2010中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座四邊形

1、一輪復(fù)習(xí)專題講座 四邊形1 專題概述本期復(fù)習(xí)的四邊形是初中幾何核心內(nèi)容之一 四邊形的概念、 性質(zhì)和定理較多， 特別是 特殊四邊形， 與同學(xué)們的生活實際息相關(guān)， 又為數(shù)學(xué)上證明線段和角相等提供了依據(jù)， 自然 成為各地中考必考內(nèi)容 在各地中考題中，四邊形的考查題型不定，問題呈現(xiàn)方式多樣難 度以中檔題、較難題為主直接考查的題量一般在 57 個左右，分值占試卷 20%30%預(yù)計 2010 年中考會繼續(xù)將四邊形作為重點考查對象，考查靈活多變，突出推理、綜合與應(yīng)用2 基礎(chǔ)知識回顧1 平行四邊形的的概念： 兩組對邊 的四邊形叫做平行四邊形 .2平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對邊 ；平行四邊形是 圖形，的

2、交點為平行四邊形的對稱中心；平行四邊形的對邊 ，對角 ，鄰角 ；平行線之間的距離處處 .3 平行四邊形的判定方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義識別）一組對邊 的四邊形是平行四邊形對角線的四邊形是平行四邊形兩組對邊的四邊形是平行四邊形. 兩組對角的四邊形是平行四邊形.4 矩形概念：有一個角是 的平行四邊形叫做矩形5矩形的性質(zhì)：矩形具有的所有特征；矩形的四個內(nèi)角都是；矩形的兩條對角線；矩形既是圖形，又是圖形。6 矩形的判定方法： 矩形定義； 有三個角是 的四邊形是矩形； 對角線 的平行四邊形是矩形；7菱形概念： 有一組鄰邊的平行四邊形叫做菱形 .&菱形的性質(zhì)：菱形具有 的所

3、有特征；菱形的四條邊都；菱形的對角線，每條對角線平分一組 ，9菱形的判定方法： 菱形定義； 四條邊 的四邊形是菱形； 對角線 的平行四邊形是 菱形。10正方形概念： 有一組鄰邊 ，并且有一個角是 的平行四邊形叫做正方形 . 11正方形的性質(zhì)： 正方形具有 、 的所有特征， 正方形的四個角都是 ，四條邊都 ；正方形的兩條對角線，并且互相，每條對角線平分一組：正方形的交點是它的對稱中心，是它的對稱軸，共有條對稱軸。12.正方形的判定方法： 正方形定義；有的矩形是正方形；有 的菱形是正方形；對角線的矩形是正方形；對角線的菱形是正方形。13梯形定義：的四邊形叫梯形。14.梯形的元素：平行的兩邊叫梯形的

4、，不平行的兩邊叫做梯形的，兩底之間的距離叫做梯形的15.其中一腰與底邊垂直的梯形叫梯形，兩腰相等的梯形叫 梯形。16 等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形的兩腰 ，兩底；（2）等腰梯形同一底上的相等；（3）等腰梯形的對角線 ；（4）等腰梯形是圖形，它的對稱軸是。17等腰梯形的判定方法：（1）相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的兩個角的梯形是等腰梯形；（3）對角線 的梯形是等腰梯形。3 考點例析考點一平行四邊形的性質(zhì)與判定例 1 （2009 年桂林市）如圖，口ABCDL AC BD為對角線，BC=6,BC邊上的高為 4, 則陰影部分的面積為（）.A. 3 B . 6 C . 12 D . 24講解：

5、觀察平行四邊形中散在的 5 個陰影部分，其面積怎樣集中起來呢？如果發(fā)現(xiàn)平行 四邊形的中心對稱性質(zhì)就可以將它們轉(zhuǎn)化（集中）為一個大的三角形（人。或厶ABC來求了，顯然陰影部分的面積為12,故選 C.C點評：不規(guī)則圖形的面積一般都需要有效轉(zhuǎn)化，像上面這樣充分發(fā)現(xiàn)并利用已知條件的價值，進而為問題求解服務(wù)的策略是值得同學(xué)們積累的.例 2 （2009 湖北黃岡）如圖，在ABC中，/AC號 90，點E為AB中點，連結(jié)CE過點E作EDL BC于點D,在DE的延長線上取一點F,使AF=CE求證：四邊形ACEF是平行四 邊形.分析：要證明ACEF是平行四邊形，已有AF=CE只要證明AF/ CE即可，只要證明/F

6、=ZDEC而由AF=AE得/F=ZAEF由BE=CE得/CEDZDEB又/BED/AEF即證.點評：幾何證明主要采用的是分析的方法，尋找現(xiàn)有的條件，挖掘隱藏的條件，從結(jié)論出發(fā)，向已知條件或定理靠攏 考點二菱形、矩形的性質(zhì)與識別例 3 （2009 四川內(nèi)江）如圖在矩形ABCDh，若AC=2AB則/AOB勺大小是（）A. 30 B. 45 C. 60D.90分析：在 RtABC中,AC=2AB得/ACB30。，又由矩形的性質(zhì)得BOCO所以/AOB60選 C.點評：矩形是特殊的平行四邊形， 它可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題， 利用直角三角形的 性質(zhì)來解答.例 4（2009 福建莆田）如圖，菱形ABCD的

7、對角線相交于點O,請你添加一個條件: 使得該菱形為正方形.分析：正方形是特殊的菱形，它具有菱形具有的一切性質(zhì)外，還有它的對角線是相等，所以當(dāng)菱形增加一個條件是對角線相等時，該菱形變?yōu)檎叫蜦ADCC點評：特殊平行四邊形之間的關(guān)系是十分重要的，同學(xué)們一定要對它們之間的關(guān)系熟悉 .例 5 （2009 年襄樊市，有改動）如圖所示，在RtABC中，/ABC =90.將RtABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到DEC,點E在AC上，再將RtABC沿著AB所在直 線翻轉(zhuǎn)180得到ABF.連接AD.（1）試分析四邊形AFCD是菱形嗎？說明理由.（2）連接BE并延長交AD于G,連接CG,請問：四邊形ABCG是什么

8、特殊平行四邊形？為什么?講解：（1）四邊形AFCD是菱形.說明：RtDEC是由RtABC繞C點旋轉(zhuǎn)60得到， AC二DCACB二ZACD二60 ACD是等邊三角形，AD = DC = AC又RtABF是由RtABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到AC = AF, ZABF ABC =90ZFBC是平角點F、B C三點共線AFC是等邊三角形.AF二FC = ACAD = DC二FC二AF四邊形AFCD是菱形.（2）四邊形ABCG是矩形.說明：由（1）可知：ACD是等邊三角形，DE _ AC于E, AE = EC/AG/BCZEAG= ZECB,ZAGE =Z EBC.AEG CEBAG二BC四邊形A

9、BCG是平行四邊形，而ZABC =90四邊形ABCG是矩形.點評：本題第（1）問中發(fā)現(xiàn)“ACD是等邊三角形”是很重要的，它是后續(xù)很多特D殊三角形得到發(fā)現(xiàn)、確認的關(guān)鍵第（2）問求解時，如果能發(fā)現(xiàn)特殊Rt ABCRt BCGRtACG（它們都是 30 度，60 度，90 度）也是思路得以打開的關(guān)鍵.考點 5 與正方形相關(guān)的探究問題例 6 （ 2009 年莆田市）如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O,請你添加一個條件:講解：AB _ BC或AC =BD或AO = BO等.點評：正方形的識識別一般可從兩個方面來理解：（1）若是矩形，則需再有一組鄰邊相等；（2）若是菱形，再需要有一個角是直角即在矩形和菱

10、形的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然也可以結(jié) 合正方形的定義來發(fā)現(xiàn).例 7 （2009 山東德州）已知正方形ABCDK E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F,連接DF G為DF中點，連接EG CG（1）求證：EG=CG（ 2）將圖中厶BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn) 45o,如圖所示，取DF中點G連接EG CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立， 請說明理由；（3）將圖中厶BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）分析：題中點G是一個特殊點，它是 RtDEF和 RtDCF斜邊上的中點，要證EGCG

11、可利用直角三角形的性質(zhì)加以證明隨著圖形的變換，要證明結(jié)論的不變性，可充分挖掘正C圖圖方形的一些特性，所隱藏的一些條件，構(gòu)造出全等三角形加以證明1解：(1 )證明：在 Rt FCD中, G為DF的中點，CG丄FD21同理，在 RtDEF中,EG=_FDCGEG2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG過G點作MNLAD于M與EF的延長線交于N點.在DAGfADCGK； ：AD=CD/ADG/CDG DGDG DAQADCG：AG=CG在厶DMGfAFNG, / /DGMZ FGNFG=DG/MDG/ NFGDMQAFNGMGNG在矩形AENM中,AM=EN,在 RtAMG與 RtENG

12、中 AM=EN MGNG -AMH ENG：AGEGEGCG（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EGCG其他的結(jié)論還有：EGLCG點評：當(dāng)幾何圖形和已知條件發(fā)生變化時，它的結(jié)論有可能隨之發(fā)生變化，也有可能原來結(jié)論保持不變的這類探索型試題在中考試卷中屬熱點問題，要求同學(xué)們能在“變”中求“變”或“不變”.考點四 梯形為載體的問題例 8 （2009 山東淄博）如圖，梯形ABCDK/ABC和/DCB勺平分線相交于梯形中位線EF上的一點P,若EF=3,則梯形ABC啲周長為（講解：梯形ABCD勺周長=AB+BC+CD+DA 由梯形中位線性質(zhì)可求出 AD+BC=6 由平行線與 角平分線的性質(zhì)，可得 BE=EP=

13、AE CF=PF=DF 所以 AB+CD=6 所以ABCD勺周長為 12.點評：梯形的中位線定理在梯形面積周長的計算中時常用到，它將上下底的和的大小位置轉(zhuǎn)換到中位線的大小位置關(guān)系例 9（ 2009 湖南邵陽）如圖在梯形ABCD中，AD/BC,AB二AD二DC,AC _ AB,BA. 9B. 10.5 C . 12D. 15DAPEFCBF（1）求三ABC的度數(shù)；（2）求證：CAF為等腰三角形.講解：要求.ABC的度數(shù)的大小，但題中已知條件沒有告之角度的大小，所以可以考慮用方程來解決，因為/DAC/DCA/BAF=ZAFE=x;貝卩 x=30 :則N ABC=60 :點評：本題是利用梯形.等腰三

14、角形的性質(zhì)進行角度的計算，是通過角度之間的轉(zhuǎn)換來4 新題解讀題型一矩形紙條的操作探究問題例 1（2009 年煙臺市）如圖，將兩張長為 8,寬為 2 的矩形紙條交叉，使重疊部分是例 1-1例 1-2講解：兩張等寬紙條交叉放置，重疊部分是一個菱形，同學(xué)們一定能說明它的正確性，這里不去驗證了.怎樣才能獲得最大周長呢？關(guān)鍵是什么時候的邊長最大！當(dāng)兩張紙條放置成如圖（例 4-2 ）所示的情況時，可獲得最大邊長，此時思考RtABC由勾股定理可求出菱17形的邊長為，即此時菱形周長為 17.4點評：順利求解這道題有兩個關(guān)鍵：一是想象出如圖例 4-2 的最大菱形；二是在該圖形怎樣求出菱形的邊長，能不能想到用方程

15、思想解Rt ABC題型二小組合作學(xué)習(xí)的情境問題例 2 （2009 年孝感市）如圖，正方形ABCD有兩條相交線段MN EF,M N、E F分別 在邊ABCD AD BC上.小明認為：若MN=EF,貝U MNLEF;小亮認為：若MNLEF,貝U MN=EF.你認為（）.A.僅小明對B.僅小亮對C兩人都對D.兩人都不對講解：關(guān)鍵是過 E、M 引對邊的垂線段，進而構(gòu)造直角三角形全等，可以發(fā)現(xiàn)兩個同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的.題型三菱形的生活情境應(yīng)用例 3 (2009 年安徽)學(xué)校植物園沿路護欄紋飾部分設(shè)計成若干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dem,如圖所示.已知每個菱形圖案的邊長10 3c

16、m 其一個內(nèi)角為 6060: 爻L-(1)若 d = 26,則該紋飾要 231個菱形圖案，求紋飾的長度L;(2) 當(dāng) d = 20 時，若保持(1)中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？講解：這是一道特殊平行四邊形的實際應(yīng)用題，已知菱形的邊長和一個內(nèi)角求較長的水平方向?qū)蔷€的長，當(dāng)然它不是簡單地將菱形對角線的長度相加(1 )菱形圖案水平方向?qū)蔷€長為103 cos302= 30cm.按題意，L =30 26 (231 -1) =6010cm.(2)當(dāng) d =20cm 時，設(shè)需x個菱形圖案，則有：3020 (x -1) =6010;解得 x =300 ；即需 300 個這樣的菱形圖案點評：

17、本題在菱形圖案長度這樣一個實際背景下，綜合了解直角三角形和方程的知識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決生活中實際問題的無窮魅力題型四 特殊四邊形的動態(tài)探究例 4 (2009 年河南)如圖，在RtABC中，ZACB =90ZB = 60BC = 2.點O是AC的中點， 過點O的直線l從與AC重合的位置開始， 繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn)， 交AB邊于點D.過點C作CE/AB交直線l于點E，設(shè)直線丨的旋轉(zhuǎn)角為:.點評：這是正方形中一個重要的性質(zhì)了, 求解，這里的兩個性質(zhì)是需要同學(xué)們積累的, 速度的提升.同學(xué)們在課本上或習(xí)題一定都會碰到此類題的多進行這樣的歸納有利解題思路的獲取、解題3（1）當(dāng)二度時，四邊形EDBC是等腰梯形，

18、此時AD的長為;當(dāng)二度時，四邊形EDBC是直角梯形，此時AD的長為；（2）當(dāng)=90時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由.講解：反過來考慮，當(dāng)EDBC是等腰梯形時，/B=ZEDE=60，/ECO/CAE=30，所 八，01以-30,而AD=D- BC=1.同樣地，EDBC是直角梯形時，同樣可以求出a的大小.2（1）30, 1 :60, 1.5 ;（2） 當(dāng)/a=90時，四邊形EDB（是菱形./a=/ACB90,.BC/ED CE/AB四邊形EDBCl平行四邊形，在 RtABC中,/ACB900, /B=600,BC=2,/A=300. AB=4,AC=23AOAC = .3，在 Rt A

19、O中，/A=30,二AD=2.2BD=2. BD=BC又四邊形EDBCl平行四邊形，四邊形EDB（是菱形點評：將梯形與旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合起來，在運動和變化的過程中需要同學(xué)們對特殊四邊形性質(zhì)活學(xué)活用.5 跟蹤訓(xùn)練1 .以三角形的三個頂點及三邊中點為頂點的平行四邊形共有（）A. 1 個 B.2 個 C.3個 D.4個2.如圖， 在四邊形ABCD中,E是BC邊的中點， 連結(jié)DE并延長，交AB的延長線于F點,AB =BF添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形你認為下面四個條件中可選擇的是（ ）3.能夠判斷一個四邊形是菱形，則下列答案正確的是（）A.AD = BCB CD = BFC.A= CD .F

20、=CDEA. 組對角相等且一條對角線平分這組對角B.對角線相等C.對角線互相垂直D.一組鄰邊相等4.已知一矩形的周長是 24cm,相鄰兩邊之比是 1 : 2,那么這個矩形的面積是（）2 2 2 2A. 24cm B . 32cm C . 48cmD . 128cm已知平行四邊形 ABCD 勺對角線 AC BD 相交于點 0,分別添加下列條件:(1)/ ABC=90 ; (2) ACL BD (3)AB=BC(4) AC 平分/ BAD ( 5) A0=D0使得四邊形 ABCD 是矩形的條件的序號有梯形ABCD中，AD/ BC,AD =1,BC = 4,C = 70,B = 40，則AB的長為.如圖，已知P是正方形ABCD寸角線BD上一點，且BP=BC則/ACP度數(shù)是.如圖，在梯形ABCD中,AB/CDBDLAD BC=CD/A=60,CD=2cm求/CBD的