二元一次方程組應(yīng)用題經(jīng)典題解析版

1、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組題型歸納知識(shí)點(diǎn)一：列方程組解應(yīng)用題的根本思想列方程組解應(yīng)用題是把“未知轉(zhuǎn)化為“的重要方法，它的關(guān)鍵是把量和 未知量聯(lián)系起來(lái)，找出題目中的相等關(guān)系 . 一般來(lái)說(shuō)，有幾個(gè)未知數(shù)就列出幾個(gè)方程，所 列方程必須滿足： (1)方程兩邊表示的是同類量； (2)同類量的單位要統(tǒng)一； (3)方程兩邊的數(shù) 值要相等 .知識(shí)點(diǎn)二：列方程組解應(yīng)用題中常用的根本等量關(guān)系1.行程問(wèn)題：(1) 追擊問(wèn)題：追擊問(wèn)題是行程問(wèn)題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行.這類問(wèn)題比擬直觀，畫(huà)線段，用圖便于理解與分析其等量關(guān)系式是：兩者的行程差二開(kāi)始時(shí)兩者相距的路(2) 相遇問(wèn)題 :相遇問(wèn)題也是行程問(wèn)題中很重要的

2、一種， 它的特點(diǎn)是相向而行 .這類問(wèn)題也 比擬直觀，因而也畫(huà)線段圖幫助理解與分析 .這類問(wèn)題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和 =總路程.(3) 航行問(wèn)題：船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度； 順?biāo)俣?逆水速度=2 X水速注意： 飛機(jī)航行問(wèn)題同樣會(huì)出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠?航行問(wèn)題類似 .2 .工程問(wèn)題：工作效率X工作時(shí)間=工作量.3商品銷售利潤(rùn)問(wèn)題：;(3)利 潤(rùn)二(1) 利潤(rùn)二售價(jià)本錢(qián)(進(jìn)價(jià))；本錢(qián)(進(jìn)價(jià))x利潤(rùn)率；(4) 標(biāo)價(jià)二本錢(qián)(進(jìn)價(jià))X (1 +利潤(rùn)率(5實(shí)際售價(jià)二標(biāo)價(jià)X打折率；(5) 注意：“商品利潤(rùn)=售價(jià)一本錢(qián)

3、中的右邊為正時(shí)，是盈利；為負(fù)時(shí)，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價(jià)的十分之幾或百分之幾十銷售 .(例如八折就是按標(biāo)價(jià)的十分之八即五分之 四或者百分之八十)(6) 4儲(chǔ)蓄問(wèn)題：(7) (1)根本概念(8) 本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫做本金.利息：銀行付給顧客的酬金叫做利息.(9) 本息和：本金與利息的和叫做本息和.期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù).(10) 利率： 每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫做利率 . 利息稅： 利息的稅款叫做利 息稅.(11) (2)根本關(guān)系式(12) 利息二本金x利率X期數(shù)(13) 本息和=本金+利息=本金+本金x利率x期數(shù)=本金x(1 +利率x期數(shù)(14) 利息稅=利息x利息稅率=本金

4、x利率x期數(shù)x利息稅率(15) 稅后利息二利息x(1 利息稅率 年利率二月利率x月利率=年利率112 .注意：免稅利息=利息5. 配套問(wèn)題：解這類問(wèn)題的根本等量關(guān)系是：總量各局部之間的比例 =每一套各局部之間的比例.6. 增長(zhǎng)率問(wèn)題：解這類問(wèn)題的根本等量關(guān)系式是：原量x(1 +增增長(zhǎng)后的量；原量x (1 減少存減少后的量7. 和差倍分問(wèn)題：解這類問(wèn)題的根本等量關(guān)系是：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)x倍量8. 數(shù)字問(wèn)題：解決這類問(wèn)題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示如當(dāng) n為整數(shù)時(shí)，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1),偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的根本等量關(guān)系式為：

5、兩位數(shù) = 十位數(shù)字10+個(gè)位數(shù)字9 濃度問(wèn)題：溶液質(zhì)量x濃度=溶質(zhì)質(zhì)量.10幾何問(wèn)題： 解決這類問(wèn)題的根本關(guān)系式有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、周長(zhǎng)、面積等計(jì)算 公式11年齡問(wèn)題： 解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住兩人年齡的增長(zhǎng)數(shù)是相等，兩人的年齡差 是永遠(yuǎn)不會(huì)變的12優(yōu)化方案問(wèn)題：在解決問(wèn)題時(shí)，常常需合理安排 .需要從幾種方案中，選擇最正確方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、 到不同旅行社購(gòu)票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最正確方案 .注意： 方案選擇題的題目較長(zhǎng)，有時(shí)方案不止一種，閱讀時(shí)應(yīng)抓住重點(diǎn),比擬幾種方案得出最正確方案 .知識(shí)點(diǎn)三：列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟利用二元一次方程組探究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般可分為以下六個(gè)

6、步驟：1審題:弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系； 2設(shè)未知數(shù) :可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；3找出題目中的等量關(guān)系； 4列出方程組 :根據(jù)題目中能表示全部含義的等量關(guān)系列 出方程，并組成方程組； 5解所列的方程組，并檢驗(yàn)解的正確性； 6寫(xiě)出答案 .要點(diǎn)詮釋：(1)解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得 的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；(2) “設(shè)、“答兩步，都要寫(xiě)清單位名稱；(3) 一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組 .(4) 列方程組解應(yīng)用題應(yīng)注意的問(wèn)題弄清各種題型中根本量之間的關(guān)系； 審題時(shí)， 注意從文字，圖表中獲得有關(guān)信息； 注意用方程

7、組解應(yīng)用題的過(guò)程中單位的書(shū)寫(xiě)， 設(shè)未知數(shù)和寫(xiě)答案都要帶單位， 列 方程組 與解方程組時(shí)，不要帶單位；正確書(shū)寫(xiě)速度單位，防止與路程單位混淆；在尋找等量關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意挖掘隱含的條件； 列方程組解應(yīng)用題一定要注意檢驗(yàn) .類型一：列二元一次方程組解決行程問(wèn)題1甲、乙兩地相距 160 千米，一輛汽車(chē)和一 輛拖拉機(jī)同時(shí)由甲、乙兩地相向而行， 1 小時(shí) 20 分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車(chē) 在相遇處停留 1 小時(shí)后調(diào)轉(zhuǎn)車(chē)頭原速返回，在汽車(chē)再次出發(fā)半小時(shí)后追上了拖拉機(jī) . 這時(shí)， 汽車(chē)、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？思路點(diǎn)撥： 畫(huà)直線型示意圖理解題意：(1)這里有兩個(gè)未知數(shù)：汽車(chē)的行程；拖拉機(jī)的行程(2)

8、有兩個(gè)等量關(guān)系：1 1 相向而行：汽車(chē)行駛1丄小時(shí)的路程+拖拉機(jī)行駛1丄小時(shí)的路程=160千米;3311 同向而行：汽車(chē)行駛-小時(shí)的路程二拖拉機(jī)行駛 1小時(shí)的路程.2 2解：設(shè)汽車(chē)的速度為每小時(shí)行千米，拖拉機(jī)千米.根據(jù)題意，列方程組4xy160,311x1-y22解這個(gè)方程組，得x 90,y 30的速度為每小時(shí)1111901165,301185.3 23 2答：汽車(chē)行駛了 165千米，拖拉機(jī)行駛了 85千米.總結(jié)升華：根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再根據(jù)路程、時(shí)間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系， 是行程問(wèn)題的常用的解決策略.【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小時(shí)，那么他們?cè)?乙出發(fā)

9、2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走 2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮霭l(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙 兩人每小時(shí)各走多少千米？【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用 14小時(shí)，逆流用20小時(shí)， 求船在靜水中的速度和水流速度.類型二：列二元一次方程組解決一一工程問(wèn)題2一家商店要進(jìn)行裝修，假設(shè)請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工， 8 天可以完成，需付兩組費(fèi)用共 3520元；假設(shè)先請(qǐng)甲組單獨(dú)做 6天，再請(qǐng)乙 組單獨(dú)做 12 天可完成，需付兩組費(fèi)用共 3480元，問(wèn)： (1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各 付多少元？ (2)甲組單獨(dú)做需 12 天完成，乙組單獨(dú)做需 24 天完成，單獨(dú)請(qǐng)哪組，商店 所付費(fèi)用最少？思路點(diǎn)

10、撥： 此題有兩層含義，各自隱含兩個(gè)等式，第一層含義：假設(shè)請(qǐng)甲、乙兩個(gè)裝修 組同時(shí)施工， 8 天可以完成，需付兩組費(fèi)用共 3520 元；第二層含義：假設(shè)先請(qǐng)甲組單獨(dú)做 6 天，再請(qǐng)乙組單獨(dú)做 12 天可完成，需付兩組費(fèi)用共 3480元.設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 x 元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 y元，由第一層含義可得方程 8 (x+y) =3520,由第二層含義 可得方程 6x+12y=3480.解：(1)設(shè)甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付x元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 y元，依題意得:140 元 .24 X 140 召360答：甲組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付 300 元，乙組單獨(dú)做一天商店應(yīng)付元，(2)單獨(dú)請(qǐng)甲組做

11、，需付款300 X 12殍600元，單獨(dú)請(qǐng)乙組做，需付款故請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少 .答：請(qǐng)乙組單獨(dú)做費(fèi)用最少 .總結(jié)升華： 工作效率是單位時(shí)間里完成的工作量，同一題目中時(shí)間單位必須統(tǒng)般地，將工作總量設(shè)為 1也可設(shè)為a,需根據(jù)題目的特點(diǎn)合理選用；工程問(wèn)題也經(jīng)常利用 線段圖或列表法進(jìn)行分析 .【變式】 小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，假設(shè)甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作 6周完成需工錢(qián) 5.2 萬(wàn)元；假設(shè)甲公司單獨(dú)做 4周后，剩下的由乙公司來(lái)做，還需 9 周完成，需工錢(qián) 4.8萬(wàn)元.假設(shè) 只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開(kāi)支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說(shuō) 明理由.類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤(rùn)

12、問(wèn)題3有甲、乙兩件商品， 甲商品的利潤(rùn)率為 5%,乙商品的利潤(rùn)率為 4%,共可獲利 46元.價(jià)風(fēng)格整后，甲商品的利潤(rùn)率為 4%，乙商品的利潤(rùn)率為 5%，共可獲利 44元，那么兩件商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？思路點(diǎn)撥：做此題的關(guān)鍵要知道：利潤(rùn)二進(jìn)價(jià)x利潤(rùn)率解：甲商品的進(jìn)價(jià)為 x 元，乙商品的進(jìn)價(jià)為 y 元，由題意得：答：兩件商品的進(jìn)價(jià)分別為 600元和 400元 .【變式 1】 2021湖南衡陽(yáng)李大叔去年承包了 10 畝地種植甲、乙兩種蔬菜，共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利 2000元，乙種蔬菜每畝獲利 1500元，李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？【變式2】某商場(chǎng)用36萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A、B

13、兩種商品，銷售完后共獲利6萬(wàn)元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表:AB進(jìn)價(jià)元/件12001000售價(jià)元/件13801200注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)求該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A、B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問(wèn)題4.小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢(qián)，一種是年利率為2.25%的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢(qián)？利息所得稅二利息金額X20%,教育儲(chǔ)蓄沒(méi)有利息所得稅思路點(diǎn)撥：設(shè)教育儲(chǔ)蓄存了 X元，一年定期存了 y元，我們可以根據(jù)題意可列出表格:教育儲(chǔ)蓄一年定期合計(jì)現(xiàn)在一年后2042.

14、75解：設(shè)存一年教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為x元，存一年定期存款的錢(qián)為y元，那么列方程:，解得：答：存教育儲(chǔ)蓄的錢(qián)為 1500元，存一年定期的錢(qián)為 500元 .總結(jié)升華 : 我們?cè)诮庖恍┥婕暗叫谐?、收入、支出、增長(zhǎng)率等的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候不容易找出其等量關(guān)系， 這時(shí)候我們可以借助圖表法分析具體問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系， 題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來(lái)【變式 1】李明以兩種形式分別儲(chǔ)蓄了 2000 元和 1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息 43.92元.兩種儲(chǔ)蓄年利率的和為 3.24%，問(wèn)這兩種儲(chǔ)蓄的年利率各是百分之幾？注：公民應(yīng)繳利息所得稅 =利息金額x 20%【 變式 2】小敏的爸爸為了給她籌備

15、上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢(qián).第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了 3 次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率 為年息 2.25%；第二種， 三年期整存整取， 這種存款銀行年利率為 2.70%.三年后同時(shí)取出共 得利息 303.75元不計(jì)利息稅 ，問(wèn)小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問(wèn)題5某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝， 每 2 米的某種布料可做上衣的衣身 3 個(gè)或衣袖 5 只. 現(xiàn)方案用 132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝 不考慮布料的損耗 ，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路點(diǎn)撥： 此題的第一個(gè)相等關(guān)系比擬容易得出：衣

16、身、衣袖所用布料的和為132米；第二個(gè)相等關(guān)系的得出要弄清一整件衣服是怎么樣配套的，即衣袖的數(shù)量等于衣身的數(shù)量解：設(shè)用的 2 倍注意：別把 2 倍的關(guān)系寫(xiě)反了 .米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根據(jù)題意，得：答：用 60 米布料做衣身，用 72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套 .總結(jié)升華： 生產(chǎn)中的配套問(wèn)題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面 與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等 . 各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù) 可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，從而得到方程組，使問(wèn)題得以解決，確定等量關(guān)系是 解題的關(guān)鍵 .變式 1】現(xiàn)有 190張鐵皮做盒子

17、，每張鐵皮做 8 個(gè)盒身或 22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問(wèn)用多少?gòu)堣F皮制盒身，多少?gòu)堣F皮制盒底，可以正好制成一批 完整的盒子？【變式 2】某工廠有工人 60 人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天 生產(chǎn)螺栓 14個(gè)或螺母 20 個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的 螺栓和螺母剛好配套 .【變式 3】一張方桌由 1個(gè)桌面、 4條桌腿組成，如果 1立方米木料可以做桌面 50個(gè)， 或做桌腿 300條.現(xiàn)有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料 做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少?gòu)埛阶?？類型六：列二元一次方?/p>

18、組解決增長(zhǎng)率問(wèn)題6.某工廠去年的利潤(rùn)總產(chǎn)值一總支出為200萬(wàn)元，今年總產(chǎn)值比去年增加了 20%,總支出比去年減少了 10%,今年的利潤(rùn)為780萬(wàn)元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？思路點(diǎn)撥：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，那么有總產(chǎn)值萬(wàn)元總支出萬(wàn)元利潤(rùn)萬(wàn)元去年xy200今年120%x90%y780根據(jù)題意知道去年的利潤(rùn)和今年的利潤(rùn)，由利潤(rùn)=總產(chǎn)值一總支出和表格里的量和未知 量，可以列出兩個(gè)等式解：設(shè)去年的總產(chǎn)值為x萬(wàn)元，總支出為y萬(wàn)元，根據(jù)題意得:解之得答：去年的總產(chǎn)值為 2000萬(wàn)元，總支出為 1800萬(wàn)元總結(jié)升華： 當(dāng)題的條件較多時(shí)，可以借助圖表或圖形進(jìn)行分析 .【變式 1】假設(shè)

19、條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬(wàn)元？【變式 2】某城市現(xiàn)有人口 42 萬(wàn)，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加 0.8%，農(nóng)村人口增加 1.1%，這樣全市人口增加 1%，求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口類型七：列二元一次方程組解決和差倍分問(wèn)題7. 2021年北京豐臺(tái) 區(qū)中考一摸試題“愛(ài)心帳篷廠和“溫暖帳篷廠原方案每周生產(chǎn)帳篷共 9 千頂，現(xiàn)某 地震災(zāi)區(qū)急需帳篷 14 千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷 為此，全體職工加班加點(diǎn)， “愛(ài)心帳篷廠和“溫暖帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別到達(dá)了原來(lái)的1.6 倍、1.5 倍，恰好按時(shí)完成了這項(xiàng)任務(wù)求在趕制帳篷的一周內(nèi)，“愛(ài)心帳篷廠和“溫暖帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂

20、？思路點(diǎn)撥： 找出量和未知量，根據(jù)題意知未知量有兩個(gè)，所以列兩個(gè)方程，根據(jù)方案前后，倍數(shù)關(guān)系由量和未知量列出兩個(gè)等式，即是兩個(gè)方程組成的方程組 .解：設(shè)原方案“愛(ài)心帳篷廠生產(chǎn)帳篷x 千頂 , “溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷 y 千頂，由題意得：x y 9,1.6x 1.5 y 14解得：x 5,y45=8,1.6x=1.61.5y=1.54=6答：“愛(ài)心帳篷廠生產(chǎn)帳篷 8 千頂 , “溫暖帳篷廠生產(chǎn)帳篷 6 千頂 .【變式 1】 2021年北京門(mén)頭溝區(qū)中考一模試題 “地 球一小時(shí)是世界自然基金會(huì)在 2007 年提出的一項(xiàng)建議號(hào)召個(gè)人、社區(qū)、企業(yè)和政府在每年3月最后一個(gè)星期六 20時(shí)30分21時(shí) 30分熄

21、燈一小時(shí)， 旨在通過(guò)一個(gè)人人可為的活動(dòng)， 讓119 個(gè)城市參全球民眾共同攜手關(guān)注氣候變化，倡導(dǎo)低碳生活中國(guó)內(nèi)地去年和今年共有加了此項(xiàng)活動(dòng)，且今年參加活動(dòng)的城市個(gè)數(shù)比去年的 3倍少 13個(gè)，問(wèn)中國(guó)內(nèi)地去年、今年 分別有多少個(gè)城市參加了此項(xiàng)活動(dòng)【變式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩 戴紅色游泳帽 .如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳 帽比紅色的多 1 倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？類型八：列二元一次方程組解決數(shù)字問(wèn)題8. 兩個(gè)兩位數(shù)的和是 68，在較大的兩位數(shù)的右邊接著寫(xiě)較小的兩位數(shù)，得到一個(gè)四位數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)， 也

22、得到一個(gè)四位數(shù)，前一個(gè)四位數(shù)比后一個(gè)四位數(shù)大2178，求這兩個(gè)兩位數(shù) .思路點(diǎn)撥：設(shè)較大的兩位數(shù)為X,較小的兩位數(shù)為y.100Xy問(wèn)題 1：在較大的兩位數(shù)的右邊寫(xiě)上較小的兩位數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：100yx問(wèn)題 2：在較大數(shù)的左邊寫(xiě)上較小的數(shù)，所寫(xiě)的數(shù)可表示為：解：設(shè)較大的兩位數(shù)為X,較小的兩位數(shù)為y.依題意可得:解得：答：這兩個(gè)兩位數(shù)分別為 45， 23.23；這個(gè)兩位數(shù)除以【變式 1】一個(gè)兩位數(shù),減去它的各位數(shù)字之和的 3 倍,結(jié)果 它的各位數(shù)字之和,商是 5,余數(shù)是 1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？與個(gè)位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來(lái)的兩位數(shù)的一半還少9，求這個(gè)兩位數(shù)？【變式 3】某三

23、位數(shù)，中間數(shù)字為 0，其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是 9，如果百位數(shù) 字減 1，個(gè)位數(shù)字加 1，那么所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列， 求原三位數(shù) . 類型九：列二元一次方程組解決濃度問(wèn)題9現(xiàn)有兩種酒精溶液， 甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 : 7乙種酒精溶液的酒精與水的比是 4 ： 1，今要得到酒精與水的比為3 ：2 的酒精溶液50kg,問(wèn)甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？思路點(diǎn)撥： 此題欲求兩個(gè)未知量，可直接設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)，然后列出二元一次方程組解決，題中有以下幾個(gè)相等關(guān)系：1甲種酒精溶液與乙種酒精溶液的質(zhì)量之和二 50;2混合前兩種溶液所含純酒精質(zhì)量之和二混合后的溶液所含純酒精的質(zhì)量；

24、3混合前兩種溶液所含水的質(zhì)量之和=混合后溶液所含水的質(zhì)量；4混合前兩種溶液所含純酒精之和與水之和的比二混合后溶液所含純酒精與水的比.解：法一：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取 xkg , y kg.依題意得：答：甲取20kg,乙取30kg法二：設(shè)甲、乙兩種酒精溶液分別取 10xkg和5ykg,那么甲種酒精溶液含水7xkg，乙種酒精溶液含水ykg，根據(jù)題意得:所以 10x=20,5y=30.答：甲取20kg,乙取30kg總結(jié)升華：此題的第 1個(gè)相等關(guān)系比擬明顯，關(guān)鍵是正確找到另外一個(gè)相等關(guān)系，解這類問(wèn)題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等.用它們來(lái)聯(lián)系各量之間的關(guān)系，列方程組時(shí)

25、就顯得容易多了 .列方程組解應(yīng)用題，首先要設(shè)未知 數(shù)，多數(shù)題目可以直接設(shè)未知數(shù)，但并不是千篇一律的，問(wèn)什么就設(shè)什么.有時(shí)候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時(shí)候需要設(shè)輔助未知數(shù) .舉一反三：【變式 1】要配濃度是 45%的鹽水 12 千克，現(xiàn)有 10%的鹽水與 85%的鹽水，這兩 種鹽水各需多少？變式 2】一種 35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲(chóng)最有效 .用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成 1.75%的農(nóng)藥 800 千克？類型十：列二元一次方程組解決幾何問(wèn)題10如圖，用 8 塊相同的長(zhǎng)方形地磚拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)和寬分別是多少？思路點(diǎn)撥 ：初看這道題目中沒(méi)有提供任何相等

26、關(guān)系，但是題目提供的圖形隱含著矩形兩條寬相等，兩條長(zhǎng)相等，我們?cè)O(shè)每個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，寬為y,就可以列出關(guān)于X、y的二元一次方程組.解：設(shè)長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)xcm,寬ycm，由題意得：答：每塊長(zhǎng)方形地磚的長(zhǎng)為 45cm、寬為15cm.總結(jié)升華： 幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問(wèn)題 時(shí)應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點(diǎn)，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，再列出方程求解 .舉一反三：【變式 1】用長(zhǎng) 48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，假設(shè)將此矩形的長(zhǎng)邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，那么得到一個(gè)正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？【變式2】一塊矩形草坪的長(zhǎng)比寬的2倍多10m,它的周長(zhǎng)是132m，那

27、么長(zhǎng)和寬分別為多少？類型十一：列二元一次方程組解決年齡問(wèn)題11今年父親的年齡是兒子的 5 倍， 6 年后父親的年齡是兒子的 3 倍，求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少？思路點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是理解“6 年后這幾個(gè)字的含義， 即 6 年后父子倆都長(zhǎng) 了 6歲.今年父親的年齡是兒子的 5 倍，6 年后父親的年齡是兒子的 3 倍，根據(jù)這兩個(gè)相等 關(guān)系列方程 .解：設(shè)現(xiàn)在父親 x 歲，兒子 y 歲，根據(jù)題意得： 答：父親現(xiàn)在 30歲，兒子 6 歲.總結(jié)升華： 解決年齡問(wèn)題，要注意一點(diǎn)：一個(gè)人的年齡變化增大、減小了， 其他人也一樣增大或減小，并且增大或減小的歲數(shù)是相同的相同的時(shí)間內(nèi) .【變式 1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?.小李發(fā)現(xiàn)， 12 年之后，他的年 齡變成爺爺?shù)娜种?.試求出今年小李的年齡 .類型十二：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問(wèn)題：12某地生產(chǎn)一種