專題08：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之倍長中線-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學解題方法系統(tǒng)訓練（全國通用）

1、專題08：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之倍長中線一、單選題1在ABC中，AC6，中線AD5，則邊AB的取值范圍是（）A1AB11B4AB13C4AB16D11AB162在中，于點，點為的中點，若，則的度數(shù)是（ ）ABCD3如圖，在平行四邊形中，為上一點，為的中點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）ABCD4如圖，在ABC 中，AB=8，AC=5，AD是ABC的中線，則AD的取值范圍是（ ）A3<AD<13B1.5<AD<6.5C2.5<AD<7.5D10<AD<165如圖，在等腰直角三角形中，F(xiàn)為邊的中點，點D，E分別在邊上運動，且保持，

2、連接在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：是等腰直角三角形；四邊形的面積保持不變；其中正確的是（ ）ABCD二、填空題6如圖，平行四邊形中，于，點為邊中點，則_7如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，且，那么的長度為_8如圖，為AD上的中點，則BE_9如圖，ABC中，D是AB的中點，CD：AC：BC1：2：2，則BCD_10如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，AB10，AD7，CAD45°，則BC_.三、解答題11如圖，已知AD是的中線，過點B作BEAD，垂足為E若BE=6，求點C到AD的距離12在ABC中，C90°，ACBC，D是AB的中點，E為直線AC上一動點，連接

3、DE，過點D作DFDE，交直線BC于點F，連接EF（1）如圖1，當點E是線段AC的中點時，AE2，BF1，求EF的長；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖形2，用等式表示AE，EF，BF之間的數(shù)量關系，并證明13閱讀材料，解答下列問題如圖1，已知ABC中，AD 為中線延長AD至點E，使 DE=AD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=EDB，BD=CD，所以，ACDEBD，進一步可得到AC=BE，AC/BE等結(jié)論在已知三角形的中線時，我們經(jīng)常用“倍長中線”的輔助線來構造全等三角形，并進一步解決一些相關的計算或證明題解決問題：如圖2，在ABC中，AD是三角形的中線，點F為AD上一點

4、，且BF=AC，連結(jié)并延長BF交AC于點E，求證：AE=EF14如圖1，在中，是邊的中點，交于點.將直角繞頂點旋轉(zhuǎn)，使得邊與線段交于點，邊與線段交于點.（1）求證：與相似；（2）設的長為，的面積為，求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；（3）探究、三者之間的數(shù)量關系，并說明理由.15如圖1，已知正方形和等腰，是線段上一點，取中點，連接、（1）探究與的數(shù)量與位置關系，并說明理由；（2）如圖2，將圖1中的等腰繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，求的最小值參考答案1C【解析】【分析】作出圖形，延長AD至E，使DEAD，然后利用“邊角邊”證明ABD和EC

5、D全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得ABCE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍【詳解】如圖，延長AD至E，使DEAD，AD是ABC的中線，BDCD，在ABD和ECD中，BDCD，ADBEDC，ADDE，ABDECD（SAS），ABCE，AD5，AE5510，10616，1064，4CE16，即4AB16故選：C【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構造出全等三角形是解題的關鍵2D【解析】【分析】連結(jié)CE，并延長CE，交BA的延長線于點N

6、，根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明NAECFE，所以NECE，NACF，再由已知條件CDAB于D，ADE50°，即可求出B的度數(shù)【詳解】解：連結(jié)CE，并延長CE，交BA的延長線于點N，四邊形ABCF是平行四邊形，ABCF，ABCF，NAEF，點E是的AF中點，AEFE，在NAE和CFE中， ，NAECFE（ASA），NECE，NACF，ABCF，NAAB，即BN2AB，BC2AB，BCBN，NNCB，CDAB于D，即NDC90°且NECE，DENCNE，NNDE50°NCB，B80°故選：D【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，解

7、答本題的關鍵是正確作出輔助線，構造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答3D【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到，且為的中點，所以,由此可判斷選項；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到，由此可判斷選項；同時延長和交于點， 可以證得，所以,由此可以判斷選項；由于，所以，由此可以判斷選項；【詳解】四邊形是平行四邊形 由于條件不足，所以無法證明,故選項錯誤； 故選項錯誤；同時延長和交于點 在和 中： 由于條件不足，并不能證明，故選項錯誤； 為的中點 故選項正確；故選：D.【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應的輔助線是求解本題的關鍵.4B【解析】【分析】延長AD到

8、E，使AD=DE，連結(jié)BE，證明ADCEDB就可以得出BE=AC，根據(jù)三角形的三邊關系就可以得出結(jié)論【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE，連結(jié)BEAD是ABC的中線，BD=CD在ADC和EDB中， ADCEDB（SAS），AC=BEAB-BEAEAB+BE，AB-AC2ADAB+ACAB=8，AC=5，1.5AD6.5故選：B【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中線的性質(zhì)的運用，三角形三邊關系的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵5A【解析】【分析】連接，利用SAS可證，從而得出，從而求出，即可判斷；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而得出四邊形的面積為，從而判斷；延長到G使

9、，連接，證出和，最后根據(jù)三角形的三邊關系即可判斷【詳解】解：如圖，連接，F(xiàn)為的中點，又，是等腰直角三角形正確，四邊形的面積為，四邊形的面積為16，為定值正確延長到G使，連接，在中，正確均正確，故選A【點評】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和三角形的三邊關系，掌握構造全等三角形的方法是解決的關鍵6【解析】【分析】延長、交于點，連接FC，先依據(jù)全等的判定和性質(zhì)得到，依據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，依據(jù)平行四邊形的對邊相等及等量代換得到，依據(jù)三角形等邊對等角得到、，依據(jù)三角形內(nèi)角和得到，通過作差即得所求.【詳解】解：延長、交于點，連接FC，平行四邊形中，,，,

10、又點為邊中點，得,(ASA)，,故答案為：.【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形等邊對等角、三角形內(nèi)角和，解題的關鍵是構造直角三角形.7；【解析】【分析】延長至使，連接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根據(jù)已知線段長度建立等量關系計算【詳解】如圖：延長至使，連接在和中： 即【點評】倍長中線是常見的輔助線、全等中相關的角的代換是解決本題的關鍵8【解析】【分析】延長BE交CD于點F，證，則BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中運用勾股定理求出BF長即可.【詳解】解：延長BE交CD于點F,AB平行CD，則A=EDC，ABE=DFE，

11、又E為AD上的中點，BE=EF,所以.在直角三角形BCF中，BF=.【點評】本題的關鍵是作輔助線，構造三角形全等，找到線段的關系，然后運用勾股定理求解.930°【解析】【分析】利用“中線倍長法”構造全等三角形，進而得出等腰三角形，再通過作等腰三角形的高，依據(jù)銳角三角函數(shù)可求出答案【詳解】解：延長CD到E，使DECD，連接BE，過E點作EFBC，垂足為F，D是AB的中點，ADBD，又ADCBDE，DEDC，ADCBDE（SAS），ACBE，CD：AC：BC1：2：2，設CDm，則AC2mBECE，F(xiàn)CFBBCm，在RtCEF中，cosFCE，F(xiàn)CE30°，即BCD30

12、6;，故答案為：30°【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)等知識，理解直角三角形的邊角關系是正確計算的前提10【解析】【分析】延長AD到E使DE=AD=7，連接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如圖，先證明ADBEDC得到EC=AB=10，再利用AEF為等腰直角三角形計算出AF=EF=7，則根據(jù)勾股定理可計算出CF，從而得到AC=6，接著利用ACH為等腰直角三角形得到AH=CH=6，然后利用勾股定理計算出CD，從而得到BC的長【詳解】延長AD到E使DE=AD=7，連接CE，作EFAC于F，作CHAD于H，如圖，AD是中線，BD=CD在ADB和E

13、DC中，ADBEDC（SAS），EC=AB=10在RtAEF中，DAC=45°，AE=14，AF=EFAE=7在RtCEF中，CF，AC=AFCF=6在RtACH中，HAC=45°，AH=CHAC=6，DH=ADAH=1在RtCDH中，CD，BC=2CD=故答案為【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：熟練掌握三角形高、中線的定義；構造等腰直角三角形是解答此題的關鍵116【解析】【分析】延長AD，過點C作于點F，證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到【詳解】解：如圖，延長AD，過點C作于點F，AD是的中線，在和中，即點C到AD的距離是6【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定

14、，解題的關鍵是利用倍長中線的方法做輔助線構造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)求解12（1）；（2）AE2+BF2EF2，證明見解析【解析】【分析】（1）由三角形的中位線定理得DEBC，DEBC，進而證明四邊形CEDF是矩形得DECF，得出CF，再根據(jù)勾股定理得結(jié)果；（2）過點B作BMAC，與ED的延長線交于點M，連接MF，證明ADEBDM得AEBM，DEDM，由垂直平分線的判定定理得EFMF，進而根據(jù)勾股定理得結(jié)論【詳解】解：（1）D是AB的中點，E是線段AC的中點，DEBC，DEBC，ACB90°，DEC90°，DFDE，EDF90°，四邊形CEDF是矩形，DE

15、CFBC，CFBF1，CEAE2，EF；（2）AE2+BF2EF2證明：過點B作BMAC，與ED的延長線交于點M，連接MF，則AEDBMD，CBMACB90°，D點是AB的中點，ADBD，在ADE和BDM中，ADEBDM（AAS），AEBM，DEDM，DFDE，EFMF，BM2+BF2MF2，AE2+BF2EF2【點評】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂直平分線的判定，關鍵在于構造全等三角形13詳見解析【解析】【分析】延長AD到M，使DM=AD，連接BM，根據(jù)SAS推出BDMCDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=AC，CAD=M，根據(jù)BF=AC可得B

16、F=BM，推出BFM=M，求出AFE=EAF即可【詳解】如圖，延長至點，使得，并連結(jié)，是三角形的中線，在和中，即【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的運用性質(zhì)進行推理的能力，關鍵是能根據(jù)“倍長中線”法作出輔助線來構造全等三角形14（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）由同角的余角相等證得及即可得出結(jié)論；（2）先由特殊角的三角函數(shù)值求出、，再由相似比求出，并進一步得出，最后由面積公式得出與的函數(shù)關系式；（3）利用是邊的中點構造三角形全等，再由勾股定理探究、三者之間的數(shù)量關系.【詳解】（1）.證明：，.，.（2）在中，.是邊的中點，.在中，.又，

17、.由（1）得；，即，.（3）.理由如下：如圖2，延長，使.是的中點，.，.，則.，.【點評】本題以直角三角形為載體，以旋轉(zhuǎn)變換為切入點考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等核心知識，滲透數(shù)形結(jié)合、運動變化、函數(shù)方程等數(shù)學思想，檢測探究、推理、運算等能力.15（1）且理由見解析；（2）成立，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得出、三點共線，然后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可證明，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得出，從而證明；（2）延長至，使，連接交于，連接、，首先通過SAS證明，從而利用全等三角形的性質(zhì)及平行線的判定證明，進而可利用正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)證明，從而可證明結(jié)論仍然成立；（3）連接，首先根據(jù)題意確定當、，在同一直線上時，