切理由見解析；（2）AC6【分析】（1）連接OC，如圖，根據(jù)SSS可證CODCOB，于是可得CDOCBO90°，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理可得BO的長，進(jìn)而可得DE的長，易證EOBECD，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CD的長，即為CB的長，再在RtABC中利用勾股定理求解即可【詳解】解：（1）CD與O相切理由如下：連接OC，如圖，在COD和COB中，CO=CO，OD=OB，CD=CB，CODCOB（SSS），CDOCBO90°，ODCD，CD為O的切線；（2）在RtOBE中，OE5，BE4，OB3，