2010中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題講座四邊形

1、一輪復(fù)習(xí)專題講座 四邊形1 專題概述本期復(fù)習(xí)的四邊形是初中幾何核心內(nèi)容之一 四邊形的概念、 性質(zhì)和定理較多， 特別是 特殊四邊形， 與同學(xué)們的生活實(shí)際息相關(guān)， 又為數(shù)學(xué)上證明線段和角相等提供了依據(jù)， 自然 成為各地中考必考內(nèi)容 在各地中考題中，四邊形的考查題型不定，問(wèn)題呈現(xiàn)方式多樣難 度以中檔題、較難題為主直接考查的題量一般在 57 個(gè)左右，分值占試卷 20%30%預(yù)計(jì) 2010 年中考會(huì)繼續(xù)將四邊形作為重點(diǎn)考查對(duì)象，考查靈活多變，突出推理、綜合與應(yīng)用2 基礎(chǔ)知識(shí)回顧1 平行四邊形的的概念： 兩組對(duì)邊 的四邊形叫做平行四邊形 .2平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩組對(duì)邊 ；平行四邊形是 圖形，的

2、交點(diǎn)為平行四邊形的對(duì)稱中心；平行四邊形的對(duì)邊 ，對(duì)角 ，鄰角 ；平行線之間的距離處處 .3 平行四邊形的判定方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.（定義識(shí)別）一組對(duì)邊 的四邊形是平行四邊形對(duì)角線的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊的四邊形是平行四邊形. 兩組對(duì)角的四邊形是平行四邊形.4 矩形概念：有一個(gè)角是 的平行四邊形叫做矩形5矩形的性質(zhì)：矩形具有的所有特征；矩形的四個(gè)內(nèi)角都是；矩形的兩條對(duì)角線；矩形既是圖形，又是圖形。6 矩形的判定方法： 矩形定義； 有三個(gè)角是 的四邊形是矩形； 對(duì)角線 的平行四邊形是矩形；7菱形概念： 有一組鄰邊的平行四邊形叫做菱形 .&菱形的性質(zhì)：菱形具有 的所

3、有特征；菱形的四條邊都；菱形的對(duì)角線，每條對(duì)角線平分一組 ，9菱形的判定方法： 菱形定義； 四條邊 的四邊形是菱形； 對(duì)角線 的平行四邊形是 菱形。10正方形概念： 有一組鄰邊 ，并且有一個(gè)角是 的平行四邊形叫做正方形 . 11正方形的性質(zhì)： 正方形具有 、 的所有特征， 正方形的四個(gè)角都是 ，四條邊都 ；正方形的兩條對(duì)角線，并且互相，每條對(duì)角線平分一組：正方形的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心，是它的對(duì)稱軸，共有條對(duì)稱軸。12.正方形的判定方法： 正方形定義；有的矩形是正方形；有 的菱形是正方形；對(duì)角線的矩形是正方形；對(duì)角線的菱形是正方形。13梯形定義：的四邊形叫梯形。14.梯形的元素：平行的兩邊叫梯形的

4、，不平行的兩邊叫做梯形的，兩底之間的距離叫做梯形的15.其中一腰與底邊垂直的梯形叫梯形，兩腰相等的梯形叫 梯形。16 等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形的兩腰 ，兩底；（2）等腰梯形同一底上的相等；（3）等腰梯形的對(duì)角線 ；（4）等腰梯形是圖形，它的對(duì)稱軸是。17等腰梯形的判定方法：（1）相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底上的兩個(gè)角的梯形是等腰梯形；（3）對(duì)角線 的梯形是等腰梯形。3 考點(diǎn)例析考點(diǎn)一平行四邊形的性質(zhì)與判定例 1 （2009 年桂林市）如圖，口ABCDL AC BD為對(duì)角線，BC=6,BC邊上的高為 4, 則陰影部分的面積為（）.A. 3 B . 6 C . 12 D . 24講解：

5、觀察平行四邊形中散在的 5 個(gè)陰影部分，其面積怎樣集中起來(lái)呢？如果發(fā)現(xiàn)平行 四邊形的中心對(duì)稱性質(zhì)就可以將它們轉(zhuǎn)化（集中）為一個(gè)大的三角形（人?；蜊藺BC來(lái)求了，顯然陰影部分的面積為12,故選 C.C點(diǎn)評(píng)：不規(guī)則圖形的面積一般都需要有效轉(zhuǎn)化，像上面這樣充分發(fā)現(xiàn)并利用已知條件的價(jià)值，進(jìn)而為問(wèn)題求解服務(wù)的策略是值得同學(xué)們積累的.例 2 （2009 湖北黃岡）如圖，在ABC中，/AC號(hào) 90，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE過(guò)點(diǎn)E作EDL BC于點(diǎn)D,在DE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使AF=CE求證：四邊形ACEF是平行四 邊形.分析：要證明ACEF是平行四邊形，已有AF=CE只要證明AF/ CE即可，只要證明/F

6、=ZDEC而由AF=AE得/F=ZAEF由BE=CE得/CEDZDEB又/BED/AEF即證.點(diǎn)評(píng)：幾何證明主要采用的是分析的方法，尋找現(xiàn)有的條件，挖掘隱藏的條件，從結(jié)論出發(fā)，向已知條件或定理靠攏 考點(diǎn)二菱形、矩形的性質(zhì)與識(shí)別例 3 （2009 四川內(nèi)江）如圖在矩形ABCDh，若AC=2AB則/AOB勺大小是（）A. 30 B. 45 C. 60D.90分析：在 RtABC中,AC=2AB得/ACB30。，又由矩形的性質(zhì)得BOCO所以/AOB60選 C.點(diǎn)評(píng)：矩形是特殊的平行四邊形， 它可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題， 利用直角三角形的 性質(zhì)來(lái)解答.例 4（2009 福建莆田）如圖，菱形ABCD的

7、對(duì)角線相交于點(diǎn)O,請(qǐng)你添加一個(gè)條件: 使得該菱形為正方形.分析：正方形是特殊的菱形，它具有菱形具有的一切性質(zhì)外，還有它的對(duì)角線是相等，所以當(dāng)菱形增加一個(gè)條件是對(duì)角線相等時(shí)，該菱形變?yōu)檎叫蜦ADCC點(diǎn)評(píng)：特殊平行四邊形之間的關(guān)系是十分重要的，同學(xué)們一定要對(duì)它們之間的關(guān)系熟悉 .例 5 （2009 年襄樊市，有改動(dòng)）如圖所示，在RtABC中，/ABC =90.將RtABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60得到DEC,點(diǎn)E在AC上，再將RtABC沿著AB所在直 線翻轉(zhuǎn)180得到ABF.連接AD.（1）試分析四邊形AFCD是菱形嗎？說(shuō)明理由.（2）連接BE并延長(zhǎng)交AD于G,連接CG,請(qǐng)問(wèn)：四邊形ABCG是什么

8、特殊平行四邊形？為什么?講解：（1）四邊形AFCD是菱形.說(shuō)明：RtDEC是由RtABC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60得到， AC二DCACB二ZACD二60 ACD是等邊三角形，AD = DC = AC又RtABF是由RtABC沿AB所在直線翻轉(zhuǎn)180得到AC = AF, ZABF ABC =90ZFBC是平角點(diǎn)F、B C三點(diǎn)共線AFC是等邊三角形.AF二FC = ACAD = DC二FC二AF四邊形AFCD是菱形.（2）四邊形ABCG是矩形.說(shuō)明：由（1）可知：ACD是等邊三角形，DE _ AC于E, AE = EC/AG/BCZEAG= ZECB,ZAGE =Z EBC.AEG CEBAG二BC四邊形A

9、BCG是平行四邊形，而ZABC =90四邊形ABCG是矩形.點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問(wèn)中發(fā)現(xiàn)“ACD是等邊三角形”是很重要的，它是后續(xù)很多特D殊三角形得到發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)的關(guān)鍵第（2）問(wèn)求解時(shí)，如果能發(fā)現(xiàn)特殊Rt ABCRt BCGRtACG（它們都是 30 度，60 度，90 度）也是思路得以打開的關(guān)鍵.考點(diǎn) 5 與正方形相關(guān)的探究問(wèn)題例 6 （ 2009 年莆田市）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,請(qǐng)你添加一個(gè)條件:講解：AB _ BC或AC =BD或AO = BO等.點(diǎn)評(píng)：正方形的識(shí)識(shí)別一般可從兩個(gè)方面來(lái)理解：（1）若是矩形，則需再有一組鄰邊相等；（2）若是菱形，再需要有一個(gè)角是直角即在矩形和菱

10、形的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，當(dāng)然也可以結(jié) 合正方形的定義來(lái)發(fā)現(xiàn).例 7 （2009 山東德州）已知正方形ABCDK E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作EF丄BD交BC于F,連接DF G為DF中點(diǎn)，連接EG CG（1）求證：EG=CG（ 2）將圖中厶BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45o,如圖所示，取DF中點(diǎn)G連接EG CG問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立， 請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）將圖中厶BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問(wèn)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過(guò)觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）分析：題中點(diǎn)G是一個(gè)特殊點(diǎn)，它是 RtDEF和 RtDCF斜邊上的中點(diǎn)，要證EGCG

11、可利用直角三角形的性質(zhì)加以證明隨著圖形的變換，要證明結(jié)論的不變性，可充分挖掘正C圖圖方形的一些特性，所隱藏的一些條件，構(gòu)造出全等三角形加以證明1解：(1 )證明：在 Rt FCD中, G為DF的中點(diǎn)，CG丄FD21同理，在 RtDEF中,EG=_FDCGEG2(2) (1)中結(jié)論仍然成立，即EG=CG連接AG過(guò)G點(diǎn)作MNLAD于M與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn).在DAGfADCGK； ：AD=CD/ADG/CDG DGDG DAQADCG：AG=CG在厶DMGfAFNG, / /DGMZ FGNFG=DG/MDG/ NFGDMQAFNGMGNG在矩形AENM中,AM=EN,在 RtAMG與 RtENG

12、中 AM=EN MGNG -AMH ENG：AGEGEGCG（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即EGCG其他的結(jié)論還有：EGLCG點(diǎn)評(píng)：當(dāng)幾何圖形和已知條件發(fā)生變化時(shí)，它的結(jié)論有可能隨之發(fā)生變化，也有可能原來(lái)結(jié)論保持不變的這類探索型試題在中考試卷中屬熱點(diǎn)問(wèn)題，要求同學(xué)們能在“變”中求“變”或“不變”.考點(diǎn)四 梯形為載體的問(wèn)題例 8 （2009 山東淄博）如圖，梯形ABCDK/ABC和/DCB勺平分線相交于梯形中位線EF上的一點(diǎn)P,若EF=3,則梯形ABC啲周長(zhǎng)為（講解：梯形ABCD勺周長(zhǎng)=AB+BC+CD+DA 由梯形中位線性質(zhì)可求出 AD+BC=6 由平行線與 角平分線的性質(zhì)，可得 BE=EP=

13、AE CF=PF=DF 所以 AB+CD=6 所以ABCD勺周長(zhǎng)為 12.點(diǎn)評(píng)：梯形的中位線定理在梯形面積周長(zhǎng)的計(jì)算中時(shí)常用到，它將上下底的和的大小位置轉(zhuǎn)換到中位線的大小位置關(guān)系例 9（ 2009 湖南邵陽(yáng)）如圖在梯形ABCD中，AD/BC,AB二AD二DC,AC _ AB,BA. 9B. 10.5 C . 12D. 15DAPEFCBF（1）求三ABC的度數(shù)；（2）求證：CAF為等腰三角形.講解：要求.ABC的度數(shù)的大小，但題中已知條件沒(méi)有告之角度的大小，所以可以考慮用方程來(lái)解決，因?yàn)?DAC/DCA/BAF=ZAFE=x;貝卩 x=30 :則N ABC=60 :點(diǎn)評(píng)：本題是利用梯形.等腰三

14、角形的性質(zhì)進(jìn)行角度的計(jì)算，是通過(guò)角度之間的轉(zhuǎn)換來(lái)4 新題解讀題型一矩形紙條的操作探究問(wèn)題例 1（2009 年煙臺(tái)市）如圖，將兩張長(zhǎng)為 8,寬為 2 的矩形紙條交叉，使重疊部分是例 1-1例 1-2講解：兩張等寬紙條交叉放置，重疊部分是一個(gè)菱形，同學(xué)們一定能說(shuō)明它的正確性，這里不去驗(yàn)證了.怎樣才能獲得最大周長(zhǎng)呢？關(guān)鍵是什么時(shí)候的邊長(zhǎng)最大！當(dāng)兩張紙條放置成如圖（例 4-2 ）所示的情況時(shí)，可獲得最大邊長(zhǎng)，此時(shí)思考RtABC由勾股定理可求出菱17形的邊長(zhǎng)為，即此時(shí)菱形周長(zhǎng)為 17.4點(diǎn)評(píng)：順利求解這道題有兩個(gè)關(guān)鍵：一是想象出如圖例 4-2 的最大菱形；二是在該圖形怎樣求出菱形的邊長(zhǎng)，能不能想到用方程

15、思想解Rt ABC題型二小組合作學(xué)習(xí)的情境問(wèn)題例 2 （2009 年孝感市）如圖，正方形ABCD有兩條相交線段MN EF,M N、E F分別 在邊ABCD AD BC上.小明認(rèn)為：若MN=EF,貝U MNLEF;小亮認(rèn)為：若MNLEF,貝U MN=EF.你認(rèn)為（）.A.僅小明對(duì)B.僅小亮對(duì)C兩人都對(duì)D.兩人都不對(duì)講解：關(guān)鍵是過(guò) E、M 引對(duì)邊的垂線段，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形全等，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的.題型三菱形的生活情境應(yīng)用例 3 (2009 年安徽)學(xué)校植物園沿路護(hù)欄紋飾部分設(shè)計(jì)成若干個(gè)全等菱形圖案，每增加一個(gè)菱形圖案，紋飾長(zhǎng)度就增加dem,如圖所示.已知每個(gè)菱形圖案的邊長(zhǎng)10 3c

16、m 其一個(gè)內(nèi)角為 6060: 爻L-(1)若 d = 26,則該紋飾要 231個(gè)菱形圖案，求紋飾的長(zhǎng)度L;(2) 當(dāng) d = 20 時(shí)，若保持(1)中紋飾長(zhǎng)度不變，則需要多少個(gè)這樣的菱形圖案？講解：這是一道特殊平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用題，已知菱形的邊長(zhǎng)和一個(gè)內(nèi)角求較長(zhǎng)的水平方向?qū)蔷€的長(zhǎng)，當(dāng)然它不是簡(jiǎn)單地將菱形對(duì)角線的長(zhǎng)度相加(1 )菱形圖案水平方向?qū)蔷€長(zhǎng)為103 cos302= 30cm.按題意，L =30 26 (231 -1) =6010cm.(2)當(dāng) d =20cm 時(shí)，設(shè)需x個(gè)菱形圖案，則有：3020 (x -1) =6010;解得 x =300 ；即需 300 個(gè)這樣的菱形圖案點(diǎn)評(píng)：

17、本題在菱形圖案長(zhǎng)度這樣一個(gè)實(shí)際背景下，綜合了解直角三角形和方程的知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解決生活中實(shí)際問(wèn)題的無(wú)窮魅力題型四 特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究例 4 (2009 年河南)如圖，在RtABC中，ZACB =90ZB = 60BC = 2.點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開始， 繞點(diǎn)O作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 交AB邊于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作CE/AB交直線l于點(diǎn)E，設(shè)直線丨的旋轉(zhuǎn)角為:.點(diǎn)評(píng)：這是正方形中一個(gè)重要的性質(zhì)了, 求解，這里的兩個(gè)性質(zhì)是需要同學(xué)們積累的, 速度的提升.同學(xué)們?cè)谡n本上或習(xí)題一定都會(huì)碰到此類題的多進(jìn)行這樣的歸納有利解題思路的獲取、解題3（1）當(dāng)二度時(shí)，四邊形EDBC是等腰梯形，

18、此時(shí)AD的長(zhǎng)為;當(dāng)二度時(shí)，四邊形EDBC是直角梯形，此時(shí)AD的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)=90時(shí)，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說(shuō)明理由.講解：反過(guò)來(lái)考慮，當(dāng)EDBC是等腰梯形時(shí)，/B=ZEDE=60，/ECO/CAE=30，所 八，01以-30,而AD=D- BC=1.同樣地，EDBC是直角梯形時(shí)，同樣可以求出a的大小.2（1）30, 1 :60, 1.5 ;（2） 當(dāng)/a=90時(shí)，四邊形EDB（是菱形./a=/ACB90,.BC/ED CE/AB四邊形EDBCl平行四邊形，在 RtABC中,/ACB900, /B=600,BC=2,/A=300. AB=4,AC=23AOAC = .3，在 Rt A

19、O中，/A=30,二AD=2.2BD=2. BD=BC又四邊形EDBCl平行四邊形，四邊形EDB（是菱形點(diǎn)評(píng)：將梯形與旋轉(zhuǎn)等變換結(jié)合起來(lái)，在運(yùn)動(dòng)和變化的過(guò)程中需要同學(xué)們對(duì)特殊四邊形性質(zhì)活學(xué)活用.5 跟蹤訓(xùn)練1 .以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及三邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形共有（）A. 1 個(gè) B.2 個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.如圖， 在四邊形ABCD中,E是BC邊的中點(diǎn)， 連結(jié)DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn),AB =BF添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD是平行四邊形你認(rèn)為下面四個(gè)條件中可選擇的是（ ）3.能夠判斷一個(gè)四邊形是菱形，則下列答案正確的是（）A.AD = BCB CD = BFC.A= CD .F

20、=CDEA. 組對(duì)角相等且一條對(duì)角線平分這組對(duì)角B.對(duì)角線相等C.對(duì)角線互相垂直D.一組鄰邊相等4.已知一矩形的周長(zhǎng)是 24cm,相鄰兩邊之比是 1 : 2,那么這個(gè)矩形的面積是（）2 2 2 2A. 24cm B . 32cm C . 48cmD . 128cm已知平行四邊形 ABCD 勺對(duì)角線 AC BD 相交于點(diǎn) 0,分別添加下列條件:(1)/ ABC=90 ; (2) ACL BD (3)AB=BC(4) AC 平分/ BAD ( 5) A0=D0使得四邊形 ABCD 是矩形的條件的序號(hào)有梯形ABCD中，AD/ BC,AD =1,BC = 4,C = 70,B = 40，則AB的長(zhǎng)為.如圖，已知P是正方形ABCD寸角線BD上一點(diǎn)，且BP=BC則/ACP度數(shù)是.如圖，在梯形ABCD中,AB/CDBDLAD BC=CD/A=60,CD=2cm求/CBD的