高三一輪復習精題組 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)(有詳細答案)

1、§2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1對數(shù)的概念如果axN(a>0且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中_a_叫做對數(shù)的底數(shù)，_N_叫做真數(shù)2對數(shù)的性質與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logamMnlogaM.(2)對數(shù)的性質alogaN_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式：logbN (a，b均大于零且不等于1)；logab，推廣logab·logbc·

2、;logcdlogad.3對數(shù)函數(shù)的圖象與性質4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線_yx_對稱1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若log2(log3x)log3(log2y)0，則xy5.()(2)2log510log50.255.(×)(3)已知函數(shù)f(x)lg x，若f(ab)1，則f(a2)f(b2)2.()(4)log2x22log2x.(×)(5)當x>1時，logax>0.(×)(6)當x>1時，若logax>logbx，則a<b.(×)2(

3、2013·課標全國)設alog36，blog510，clog714，則()Ac>b>a Bb>c>aCa>c>b Da>b>c答案D解析alog361log321，blog5101log521，clog7141log721，顯然a>b>c.3(2013·浙江)已知x，y為正實數(shù)，則()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x·2lg yC2lg x·lg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x·2lg y答案D解析2lg x·2lg y

4、2lg xlg y2lg(xy)故選D.4函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調增區(qū)間是_答案(，)解析函數(shù)f(x)的定義域為(，)，令t2x1(t>0)因為ylog5t在t(0，)上為增函數(shù)，t2x1在(，)上為增函數(shù)，所以函數(shù)ylog5(2x1)的單調增區(qū)間是(，)5已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0，)上為增函數(shù)，f0，則不等式f(logx)>0的解集為_答案(2，)解析f(x)是R上的偶函數(shù)，它的圖象關于y軸對稱f(x)在0，)上為增函數(shù)，f(x)在(，0上為減函數(shù)，由f0，得f0.f(logx)>0logx<或logx>x>2或0<x&l

5、t;，x(2，).題型一對數(shù)式的運算例1(1)若xlog43，則(2x2x)2等于()A. B. C. D.(2)已知函數(shù)f(x)則f(f(1)f(log3)的值是()A5 B3 C1 D.思維啟迪(1)利用對數(shù)的定義將xlog43化成4x3；(2)利用分段函數(shù)的意義先求f(1)，再求f(f(1)；f(log3)可利用對數(shù)恒等式進行計算答案(1)D(2)A解析(1)由xlog43，得4x3，即2x，2x，所以(2x2x)2()2.(2)因為f(1)log210，所以f(f(1)f(0)2.因為log3<0，所以f(log3)3log313log321213.所以f(f(1)f(log3)

6、235.思維升華在對數(shù)運算中，要熟練掌握對數(shù)式的定義，靈活使用對數(shù)的運算性質、換底公式和對數(shù)恒等式對式子進行恒等變形，多個對數(shù)式要盡量化成同底的形式已知函數(shù)f(x)則f(2log23)的值為_答案解析因為2log23<4，所以f(2log23)f(3log23)，而3log23>4，所以f(3log23)()3log23×()log23×.題型二對數(shù)函數(shù)的圖象和性質例2(1)函數(shù)y2log4(1x)的圖象大致是()(2)已知f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上是增函數(shù)，設af(log47)，bf(log3)，cf(0.20.6)，則a，b，c的大小關系

7、是()Ac<a<b Bc<b<aCb<c<a Da<b<c思維啟迪(1)結合函數(shù)的定義域、單調性、特殊點可判斷函數(shù)圖象；(2)比較函數(shù)值的大小可先看幾個對數(shù)值的大小，利用函數(shù)的單調性或中間值可達到目的答案(1)C(2)B解析(1)函數(shù)y2log4(1x)的定義域為(，1)，排除A、B；又函數(shù)y2log4(1x)在定義域內單調遞減，排除D.選C.(2)log3log23log49，bf(log3)f(log49)f(log49)，log47<log49,0.20.6>2>log49，又f(x)是定義在(，)上的偶函數(shù)，且在(，0上

8、是增函數(shù)，故f(x)在0，)上是單調遞減的，f(0.20.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.思維升華(1)函數(shù)的單調性是函數(shù)最重要的性質，可以用來比較函數(shù)值的大小，解不等式等；(2)函數(shù)圖象可以直觀表示函數(shù)的所有關系，充分利用函數(shù)圖象解題也體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想(1)已知a21.2，b0.8，c2log52，則a，b，c的大小關系為()Ac<b<a Bc<a<bCb<a<c Db<c<a(2)已知函數(shù)f(x)loga(xb) (a>0且a1)的圖象過兩點(1，0)和(0,1)，則a_，b_.答案(1

9、)A(2)22解析(1)b0.820.8<21.2a，c2log52log522<log551<20.8b，故c<b<a.(2)f(x)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)則f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1，即.題型三對數(shù)函數(shù)的應用例3已知函數(shù)f(x)loga(3ax)(1)當x0,2時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由思維啟迪f(x)恒有意義轉化為“恒成立”問題，分離參數(shù)a來解決；探究a是否存在，可從單調

10、性入手解(1)a>0且a1，設t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數(shù)，x0,2時，t(x)最小值為32a，當x0,2時，f(x)恒有意義，即x0,2時，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函數(shù)t(x)為減函數(shù)，f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，ylogat為增函數(shù)，a>1，x1,2時，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，即，故不存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù)，并且最大值為1.思維升華解決對數(shù)函數(shù)綜合問題時，無論是討論函數(shù)的性質，還是利用函數(shù)

11、的性質(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a(0,1)，還是a(1，)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質或利用函數(shù)的某個性質，都要在其定義域上進行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論f(x)的單調性；(3)求f(x)在區(qū)間，2上的值域解(1)由4x1>0，解得x>0，因此f(x)的定義域為(0，)(2)設0<x1<x2，則0<4x11<4x21，因此log4(4x11)<log4(4x21)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，)上遞增(3)f

12、(x)在區(qū)間，2上遞增，又f()0，f(2)log415，因此f(x)在，2上的值域為0，log415利用函數(shù)性質比較冪、對數(shù)的大小典例：(15分)(1)設a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關系是()Aa>b>c Ba<b<cCb<a<c Da<c<bAa>b>c Bb>a>cCa>c>b Dc>a>b(3)已知函數(shù)yf(x)的圖象關于y軸對稱，且當x(，0)時，f(x)xf(x)<0成立，a(20.2)·f(20.2)，b(log3)·

13、;f(log3)，c(log39)·f(log39)，則a，b，c的大小關系是()Ab>a>c Bc>a>bCc>b>a Da>c>b思維啟迪(1)利用冪函數(shù)yx0.5和對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調性，結合中間值比較a，b，c的大??；(2)化成同底的指數(shù)式，只需比較log23.4、log43.6、log30.3log3的大小即可，可以利用中間值或數(shù)形結合進行比較；(3)先判斷函數(shù)(x)xf(x)的單調性，再根據(jù)20.2，log3，log39的大小關系求解解析(1)根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調性，可得0.30.5<0.50.5<

14、;10.51，即b<a<1；根據(jù)對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.方法一在同一坐標系中分別作出函數(shù)ylog2x，ylog3x，ylog4x的圖象，如圖所示由圖象知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.(3)因為函數(shù)yf(x)

15、關于y軸對稱，所以函數(shù)yxf(x)為奇函數(shù)因為xf(x)f(x)xf(x)，且當x(，0)時，xf(x)f(x)xf(x)<0，則函數(shù)yxf(x)在(，0)上單調遞減；因為yxf(x)為奇函數(shù)，所以當x(0，)時，函數(shù)yxf(x)單調遞減因為1<20.2<2,0<log3<1，log392，所以0<log3<20.2<log39，所以b>a>c，選A.答案(1)C(2)C(3)A溫馨提醒(1)比較冪、對數(shù)的大小可以利用數(shù)形結合和引入中間量利用函數(shù)單調性兩種方法(2)解題時要根據(jù)實際情況來構造相應的函數(shù)，利用函數(shù)單調性進行比較，如果指數(shù)

16、相同，而底數(shù)不同則構造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.方法與技巧1對數(shù)函數(shù)的定義域及單調性在對數(shù)式中，真數(shù)必須是大于0的，所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應為x|x>0對數(shù)函數(shù)的單調性和a的值有關，因而，在研究對數(shù)函數(shù)的單調性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論2比較冪、對數(shù)大小有兩種常用方法：(1)數(shù)形結合；(2)找中間量結合函數(shù)單調性3多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題，可通過圖象與直線y1交點的橫坐標進行判定失誤與防范1在運算性質logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應為logaMloga|M|(N，且為

17、偶數(shù))2指數(shù)函數(shù)yax (a>0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，且a1)互為反函數(shù)，應從概念、圖象和性質三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別3解決與對數(shù)函數(shù)有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數(shù)的定義域；(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值A組專項基礎訓練一、選擇題1函數(shù)y的定義域是()Ax|0<x<2 Bx|0<x<1或1<x<2Cx|0<x2 Dx|0<x<1或1<x2答案D解析要使函數(shù)有意義只需要，解得0<x<1或1<x2，定義域為x|0<x<1或1<x22函數(shù)ylg|x1|的圖象

18、是()答案A解析ylg|x1|.A項符合題意3已知xln ，ylog52，ze，則()Ax<y<z Bz<x<yCz<y<x Dy<z<x答案D解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.ze>，<z<1.綜上可得，y<z<x.4 A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)答案Ca>1或1<a<0.5函數(shù)f(x)loga(ax3)在1,3上單調遞增，則a的取值范圍是()A(1，) B(0,1)C. D(3，

19、)答案D解析由于a>0，且a1，uax3為增函數(shù)，若函數(shù)f(x)為增函數(shù)，則f(x)logau必為增函數(shù)，因此a>1.又yax3在1,3上恒為正，a3>0，即a>3，故選D.二、填空題67已知函數(shù)f(x)則使函數(shù)f(x)的圖象位于直線y1上方的x的取值范圍是_答案x|1<x0或x>2解析當x0時，3x1>1x1>0，1<x0；當x>0時，log2x>1x>2，x>2.綜上所述，x的取值范圍為1<x0或x>2.8若log2a<0，則a的取值范圍是_答案解析當2a>1時，log2a<0log

20、2a1，<1.1a>0，1a2<1a，a2a<0，0<a<1，<a<1.當0<2a<1時，log2a<0log2a1，>1.1a>0，1a2>1a，a2a>0，a<0或a>1，此時不合題意綜上所述，a.三、解答題9已知函數(shù)f(x)loga(x1)loga(1x)，a>0且a1.(1)求f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明；(3)當a>1時，求使f(x)>0的x的解集解(1)要使函數(shù)f(x)有意義則解得1<x<1.故所求函數(shù)f(x)的定義域為x|1

21、<x<1(2)由(1)知f(x)的定義域為x|1<x<1，且f(x)loga(x1)loga(1x)loga(x1)loga(1x)f(x)，故f(x)為奇函數(shù)(3)因為當a>1時，f(x)在定義域x|1<x<1內是增函數(shù)，所以f(x)>0>1，解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的解集是x|0<x<110設x2,8時，函數(shù)f(x)loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a1)的最大值是1，最小值是，求a的值解由題意知f(x)(logax1)(logax2)(logx3logax2)(

22、logax)2.當f(x)取最小值時，logax.又x2,8，a(0,1)f(x)是關于logax的二次函數(shù)，函數(shù)f(x)的最大值必在x2或x8時取得若(loga2)21，則a2，2,8，舍去若(loga8)21，則a，此時f(x)取得最小值時，x()22,8，符合題意，a.B組專項能力提升1設f(x)lg是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)答案A解析由f(x)是奇函數(shù)可得a1，f(x)lg，定義域為(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.2設函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，f(2x)f(x)，且當x1時，f(x)ln x，則有()Af()<f(2)<f()Bf()<f(2)<f()Cf()<f()<f(2)Df(2)<f()<f()答案C解析由f(2x)f(x)知f(x)的圖象關于直線x1對稱，又當x1時，f(x)ln x，所以