排列與元素的順序有關(guān)

1、排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無關(guān).如 231與213是兩個排列，2 + 3 + 1的和與2 + 1+3的和 是一個組合.(一)兩個基本原理是排列和組合的基礎(chǔ) 加法原理：做一件事，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有 ml種不同的方法，在第二類辦 法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N = ml + m2 + m3 + ?+ mn種不同方法.(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=ml x m2x m3x ? x mn 種不同的方法.

2、這里要注意區(qū)分兩個原理， 要做一件事，完成它若是有n類辦法，是分類問題，第一類 中的方法都是 獨(dú)立的，因此用加法原理； 做一件事，需要分n個步驟，步與步之間是連續(xù)的， 只有將分成的若干個互相 聯(lián)系的步驟，依次相繼完成，這件事才算完成，因此用乘法原理.這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質(zhì)區(qū)別的，因此也將兩個原理區(qū)分開來(二)排列和排列數(shù)排列：從n個不同元素中，任取 m(m n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做 從n個不同元素 中取出m個元素的一個排列.從排列的意義可知， 如果兩個排列相同， 不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排 列的順序必須完全相同，這就告訴了我們?nèi)绾闻袛鄡蓚€排列是否

3、相同的方法.排列數(shù)公式：從n個不同元素中取出m(m n)個元素的所有排列當(dāng) m = n 時，為全排列 Pnn=n(n 1)(n 2) , , 3 ? 2 ? 1= n!(三)組合和組合數(shù)組合：從n個不同元素中，任取m(m n)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.從組合的定義知，如果兩個組合中的元素完全相同，不管元素的順序如何， 都是相同的 組合；只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合.(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m n)個元素的所有組合的個這里要注意排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系，從n個不同元素中，任取m(m n)個元素，“按照一定的順序排成一列”與“不管

4、怎樣的順序并成一組”這是有本質(zhì)區(qū)別的.一、 排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于從千差萬別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力；(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解； 計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大； 計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。二、兩個基本計數(shù)原理及應(yīng)用(1)加法原理和分類計數(shù)法1 .加法原理2 .加法原理的集合形式3 .分類的要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相

5、 同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)(2)乘法原理和分步計數(shù)法1 .乘法原理2 .合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同例題分析排列組合思維方法選講1 .首先明確任務(wù)的意義例1.從1、2、3、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有 分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，二 2b=a+c,可知b由a,c決定，又？?22b是偶數(shù)，？2,2同奇或同偶，即：

6、分別從1,3,5,19或2,4,6,8 , 20,這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列,C (2,10) *2*P (2,2)，因而本題為180。例2.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，如圖。若規(guī)定 只能向東或向北兩個 方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法？分析：對實(shí)際背景的分析可以逐層深入（1） 從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步。（2） 每一步是向上還是向右，決定了不同的走法。（3） 事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右。從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走 ，就可以確定走法數(shù)，?本題答案為：=56。2.

7、注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合例3 .在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A, B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A, B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有 獨(dú)j分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排 列數(shù)，組合數(shù)的 式子表示，因而采取分類的方法。第一類:A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例4.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 （A） 240 （B） 180 （C） 120 （D）

8、60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；從剩下的十只手套中任選一只，有1 0種方法。（三）之外的八只手套中任選一只，有從除前所涉及的兩雙手套8種方法；由于選取與順序無關(guān)，因而（二）（三）中的選法重復(fù)一次,因而共240種。例5 .身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身 后的人個子矮，則 所有不同的排法種數(shù)為 。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方 法只與人的選法 有關(guān)系，共有三縱列，從而有=90種。例6 .在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng) 車工。現(xiàn)從

9、11人中 選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法？分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后 統(tǒng)一。以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當(dāng)中有幾個去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個人都去當(dāng)鉗工，有35種；第二類：這兩人有一個去當(dāng)鉗工，有 75種；第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工，有 75 種。因而共有185種例7.現(xiàn)有印著0,1 , 3, 5, 7, 9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意 抽出三張可以組成多 少個不同的三位數(shù)？分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0, 1, 3, 5, 7, 9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能

10、用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0,含9,有種方法；抽出的三數(shù)含0不含9,有種方法；抽出的三數(shù)含9不含0,有種方法；抽出的三數(shù)不含9也不含0,有種方法。又因為數(shù)字9可以當(dāng)6用，因此共有2 X (+)+=144 種方法。例8 .停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法是種。分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有種停車方法。3 .特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮例9 .六人站成一排，求 甲不在排頭 乙不在排尾的排列數(shù)(2)甲不在排頭乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考

11、慮分類。第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當(dāng)然他也不能在排尾，有種站法，共十種站法。(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排頭，有種方法。第四類：甲不在排尾，乙不在排頭，有種方法。共+2+=312 種。例10 .對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測試，至區(qū)分出所有次品 為止。若所有次品 恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試 應(yīng)算是特殊位置 了，分步完成。第一步：第五次測試的有種可能；第二步：前四次有一

12、件正品有中可能。第三步：前四次有種可能。?共有種可能。4 .捆綁與插空例11. 8人排成一隊(1 )甲乙必須相鄰(2 )甲乙不相鄰 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：(1)有種方法。(2)有種方法。(3)有種方法。(4)有種方法。(5)本題不能用插空法，不能連續(xù)進(jìn)行插空。用間接解法：全排列-甲乙相鄰-丙丁相鄰+甲乙相鄰且丙丁相鄰，共-+=23040 種方法。例12.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況？分析：？?？連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外 沒有命中的之間 沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)

13、空槍之間形成的 5個空中選出2個的排列，即。例13.馬路上有編號為1,2, 3, 10十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把 其中的三只燈關(guān)掉，但 不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種 ？分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的 6個空中選出3個空放置熄滅的燈。?其20種方法。4 .間接計數(shù)法.（1）排除法例14.三行三列共九個點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個三角形 ？分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，?

14、共種。例15.正方體8個頂點(diǎn)中取出4個,可組成多少個四面體？分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，? 共-12=70-12=58 個。例16. l , 2, 3, 9,中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)？分析：由于底數(shù)不能為1。（1）當(dāng)1選上時，1必為真數(shù)，？有一種情況。（2）當(dāng)不選1時，從2-9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共，其中 log2為底4=log3 為底9, Iog4為底2=log9 為底3, Iog2 為底3=log4 為底9, Iog3 為底2=log9 為底4.因而一共有53個。（3）補(bǔ)上一個階段，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題例17.六

15、人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢 ？分析：（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有=360種。（二）先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了 種，？=共0種。例18 . 5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法，分析：首先不考慮男生的站位要求，共種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種 站法，因而上述 站法重復(fù)了次。因而有=9 X 8 X 7X 6=3024 種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有

16、3024種,綜上，有6048種。例19.三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法？分析：先認(rèn)為三個紅球互不相同，共種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下 ， 共有變化，因而共=20種。5 .擋板的使用例20. 10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法？分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。6 .注意排列組合的區(qū)別與聯(lián)系：所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同 樣，組合如補(bǔ)充 一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題。例21.從0, 1,2, 9,

17、中取出2個偶數(shù)數(shù)字，3個奇數(shù)數(shù)字，可組成多少個無重復(fù) 數(shù)字的五位數(shù)？分析：先選后排。另外還要考慮特殊元素0的選取。（1） 兩個選出的偶數(shù)含0,則有種。（2） 兩個選出的偶數(shù)字不含0,則有種。例22.電梯有7位乘客，在10層樓房的每一層停留，如果三位乘客從同一層出去，另外兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，有多少種不同的下樓方法？分析：（一）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四組，有種。（二）選擇1 0層中的四層下樓有種。?共有種。例23.用數(shù)字0, 1, 2, 3, 4 , 5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),可組成多少個不同的四位數(shù)？(2)可組成多少個不同的四位偶數(shù) ？可組成多少個能被

18、3整除的四位數(shù)？(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85項是什么？分析：(1)有個。(2)分為兩類：0在末位，則有種：0不在末位，則有種。?共種。(3) 先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選0, 1, 2, 30135023403451, 2, 4, 5它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4 X ()+=96種。(4) 首位為1的有=60個。前兩位為20的有=12個。前兩位為21的有=12個。因而第85項是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。7.分組問題例24. 6本不同的書 分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法 ？(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？ 分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法 ？ 分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法分析：(1 )有中。(2)即在(1)的基礎(chǔ)上除去順序，有種。(3)有種。由于這是不平均分組，因而不包含順序。(4)有種。同(3),原因是甲，乙，丙持有量確定。(5)有種。例25. 6人分乘兩輛不同