機(jī)械能守恒定律協(xié)變性疑難-力學(xué)講座

1、機(jī)械能守恒定律協(xié)變性疑難葉邦角葉邦角中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院力學(xué)力學(xué)教學(xué)組教學(xué)研討會(huì)，教學(xué)組教學(xué)研討會(huì)，2010年元旦，年元旦， 安慶安慶l伽利略變換與相對(duì)性原理l動(dòng)能定理的協(xié)變性l機(jī)械能守恒定律不滿足協(xié)變性嗎？l相對(duì)性原理與協(xié)變性一、伽利略變換與力學(xué)相對(duì)性原理1.伽利略變換2.力學(xué)的相對(duì)性原理相對(duì)性原理相對(duì)性原理l 物理學(xué)的基本規(guī)律在不同的慣性系具有相同的形式，或物理學(xué)規(guī)律是滿足伽利略協(xié)變性的。l 即表達(dá)基本規(guī)律的數(shù)學(xué)關(guān)系式在不同慣性系形式相同，數(shù)學(xué)關(guān)系式相同的意思不是指數(shù)值相同，而是其形式相同。, ,aaFF mmFm

2、aFma在兩個(gè)相互做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系中，牛頓定在兩個(gè)相互做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系中，牛頓定律具有相同的形式。律具有相同的形式。l牛頓定律服從相對(duì)性原理，故由牛頓定律推導(dǎo)牛頓定律服從相對(duì)性原理，故由牛頓定律推導(dǎo)出的一切規(guī)律都應(yīng)服從相對(duì)性原理出的一切規(guī)律都應(yīng)服從相對(duì)性原理l動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、角動(dòng)量定量等都是牛頓動(dòng)量定理、動(dòng)能定理、角動(dòng)量定量等都是牛頓定律的推論，它們當(dāng)然應(yīng)該服從相對(duì)性原理定律的推論，它們當(dāng)然應(yīng)該服從相對(duì)性原理l力學(xué)的規(guī)律或公式可以直接從力學(xué)的規(guī)律或公式可以直接從S系轉(zhuǎn)換成系轉(zhuǎn)換成S系，系，只需在公式中把所有物理量變成帶只需在公式中把所有物理量變成帶“”的物的物理量。理量。0()

3、iiiiiiF dtm vv0( )iiiiiiFdtm vv212niiijiijiipiF drfdrdmvdE非保內(nèi)ij212niiijiijiipiFdrfdrdmvdE非保內(nèi)ij()iiiiiid rprFdt( )iiiiiid rprFdtS系系S系系設(shè)有一保守的(即只有保守內(nèi)力的)力學(xué)系統(tǒng)，在慣性系S中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為ri，所受外力為Fi ，內(nèi)力為 fi，則牛頓定律為iiiidvFfmdt二、動(dòng)能定理的協(xié)變性下面由伽利略變換來證明動(dòng)能定律滿足相對(duì)下面由伽利略變換來證明動(dòng)能定律滿足相對(duì)性原理。性原理。1.從牛頓定理到動(dòng)能定理 兩邊乘以第兩邊乘以第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移

4、dri= vidt，可得，可得21()2iiiiiiiiiF drfdrmv dvdmv對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)取和對(duì)全部質(zhì)點(diǎn)取和21()2nnniiiiiiiiiF drfdrdmv此即系統(tǒng)的功能定理此即系統(tǒng)的功能定理注意，第一式兩邊所乘的注意，第一式兩邊所乘的dri，是第，是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于慣性系系S的位移、如果不是相對(duì)于的位移、如果不是相對(duì)于S系的位移，而乘以相對(duì)系的位移，而乘以相對(duì)于別的參考系的位移，則于別的參考系的位移，則dri=vidt將不成立，上式右邊將不成立，上式右邊也就得不出來了也就得不出來了. 對(duì)于保守系統(tǒng)有勢(shì)能的概念：對(duì)于保守系統(tǒng)有勢(shì)能的概念：npiiidEfdr 21

5、()2nniiiipiifdrdmvE此即保守系統(tǒng)的功能定理此即保守系統(tǒng)的功能定理iiiirrutvvu2. 動(dòng)能定理的伽利略變換()iiiiiiiiiiF drFdrudtF drFudt可見，在一般情況下可見，在一般情況下, 外力對(duì)系統(tǒng)所作的功與參考外力對(duì)系統(tǒng)所作的功與參考系有關(guān)系有關(guān)l功的變換l動(dòng)能的變換2222211()2211()221()2iiiiiiiiiiiiiiiiiiiidmvdm vudmvumvm udmvu dmv222211 2211 ()( )22iiiiiiiiiiiimvmvdmvdmv不僅而且即不僅動(dòng)能與參考系有關(guān)，而且動(dòng)能的改變也與參考即不僅動(dòng)能與參考系有

6、關(guān)，而且動(dòng)能的改變也與參考系有關(guān)系有關(guān)(順便提一下，動(dòng)量與此不同，雖然動(dòng)量也與順便提一下，動(dòng)量與此不同，雖然動(dòng)量也與參考系有關(guān)，但動(dòng)量的改變卻與參考系無關(guān)參考系有關(guān)，但動(dòng)量的改變卻與參考系無關(guān))l勢(shì)能增量的變換()()piiiiiiiiiiipiiidEfdrfdrudtfdruf dtfdrdE 可見勢(shì)能與動(dòng)能不同，它與參考系無關(guān)可見勢(shì)能與動(dòng)能不同，它與參考系無關(guān)l動(dòng)能定理的整體變換()()iiiiiiiiFudtdmvuu dmv21()2iiiiiiipiiiiF drFudtdmvu dmvdE212iiiipiiF drdmvdE這就證明了保守體系的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理是服從這就證明了保

7、守體系的質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理是服從伽利略相對(duì)性原理的伽利略相對(duì)性原理的如果內(nèi)力存在著像摩擦力這樣的非保守內(nèi)力，則：如果內(nèi)力存在著像摩擦力這樣的非保守內(nèi)力，則：nnnnijiiiipijijijijfdrfdrfdrfdrdE保內(nèi)ij非保內(nèi)ij非保內(nèi)ij非保守內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，在經(jīng)典力學(xué)中滿足牛頓第非保守內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)，在經(jīng)典力學(xué)中滿足牛頓第三定律，因此三定律，因此nniijijijfdrfdr非保內(nèi)ij非保內(nèi)ij與參照系選與參照系選擇無關(guān)！擇無關(guān)！3.非保守體系的動(dòng)能定理也滿足相對(duì)性原理212niiijiipiijiFdrfdrdmvdE非保內(nèi)ij212niiijiipiijiF drfdrdm

8、vdE非保內(nèi)ijnnijijijijfdrfdr非保內(nèi)ij非保內(nèi)ij 機(jī)械能守恒定律是在一定條件下的動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律是在一定條件下的動(dòng)能定理， 它并非牛頓定律的單純推論。它并非牛頓定律的單純推論。 它是否滿足相對(duì)性它是否滿足相對(duì)性原理就要看這個(gè)條件是否滿足相對(duì)性原理了。原理就要看這個(gè)條件是否滿足相對(duì)性原理了。三、機(jī)械能守恒定律不滿足協(xié)變性嗎？212iipiEmvEconst0 (*)dAdA外非保內(nèi)0, 00, 0dAdAdAdA外非保內(nèi)外非保內(nèi) 0, 00 dAdAdAdA外外非保內(nèi)非保內(nèi)如果，但則則: 機(jī)械能守恒定律滿足相對(duì)性原理機(jī)械能守恒定律滿足相對(duì)性原理 【例例】若施于兩物體的

9、水平力若施于兩物體的水平力F1=F2 = m mmg，兩物，兩物體作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)則對(duì)兩物體組成的系統(tǒng)，外體作勻速相對(duì)運(yùn)動(dòng)則對(duì)兩物體組成的系統(tǒng)，外力力F1和和F2作功之和恰好等于系統(tǒng)內(nèi)部摩擦力作功作功之和恰好等于系統(tǒng)內(nèi)部摩擦力作功之和，滿足式之和，滿足式(*)條件兩物體都作慣性運(yùn)動(dòng)，變條件兩物體都作慣性運(yùn)動(dòng)，變換慣性系不會(huì)改變慣性運(yùn)動(dòng)只能改變作慣性運(yùn)換慣性系不會(huì)改變慣性運(yùn)動(dòng)只能改變作慣性運(yùn)動(dòng)的速度，機(jī)械能守恒對(duì)一切慣性系成立，只是動(dòng)的速度，機(jī)械能守恒對(duì)一切慣性系成立，只是對(duì)不同慣性系，系統(tǒng)有不同的動(dòng)能值對(duì)不同慣性系，系統(tǒng)有不同的動(dòng)能值由式由式(*)所表述的機(jī)械能守恒條件，若在某慣性系中成所表述的

10、機(jī)械能守恒條件，若在某慣性系中成立，當(dāng)變換到另一慣性系時(shí)是否仍然成立立，當(dāng)變換到另一慣性系時(shí)是否仍然成立若滿足式若滿足式(*)的條件，則因非保守內(nèi)力做功與參考系選的條件，則因非保守內(nèi)力做功與參考系選擇無關(guān)，從一個(gè)慣性系變換到另一個(gè)慣性系不會(huì)引起擇無關(guān)，從一個(gè)慣性系變換到另一個(gè)慣性系不會(huì)引起改變改變.l 問題在于在慣性系問題在于在慣性系 dA外外 =0，變換到另一慣性系，變換到另一慣性系, dA外外是否還為零是否還為零.l 當(dāng)然，如果作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力當(dāng)然，如果作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力Fi滿足和為零或滿足和為零或Fi =0，不難證明，若在慣性系中，不難證明，若在慣性系中dA外外=0，當(dāng)變換到另

11、，當(dāng)變換到另一慣性系一慣性系S 時(shí)，仍有時(shí)，仍有dA外外 =0 0, 0 dAdA外非保內(nèi)如果l 證明如下：設(shè)在慣性系有證明如下：設(shè)在慣性系有: 由機(jī)械能守恒有由機(jī)械能守恒有:21()02iipidmvEi 0, 0 0idAdAF外非保內(nèi)如果以以u(píng)表示慣性系表示慣性系 S相對(duì)于相對(duì)于S系的平動(dòng)速度系的平動(dòng)速度:vvu2222211( )( )( )221( )21( )21( )2iipijiipijiiiiipijiiiiipijiiiiipijidmvErdm vuErdvdmvErmudtdtdmvErF udtdmvEr21( )02iipijidmvEr這就證明了機(jī)械能守恒的陳述在

12、上述條件下滿這就證明了機(jī)械能守恒的陳述在上述條件下滿足相對(duì)性原理足相對(duì)性原理l 倘若系統(tǒng)倘若系統(tǒng) F=S SFi 0，而且，而且 F 的方向也不垂直于的方向也不垂直于v ，則沒有上述結(jié)果這時(shí)，對(duì)某慣性系為機(jī)械能守則沒有上述結(jié)果這時(shí)，對(duì)某慣性系為機(jī)械能守恒的系統(tǒng)，變換到另一慣性系恒的系統(tǒng)，變換到另一慣性系 ，機(jī)械能不再守，機(jī)械能不再守恒從機(jī)械能守恒條件看，恒從機(jī)械能守恒條件看，dA外外 =0的條件當(dāng)變換的條件當(dāng)變換到另一慣性系時(shí)到另一慣性系時(shí)dA外外 0!l 這種例子是很多的，例如單擺的懸掛點(diǎn)的約束力，這種例子是很多的，例如單擺的懸掛點(diǎn)的約束力，彈簧振子的墻上固定點(diǎn)的約束力，在某慣性系中彈簧振子

13、的墻上固定點(diǎn)的約束力，在某慣性系中不作功，當(dāng)變換到另一慣性系不作功，當(dāng)變換到另一慣性系 時(shí)就有可能作時(shí)就有可能作功這時(shí)機(jī)械能守恒的陳述就不再滿足相對(duì)性原功這時(shí)機(jī)械能守恒的陳述就不再滿足相對(duì)性原理理【例例】考慮下面的過程：一滑塊的質(zhì)量為考慮下面的過程：一滑塊的質(zhì)量為m，用勁，用勁度系數(shù)為度系數(shù)為k的輕彈簧將它與墻壁的輕彈簧將它與墻壁B點(diǎn)相聯(lián)并置于光點(diǎn)相聯(lián)并置于光滑的水平面上，開始時(shí)拉開物體微小的距離后釋滑的水平面上，開始時(shí)拉開物體微小的距離后釋放，系統(tǒng)開始做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖放，系統(tǒng)開始做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖1A所示，如果在所示，如果在旁邊有一小車以速度旁邊有一小車以速度u向右勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)小車為參向右勻速

14、運(yùn)動(dòng)，對(duì)小車為參照系，該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒嗎？照系，該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒嗎？ 以地面為參考系，彈簧在墻壁以地面為參考系，彈簧在墻壁B點(diǎn)有力，但沒有點(diǎn)有力，但沒有位移，不做功，支持力與重力不做功，因而有位移，不做功，支持力與重力不做功，因而有:22220011112222mvkxmvkx一小車為參考系，彈簧在墻壁一小車為參考系，彈簧在墻壁B B點(diǎn)有力，有位移，點(diǎn)有力，有位移，要做功：要做功：2222001111()()2222BBFxm vukxm vukx對(duì)小車，該系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒！對(duì)小車，該系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒！不需寫成（不需寫成（x-ut)!0()BBBxAFxFtu pum vvt 2222

15、0011112222mvkxmvkx可見，與在地面參考系中的機(jī)械能守恒式子是等價(jià)的！可見，與在地面參考系中的機(jī)械能守恒式子是等價(jià)的！22220022220001111()()22221111()()2222BBFxm vukxm vukxmvkxmvkxmu vv機(jī)械能守恒定律真的不滿足協(xié)變性嗎？四、相對(duì)性原理與協(xié)變性1. .相對(duì)性原理的準(zhǔn)確含義相對(duì)性原理的準(zhǔn)確含義相對(duì)性原理相對(duì)性原理( (表述表述I) I) : 如果如果S是慣性系，則相對(duì)于是慣性系，則相對(duì)于S作勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系作勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系S 也是慣性系；也是慣性系；自然界定律對(duì)于所有慣性系都是相同的自然界定律對(duì)

16、于所有慣性系都是相同的.相對(duì)性原理的后一半是指，如果慣性系相對(duì)性原理的后一半是指，如果慣性系S中有一條定律，中有一條定律，則任意另一慣性系則任意另一慣性系S中必存在一條對(duì)應(yīng)的定律，并且兩中必存在一條對(duì)應(yīng)的定律，并且兩者的內(nèi)容和形式者的內(nèi)容和形式(在同類坐標(biāo)下，例如都采用直角坐標(biāo)，在同類坐標(biāo)下，例如都采用直角坐標(biāo)，但空間坐標(biāo)軸不一定互相平行，兩個(gè)四維時(shí)空原點(diǎn)不一但空間坐標(biāo)軸不一定互相平行，兩個(gè)四維時(shí)空原點(diǎn)不一定重合定重合)都相同，即只要把前者表達(dá)式中的物理量理解都相同，即只要把前者表達(dá)式中的物理量理解為相對(duì)于慣性系為相對(duì)于慣性系S 而言即成后者，而不需另行證明而言即成后者，而不需另行證明.相對(duì)性

17、原理相對(duì)性原理( (表述表述) : ) : 如果如果S是慣性系則相對(duì)于是慣性系則相對(duì)于S作作勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系S也是慣性系；自也是慣性系；自然界全部定律所構(gòu)成的大集合在慣性系之間的變?nèi)唤缛慷伤鶚?gòu)成的大集合在慣性系之間的變換下是協(xié)變的換下是協(xié)變的.例如例如: 麥克斯韋方程組是洛倫茲協(xié)變的但單拿其中一個(gè)麥克斯韋方程組是洛倫茲協(xié)變的但單拿其中一個(gè)方程，例如高斯定理來變換，結(jié)果的形式就較復(fù)雜，不方程，例如高斯定理來變換，結(jié)果的形式就較復(fù)雜，不能通過等價(jià)變形化為原來的形式把高斯定理和修正的能通過等價(jià)變形化為原來的形式把高斯定理和修正的安培定律聯(lián)立在一起進(jìn)行洛倫茲

18、變換，然后再在新參考安培定律聯(lián)立在一起進(jìn)行洛倫茲變換，然后再在新參考系中對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行等價(jià)變形，即可化為具有原來形式系中對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行等價(jià)變形，即可化為具有原來形式的兩個(gè)新方程的兩個(gè)新方程.【協(xié)變集協(xié)變集】如果自然界若干定律聯(lián)立在一起，進(jìn)行參考系變?nèi)绻匀唤缛舾啥陕?lián)立在一起，進(jìn)行參考系變換，然后再在新參考系中對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行等價(jià)變形，可化為換，然后再在新參考系中對(duì)變換結(jié)果進(jìn)行等價(jià)變形，可化為具有原來形式的全部新定律，則這些定律稱為是聯(lián)立協(xié)變的，具有原來形式的全部新定律，則這些定律稱為是聯(lián)立協(xié)變的，這些定律作為元素所構(gòu)成的集合稱為協(xié)變集這些定律作為元素所構(gòu)成的集合稱為協(xié)變集.2.協(xié)變集l 只含有

19、一個(gè)元素的協(xié)變集稱為單元素協(xié)變集。只含有一個(gè)元素的協(xié)變集稱為單元素協(xié)變集。l 幾個(gè)協(xié)變集的并集顯然仍是協(xié)變集。幾個(gè)協(xié)變集的并集顯然仍是協(xié)變集。l 元素不能再減少的協(xié)變集稱為最小協(xié)變集。元素不能再減少的協(xié)變集稱為最小協(xié)變集。l 電動(dòng)力學(xué)中表示成某階四維張量等式的規(guī)律集都是電動(dòng)力學(xué)中表示成某階四維張量等式的規(guī)律集都是協(xié)變集。協(xié)變集。l 每一標(biāo)量定律構(gòu)成單元素協(xié)變集。每一標(biāo)量定律構(gòu)成單元素協(xié)變集。 如麥克斯韋方程組中的高斯定理與修正的安培定如麥克斯韋方程組中的高斯定理與修正的安培定律，法拉第定律與磁感應(yīng)通量守恒定律分別構(gòu)成兩律，法拉第定律與磁感應(yīng)通量守恒定律分別構(gòu)成兩個(gè)四元素最小協(xié)變集；電荷守恒定律

20、構(gòu)成單元素最個(gè)四元素最小協(xié)變集；電荷守恒定律構(gòu)成單元素最小協(xié)變集。小協(xié)變集。l 相對(duì)性原理相對(duì)性原理( (表述表述): ): 如果如果S是慣性系，則相對(duì)是慣性系，則相對(duì)于于S作勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系作勻速運(yùn)動(dòng)而無轉(zhuǎn)動(dòng)的其它參考系, S也是慣也是慣性系；自然界每一定律至少屬于一個(gè)協(xié)變集性系；自然界每一定律至少屬于一個(gè)協(xié)變集.此外此外,雖然存在著單獨(dú)協(xié)變的定律，但許多事實(shí)，如雖然存在著單獨(dú)協(xié)變的定律，但許多事實(shí)，如麥克斯韋方程組中各定律均不單獨(dú)協(xié)變麥克斯韋方程組中各定律均不單獨(dú)協(xié)變. 因此有因此有:不都單獨(dú)協(xié)變?cè)瓌t不都單獨(dú)協(xié)變?cè)瓌t: : 自然界的定律自然界的定律不都不都單獨(dú)協(xié)變單獨(dú)協(xié)變因?yàn)閰f(xié)

21、變概念下的相對(duì)性原理因?yàn)閰f(xié)變概念下的相對(duì)性原理(表述表述和和)并不要并不要求每一定律都單獨(dú)協(xié)變，所以我們不能把不單獨(dú)協(xié)求每一定律都單獨(dú)協(xié)變，所以我們不能把不單獨(dú)協(xié)變的定律說成它們不滿足或不服從相對(duì)性原理；變的定律說成它們不滿足或不服從相對(duì)性原理；僅當(dāng)一個(gè)定律既不單獨(dú)協(xié)變，又不屬于一個(gè)協(xié)變集時(shí)它才算“不服從相對(duì)性原理”.ABABABCDS系系S系系設(shè)慣性系設(shè)慣性系S中的中的A 和和B定理，只聯(lián)立協(xié)變而不單獨(dú)協(xié)變定理，只聯(lián)立協(xié)變而不單獨(dú)協(xié)變表述表述l表述表述III聯(lián)立協(xié)變聯(lián)立協(xié)變【例例】牛頓第二定律的牛頓第二定律的x分量分量: 22xd xFmdt當(dāng)當(dāng)S 系的系的 Z軸平行于軸平行于S系的系的 Z

22、軸，而軸，而Z 軸與軸與Z軸成軸成角度角度q q時(shí)時(shí), 上式轉(zhuǎn)變?yōu)椴煌男问剑荷鲜睫D(zhuǎn)變?yōu)椴煌男问剑?222cossincossinxyd xd yFFmmdtdtqqqq22xd xFmdt而不是簡(jiǎn)單地寫成而不是簡(jiǎn)單地寫成:l最小協(xié)變集的求法最小協(xié)變集的求法: :如果如果A(a)A(a)是某階三維張量是某階三維張量定律的分量，那末，最小協(xié)變集必含整個(gè)張量定定律的分量，那末，最小協(xié)變集必含整個(gè)張量定律故尋求后者律故尋求后者( (仍以仍以A(a)A(a)表示表示) )所屬于的最小協(xié)所屬于的最小協(xié)變集變集. .1) 麥克斯韋方程組中的高斯定理與修正的安培定麥克斯韋方程組中的高斯定理與修正的安培定律，法拉第定律與磁感應(yīng)定律分別構(gòu)成兩個(gè)四律，法拉第定律與磁感應(yīng)定律分別構(gòu)成兩個(gè)四元素最小協(xié)變集元素最小協(xié)變集;電荷守恒定律構(gòu)成單元素協(xié)電荷守恒定律構(gòu)成單元素協(xié)變集變集 2) 機(jī)械能守恒定律式屬于機(jī)械能守恒定律式屬于 b為參數(shù)的功能定為參數(shù)的功能定理