高等流體力學(xué)-第三講

1、1第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解本講主要內(nèi)容本講主要內(nèi)容（以平面流動為例）（以平面流動為例）一、問題概述一、問題概述二、歐拉方程的求解（有勢流動的基本理論）二、歐拉方程的求解（有勢流動的基本理論）三、邊界層內(nèi)運動的解析解法三、邊界層內(nèi)運動的解析解法2第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解一、問題概述一、問題概述1、大雷諾數(shù)近似下的歐拉方程（、大雷諾數(shù)近似下的歐拉方程（Eulers Equations）NS方程，用相對值表示為無量綱形式，其中參考量選擇如下：方程，用相對值表示為無量綱形式，其中參考量選擇如下：理論：在理論：在20世紀

2、前已比較完善；世紀前已比較完善； 成果：流場，升力。成果：流場，升力。問題：阻力（達朗伯佯謬問題：阻力（達朗伯佯謬DAlemberts Paradox）；無滑動條件。）；無滑動條件。L長度：長度：U速度：速度：p壓強：壓強：時間：時間：ULT/vRpEfFvvtveur 11當(dāng)：當(dāng)：1 LURe時，有：時，有：pfvvtv 10 v歐拉方程：歐拉方程：（Hydrodynamics）3第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解2、邊界層內(nèi)流動的量級分析、邊界層內(nèi)流動的量級分析邊界層方程邊界層方程 （1）邊界層的提出）邊界層的提出通過流場顯示結(jié)果，通過流場顯示結(jié)果，Pran

3、dtl （1904）提出邊界層理論。）提出邊界層理論。邊界層外，流動有勢，滿足歐拉方程；邊界層外，流動有勢，滿足歐拉方程；邊界層內(nèi)，粘性運動，剪切層產(chǎn)生旋渦；邊界層內(nèi)，粘性運動，剪切層產(chǎn)生旋渦；漩渦的粘性擴散與對流傳輸漩渦的粘性擴散與對流傳輸漩渦僅限于邊界層內(nèi)；漩渦僅限于邊界層內(nèi)；邊界層圖邊界層圖eLR1 邊界層的尺度：邊界層的尺度： ULReL其中：其中：在在2020C C時，時，U=1m/s,U=1m/s,L=1mL=1m，=10=10-6-6 m m2 2/s/s；水：水：Re10Re106 6；空氣：空氣：Re6.7X10Re6.7X104 44第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解

4、大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）邊界層內(nèi)）邊界層內(nèi)NS方程的量級分析方程的量級分析U速度：速度：p壓強：壓強：長度長度 x 方向：方向：LL Y方向：方向：UvvLyyLxxUuu , , ,其中：其中：0yvxu1）連續(xù)方程）連續(xù)方程Uv 注意注意v v的量級：的量級：5第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）邊界層內(nèi)）邊界層內(nèi)NS方程的量級分析方程的量級分析U速度：速度：p壓強：壓強：長度長度 x 方向：方向：LL Y方向：方向： LURUppe ,2其中：其中：)1(122222yuxuRxpyuvxuue 2）運動方程）運動方程222221 yuxu 由

5、此得：由此得：)1(11 2oRe 及及eR1 即：即：6第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）邊界層內(nèi)）邊界層內(nèi)NS方程的量級分析方程的量級分析U速度：速度：p壓強：壓強：長度長度 x 方向：方向：LL Y方向：方向：)1(122222yvxvRypyvvxvue 2）運動方程，同理可得）運動方程，同理可得0yp由此得：由此得：或：或：)1(2222242yvxvypyvvxvu 7第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（3）邊界層方程）邊界層方程按有量綱形式的方程表示按有量綱形式的方程表示定解條件定解條件Uv 其中：其中：eR1

6、 0yvxu221yudxdpyuvxuu 0yp0),( , 0),( , 0 yxvyxuy在邊壁上：在邊壁上：),(),( ),(),( ),( yxpyxpyxUyxuxyEE 在邊界層界面上：在邊界層界面上：8第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解3、歐拉方程與邊界層方程的銜接條件、歐拉方程與邊界層方程的銜接條件),(),( ),(),( ),( yxpyxpyxUyxuxyEE 在邊界層界面上有：在邊界層界面上有：)(),(lim),(lim )(),(lim),(lim 00yxpyxpyxpxUyxUyxuEEyyEEy可表示為：可表示為：（銜接條件

7、）（銜接條件）) 0 ,( xpdxdUUEEE 對平面繞流邊界靜止不動的問題，有對平面繞流邊界靜止不動的問題，有v v（x,0 x,0）=0=0，由，由x x方向方向的歐拉方程，可確定邊界層壓強值，即：當(dāng)?shù)臍W拉方程，可確定邊界層壓強值，即：當(dāng) y0y0：0yvxu22)()(yudxxdUxUyuvxuuEE 邊界層方程：邊界層方程：9第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解4、大雷諾數(shù)問題解決步驟、大雷諾數(shù)問題解決步驟（1）求解無邊界層的歐拉方程，得到邊界層外整個流場的）求解無邊界層的歐拉方程，得到邊界層外整個流場的速度分布、壓強分布；速度分布、壓強分布；（2）確

8、定物體所受的升力值，及）確定物體所受的升力值，及（3）壁面上的速度值和壓強值；）壁面上的速度值和壓強值；（4）計算邊界層內(nèi)的速度分布；）計算邊界層內(nèi)的速度分布；（5）確定邊界層厚度（可用于對歐拉計算的邊界修整）確定邊界層厚度（可用于對歐拉計算的邊界修整） ，（6）結(jié)算壁面剪應(yīng)力分布，計算壁面的阻力值。）結(jié)算壁面剪應(yīng)力分布，計算壁面的阻力值。10第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解二、歐拉方程的求解二、歐拉方程的求解勢流理論勢流理論1、基本方程與定界條件、基本方程與定界條件重力場中的恒定的平面流動：重力場中的恒定的平面流動：0 , 0 , zt kgf0yvxuxp

9、yuvxuu 1ypyvvxvu 1基本方程：基本方程：ppU ,v在無窮遠處：在無窮遠處：在物面上：在物面上：),(vvyxnn(n)B當(dāng)物體靜止時：當(dāng)物體靜止時：0vnn定解條件：定解條件：11第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解2、勢函數(shù)、勢函數(shù) (x,y)(x,y)當(dāng)流動無旋時，有：當(dāng)流動無旋時，有：上式稱為上式稱為LaplaceLaplace方程，為線性方程，解可疊加。方程，為線性方程，解可疊加。對無旋流動的空間問題，也存在勢函數(shù)對無旋流動的空間問題，也存在勢函數(shù) (x,y,z)(x,y,z)，滿足，滿足LaplaceLaplace方程。方程。0 vvr

10、ot對平面問題：對平面問題：0 yuxv),(yx 令令滿足滿足0 , , yvxuv ),(yx 必滿足無旋條件（必滿足無旋條件（有勢必?zé)o旋有勢必?zé)o旋）代入連續(xù)方程代入連續(xù)方程0 2222yx 12第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解3、拉格朗日與伯努利方程（積分）、拉格朗日與伯努利方程（積分）（1）蘭姆）蘭姆葛羅米柯（葛羅米柯（Lamb-pombiko）方程）方程（2）力勢函數(shù)與壓力勢函數(shù)）力勢函數(shù)與壓力勢函數(shù)對重力場和不可壓流體：對重力場和不可壓流體：pfvvtv 1對歐拉方程：對歐拉方程：)(22vvvvv由矢量恒等式由矢量恒等式可得可得蘭姆蘭姆葛羅米柯型

11、方程葛羅米柯型方程pfvvvtv 1)(22pf 1 , pgz ,13第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（3）拉格朗日方程）拉格朗日方程將：將： 在恒定流條件下，有：在恒定流條件下，有：拉格朗日方程適用條件：運動無旋。拉格朗日方程適用條件：運動無旋。常數(shù)常數(shù)c c適用于整個流場適用于整個流場。)(2)(2vvvt 代入蘭姆方程：代入蘭姆方程： v )(2 , 0)2(22tcpgzvtvt 得拉格朗日方程：得拉格朗日方程：cpgzv 2214第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（4）伯努利方程）伯努利方程在運動為恒定條件下，蘭姆方

12、程為：在運動為恒定條件下，蘭姆方程為：伯努利方程的適用條件：定常流動伯努利方程的適用條件：定常流動。由此可知，可將求解歐拉方程問題轉(zhuǎn)化為：由此可知，可將求解歐拉方程問題轉(zhuǎn)化為：1 1）由）由LaplaceLaplace方程求出方程求出；2 2）由勢函數(shù)求速度場）由勢函數(shù)求速度場 u u、v v、w w；3 3）由拉格朗日或伯努利方程求壓強場。）由拉格朗日或伯努利方程求壓強場。)(22vvv沿流線積分，得伯努利方程：沿流線積分，得伯努利方程：)(22 cpgzv15第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解4、流函數(shù)、流函數(shù)(x,y)(x,y)0yvxu由平面連續(xù)方程：由

13、平面連續(xù)方程：引入引入(x,y) (x,y) 滿足：滿足：xvyu ,當(dāng)流動無旋時，當(dāng)流動無旋時，(x,y) (x,y) 滿足滿足LaplceLaplce方程：方程：0 2222yx 注意：注意：1 1）流函數(shù)僅存在于平面流動或軸對稱流動問題；）流函數(shù)僅存在于平面流動或軸對稱流動問題； 2 2）無論流動是否無旋，流函數(shù)都存在。但只有滿）無論流動是否無旋，流函數(shù)都存在。但只有滿足無旋流動條件，才能滿足足無旋流動條件，才能滿足LaplaceLaplace方程。方程。16第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解5、流函數(shù)與勢函數(shù)的一些特性、流函數(shù)與勢函數(shù)的一些特性（1）流函

14、數(shù)）流函數(shù)(x,y)=const(x,y)=const，表示流線；，表示流線；（2 2）兩流函數(shù)之差表示通過兩流線間的流量值；）兩流函數(shù)之差表示通過兩流線間的流量值；（3 3）流線與等勢線正交；）流線與等勢線正交；（4 4）速度勢函數(shù)）速度勢函數(shù) (x,y)(x,y)不能在域內(nèi)有極大值與極小值；不能在域內(nèi)有極大值與極小值；（5 5）流體質(zhì)點的速度的模在流域中不能達到極值；）流體質(zhì)點的速度的模在流域中不能達到極值；（6 6）壓強在域內(nèi)不能出現(xiàn)極小值；）壓強在域內(nèi)不能出現(xiàn)極小值；（7 7）在單連同域內(nèi)，）在單連同域內(nèi)，(x,y)(x,y)、 (x,y)(x,y)是單值函數(shù)，再多連同域內(nèi)是單值函數(shù)，

15、再多連同域內(nèi)可以是多值函數(shù)?？梢允嵌嘀岛瘮?shù)。 其中：其中：QQ通過多連通域封閉曲線的流量；通過多連通域封閉曲線的流量； 沿多連通域封閉曲線的速度環(huán)量；沿多連通域封閉曲線的速度環(huán)量； m m 環(huán)繞多輛通域的次數(shù)數(shù)。環(huán)繞多輛通域的次數(shù)數(shù)。mP mQP 17第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解6、有勢流動的主要性質(zhì)、有勢流動的主要性質(zhì)（1）凱爾文定理（）凱爾文定理（Kelvins Theorem）理想正壓流體在有勢力場中運動時，連續(xù)流場中沿封閉流體線的速理想正壓流體在有勢力場中運動時，連續(xù)流場中沿封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間而變化。度環(huán)量不隨時間而變化。（2）拉格朗日）

16、拉格朗日渦量不生不滅定理渦量不生不滅定理理想正壓流體在有勢力場中運動時，如某一時刻連續(xù)流場中無旋，理想正壓流體在有勢力場中運動時，如某一時刻連續(xù)流場中無旋，則流場始終無旋。則流場始終無旋。（3）亥姆霍茨（）亥姆霍茨（Helmholtz）渦管、渦線保持定理渦管、渦線保持定理理想正壓流體在有勢力場中運動時，滿足：理想正壓流體在有勢力場中運動時，滿足：1）組成渦面的流體質(zhì)點永遠組成渦面；）組成渦面的流體質(zhì)點永遠組成渦面；2）組成渦線的流體質(zhì)點永遠組成渦線；）組成渦線的流體質(zhì)點永遠組成渦線；3）組成渦管的流體質(zhì)點永遠組成渦管，且其強度不隨時間而變。）組成渦管的流體質(zhì)點永遠組成渦管，且其強度不隨時間而變

17、。0DtD18第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解7、平面有勢流動問題的復(fù)勢方法、平面有勢流動問題的復(fù)勢方法奇點疊加法奇點疊加法（1）定常平面有時流動的）定常平面有時流動的Laplace方程的求解方程的求解1）求解勢函數(shù)）求解勢函數(shù)2）求解流函數(shù)）求解流函數(shù)0 2222yx 0 2222yx vyux ,在無窮遠處：在無窮遠處：在物面上：在物面上：0n 定解條件：定解條件：vxuy ,在無窮遠處：在無窮遠處：在物面上：在物面上：cost 定解條件：定解條件：19第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）復(fù)勢及其與有勢流動各量間的關(guān)系）

18、復(fù)勢及其與有勢流動各量間的關(guān)系1）復(fù)勢的定義）復(fù)勢的定義uyx vxy 0 2 0 2 為調(diào)和函數(shù)；為調(diào)和函數(shù)；且滿足：且滿足：柯西柯西黎曼條件（黎曼條件（CauchyRiemann）構(gòu)造復(fù)變函數(shù)構(gòu)造復(fù)變函數(shù)),(),()( yxiyxzf 是解析復(fù)變函數(shù)。是解析復(fù)變函數(shù)。其中：其中：1 , iiyxz20第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解2）用復(fù)勢表示有勢流動各物理量）用復(fù)勢表示有勢流動各物理量 f(z)=constf(z)=const，表示等勢線和流線簇，表示等勢線和流線簇 復(fù)速度與復(fù)勢的關(guān)系復(fù)速度與復(fù)勢的關(guān)系 封閉曲線的的環(huán)量與通過的流量與復(fù)勢的關(guān)系封閉曲

19、線的的環(huán)量與通過的流量與復(fù)勢的關(guān)系constyxiyxzf),(),()( ),( ,),( constyxconstyx iUedzdf iUedzdf 2 UdzdfdzdfiQdzdzdfl 21第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 柱體所受流體作用力、力矩與復(fù)勢的關(guān)系柱體所受流體作用力、力矩與復(fù)勢的關(guān)系dzdzdfiiRRLyx221 UR 作用力：作用力：RedzdzdfzML221 作用力矩：作用力矩：22第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（3）復(fù)勢的確定）復(fù)勢的確定奇點疊加法奇點疊加法1）步驟）步驟 研究基本復(fù)數(shù)函數(shù)所

20、表示的流場；研究基本復(fù)數(shù)函數(shù)所表示的流場； 通過基本復(fù)勢的疊加，構(gòu)造滿足物面邊界條件的流場。通過基本復(fù)勢的疊加，構(gòu)造滿足物面邊界條件的流場。物面是一條流線。物面是一條流線。 通過邊界條件（通過邊界條件（Q Q、）確定待定常數(shù)。確定待定常數(shù)。 計算流場速度、壓強分布。計算流場速度、壓強分布。 計算物體所受的力。計算物體所受的力。2 2）基本復(fù)變函數(shù)所表示的流場）基本復(fù)變函數(shù)所表示的流場 均勻流均勻流 f(z) = cz = c(x+iy)f(z) = cz = c(x+iy)其中：其中：c c是復(fù)常數(shù)。是復(fù)常數(shù)。均勻流圖示均勻流圖示23第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題

21、的求解 源、匯流源、匯流a a為實數(shù)，為實數(shù)，a0 a0 ：源；：源；a0 a0 a0 ：環(huán)量逆時針轉(zhuǎn)動；：環(huán)量逆時針轉(zhuǎn)動； a0 a0 ：環(huán)量順時針轉(zhuǎn)動。：環(huán)量順時針轉(zhuǎn)動。ziazfln)(zazfln)(源匯流圖示源匯流圖示點渦流圖示點渦流圖示柱坐標(biāo)表示的速度柱坐標(biāo)表示的速度關(guān)系關(guān)系 rrurrru 24第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 偶極子與無環(huán)量圓柱繞流偶極子與無環(huán)量圓柱繞流偶極子偶極子 無環(huán)量圓柱繞流無環(huán)量圓柱繞流zMzf12)( zMzUzf12)( 偶極子圖示偶極子圖示 QM2其中：其中：偶極強度或偶極矩，偶極強度或偶極矩，方向以方向以Q至至

22、Q。圓柱繞流圖示圓柱繞流圖示UMa 22其中圓柱半徑：其中圓柱半徑：25第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（4）復(fù)勢確定的鏡像法）復(fù)勢確定的鏡像法1 1）平面鏡像）平面鏡像2 2）圓周鏡像）圓周鏡像其中其中)()()(2zafzfzg平面鏡像圖示平面鏡像圖示圓周鏡像圖示圓周鏡像圖示 a a：圓周半徑，：圓周半徑，)(2zaf 表示在復(fù)數(shù)中除變量表示在復(fù)數(shù)中除變量z z外對所有復(fù)數(shù)量取共軛。外對所有復(fù)數(shù)量取共軛。26第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（5）復(fù)勢確定的保角變換法）復(fù)勢確定的保角變換法1）保角變換）保角變換解析函數(shù)變換過

23、程中兩線段的夾角不變，解析函數(shù)變換過程中兩線段的夾角不變，長短可變。長短可變。2）變換思路）變換思路 找到一解析函數(shù)找到一解析函數(shù)=g(z)=g(z)，將物理平面，將物理平面D D中的曲線中的曲線L L變換到變換到映射平面映射平面DD中的圓周中的圓周LL； 在映射平面在映射平面DD中求出圓周繞流的復(fù)勢中求出圓周繞流的復(fù)勢F(F() )； 通過通過z=gz=g-1-1( () )的反函數(shù)將所求得的的反函數(shù)將所求得的F(F() )變換到物理平面變換到物理平面中得到中得到f(z)f(z)； 已知復(fù)勢后其它各量可求。已知復(fù)勢后其它各量可求。保角變換圖示保角變換圖示27第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題

24、的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解三、邊界層內(nèi)流體運動量的解析解法三、邊界層內(nèi)流體運動量的解析解法1、邊界層（、邊界層（Boundary Thickness）的定義）的定義（1）邊界層厚度（名義厚度）邊界層厚度（名義厚度）(x)(x)在在x x處的邊界層厚度定義為處的邊界層厚度定義為u(x,y)=0.99Uu(x,y)=0.99UE E(x)(x)所對應(yīng)的所對應(yīng)的y y值。值。存在的問題：存在的問題： (x)(x)難以準(zhǔn)確測定。難以準(zhǔn)確測定。（2 2）位移厚度（排擠厚度）位移厚度（排擠厚度Displacement ThichnessDisplacement Thichness） d d(x)(x

25、)由于邊界層的影響，對應(yīng)于由于邊界層的影響，對應(yīng)于x x處通過邊界層處通過邊界層(x)(x)的流體質(zhì)量，無邊的流體質(zhì)量，無邊界層所需尺度為界層所需尺度為 (x)- (x)- d d(x)(x)。)(0),()()()(xdEdyyxuxxxU 即：即：得：得：)(0)(),(1)()(xEEddyxUyxuxUx 28第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 （3 3）動量損失厚度（）動量損失厚度（Moment ThichnessMoment Thichness） M M(x)(x)由于邊界層的影響，對應(yīng)于由于邊界層的影響，對應(yīng)于x x處，無邊界層通過尺度為處，無邊界

26、層通過尺度為 (x)- (x)- d d(x)(x)，其動量通量與通過邊界層其動量通量與通過邊界層(x)(x)的動量通量之差成為動量損失。的動量通量之差成為動量損失。定義動量損失厚度：定義動量損失厚度：)(02)1 ()(xEEEMdyUuUuUMx )(022),()()()(xdEdyyxuxxxUM 即動量損失：即動量損失：)(02)(xdEEdyuUU )(02)(0 xxEdyuudyU )(0)1 (xEEdyUuuU 有定義可知：有定義可知：)()(xxdM 位移與動量厚度圖示位移與動量厚度圖示29第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解2、平面定常邊界

27、層方程、平面定常邊界層方程0yvxu22)()(yudxxdUxUyuvxuuEE 0) 0 ,( , 0) 0 ,( , 0 xvxuy)(),(,xUyxuyE所給問題是適定的。所給問題是適定的。30第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解3、邊界層方程的相似解、邊界層方程的相似解（1）相似解的概念）相似解的概念對邊界層速度對邊界層速度u(x,y)存在適當(dāng)變換，使得每個橫斷面上的存在適當(dāng)變換，使得每個橫斷面上的u(x,y)經(jīng)過變換后的分布都相同，即：經(jīng)過變換后的分布都相同，即：通過相似變換，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。通過相似變換，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。

28、)()()(/,)()(/,222111 fxUxgyxuxUxgyxuEE)( xgy 相似參數(shù)相似參數(shù)31第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）相似解存在條件）相似解存在條件當(dāng)流動無特征長度（繞流邊界無限長），邊界層外速度當(dāng)流動無特征長度（繞流邊界無限長），邊界層外速度UE(x) = cxm，即為冪級數(shù)時就存在相似解。，即為冪級數(shù)時就存在相似解。其中其中、必須為常系數(shù)。必須為常系數(shù)。（3 3）相似解求解方法）相似解求解方法引入流函數(shù)引入流函數(shù) 引入流函數(shù)，使得對兩個變量（引入流函數(shù)，使得對兩個變量（u u、v v）的方程組轉(zhuǎn)化為對一個）的方程組轉(zhuǎn)化為對一個

29、相似參數(shù)相似參數(shù)的常微分方程。的常微分方程。EUxxg/)2()( xUyxgyE2)()()()( fxgxUE32第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（4）邊界層相似方程）邊界層相似方程將所定義的流函數(shù)代入可得：將所定義的流函數(shù)代入可得：其中：其中：U UE Egg為對為對x x的導(dǎo)數(shù)；的導(dǎo)數(shù)；ff表示對表示對的導(dǎo)數(shù)。的導(dǎo)數(shù)。代入邊界層連續(xù)方程和運動方程，整理可得：代入邊界層連續(xù)方程和運動方程，整理可得：fUyuE fgUfgUgfUxvEEE0)1 (2 ff ff 邊界條件：邊界條件：0 , 0 , 0ff 1 ,f 其中：其中：dxdUggUdxdgEE

30、 2 ),(xUyE 233第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（5）半無限平板恒定層流邊界層的）半無限平板恒定層流邊界層的Blasius解解1）流動特點：）流動特點：0 ,dxdUUUEE流動圖示流動圖示Uxg(x) 2/1 0；， 取取則則02 f ff定解條件：定解條件：0 , 0 , 0ff 1 ,f 方程簡化為：方程簡化為： 方程是非線性的，方程是非線性的，Blasius給出級數(shù)解，給出級數(shù)解，Howarth給出精度較高給出精度較高的數(shù)值解，見教材的數(shù)值解，見教材p.82表表4-1所示。所示。34第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問

31、題的求解2 2）數(shù)值成果分析）數(shù)值成果分析速度分布：速度分布：邊界層厚度：邊界層厚度：位移厚度位移厚度動量損失厚度動量損失厚度數(shù)值解成果數(shù)值解成果速度分布圖速度分布圖)(ffgUvE fUuEexffRxUxx99. 099. 0)( Uxfxd )()( UxfxM ) 0 (2)(35第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解板面剪應(yīng)力板面剪應(yīng)力剪應(yīng)力系數(shù)剪應(yīng)力系數(shù)板長為板長為L的阻力的阻力 阻力系數(shù)阻力系數(shù)數(shù)值解成果數(shù)值解成果)0(0fxUU LUfbdxbFLD300)0(42 exfRfxUfUc) 0 (2) 0 (22120 eLDDRfLUfbLUFC)

32、0(4)0(42212 36第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解3）計算結(jié)果）計算結(jié)果exRxx0 . 5)( exdRxx7208. 1)( exMRxx664. 0)( exRU1332. 020 exfRc664. 0LUbFD3328. 1 eLDRC328. 137第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解4、定常平面邊界層的卡門、定常平面邊界層的卡門（Karman T. Von）動量積分動量積分方法特點：方法特點： 是一種近似方法；是一種近似方法； 僅在積分意義上滿足邊界層方程；僅在積分意義上滿足邊界層方程； 簡單，有一定精度，

33、在工程中得到廣泛應(yīng)用。簡單，有一定精度，在工程中得到廣泛應(yīng)用。（1）基本方程與邊界條件）基本方程與邊界條件1)-(1 0yvxu2)-(1 22yudxdUUyuvxuuEE 3)-(1 0 , 0 , 0vuy4)-(1 ,EUuy38第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（2）動量積分關(guān)系）動量積分關(guān)系將（將（1-1）式乘）式乘u后與（后與（1-2）式相加，得：）式相加，得：將（將（1-1）式乘）式乘UE后再加后再加udUE/dx，得：，得：將（將（2-2）-（2-1）后沿邊界層積分，得：）后沿邊界層積分，得：1)-(2 )(222 yu dxdUUyuvxuE

34、E 2)-(2 )()(dxdUuyvUxuUEEe3)-(2 )()(00002 yudyu(UdxdUvuvUdyuuUxEEEE 4)-(2 )(02 dxdUUUxEEdME引入邊界層定義，得引入邊界層定義，得39第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解 引入定義引入定義形狀因子形狀因子壁面摩察系數(shù)壁面摩察系數(shù)方程特點：僅有一個方程，但有三個未知量方程特點：僅有一個方程，但有三個未知量M M，H Hdmdm，c cf f； 當(dāng)已知邊界層速度分布后，則當(dāng)已知邊界層速度分布后，則M M，H Hdmdm，c cf f可以確定。可以確定。MddmH 21)2( cdx

35、dUUHxfMEEdmM 得卡門動量積分方程：得卡門動量積分方程：2021EfUc 40第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（3）邊界層近似求解步驟）邊界層近似求解步驟1 1）假設(shè)邊界層速度分布形式）假設(shè)邊界層速度分布形式2 2）由邊界條件確定待定系數(shù)，得到邊界層相容性方程）由邊界條件確定待定系數(shù)，得到邊界層相容性方程3 3）計算邊界層名義厚度）計算邊界層名義厚度4 4）計算邊界層其余參量）計算邊界層其余參量 yfUunnE , )(00 ,0,0,vu ydxdUUyuEEy 0220033yyu, 1, y 0.554433 yyyyuyuyu0 yyu41第

36、三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解（4 4）應(yīng)用例）應(yīng)用例對無窮遠水平來流對無窮遠水平來流 U U= Const = Const 繞半無限平板邊界層內(nèi)流動，繞半無限平板邊界層內(nèi)流動，設(shè)：設(shè)：確定相容性方程，并計算邊界層個參量。確定相容性方程，并計算邊界層個參量。解：解：1 1）由邊界（相容）條件確定）由邊界（相容）條件確定a a、b b、c c、d d四個系數(shù)四個系數(shù) yd cbafUu ,)(23 ; 00, 0dUu 0, 0022bdxdUUxu 03, 01caxu ; 1; 1) 1 (, 1caf 42第三講第三講 大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解大雷諾數(shù)流體力學(xué)問題的求解解得：解得：相容方程為相容方程為2）由動量積分方程確定邊界層厚度）由動量積分方程確定邊界層厚度