2010年湖南高考試題數(shù)學(xué)理解析版

1、一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共J0分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 -鯉符合題目孌求的.1.已知篥合 =123,= 2.3,4,則A.II = = N N B.N N 匚卩IC A/ny=2,3D. A/U-V = 1,4J/ny=L2,3n2,3.4=2t3選 d【答案】a【解析ArnAT=l.X3n2t3.4 =2,3故選Ce【命題意圖】本題肴查篥合的交第與孑篥的運(yùn)算，廉容易題2.下列命題中的假命題是 A. VxeR, 2x-0. B. VxeN*, （x-l）20C 3XR, lgYlD. x R, tan x = 2【答案】B 【解析】對(duì)于B選項(xiàng)x=l時(shí)，（x-l）=O,

2、故選B*【命題意圖】本題考查邏輯語(yǔ)言與指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)數(shù)酗、正切函數(shù)的值域:屬容 易題*3.極坐標(biāo)方程p p = = cos0cos0和參數(shù)方程X =17i（為參數(shù)）所表示的圖形分別是門(mén)y=2y=2 + + 3t3tA.圓、直線(xiàn)B.直線(xiàn)、圓C.圓、區(qū)ID.直線(xiàn)、直線(xiàn) 7【答案】AP【解析】極坐標(biāo)方程p = cos&化為普通方程為：F+F=x,為圓的方程fx= r參數(shù)方程廠(chǎng)一，J化為普通方程為：3X+V+ 1 = 053X+V+ 1=0為的直線(xiàn)的方程，故選y y = = 2+3t2+3tA【命題意圖】本題考查圓的極坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的參數(shù)方程與互化晉通方程的：屬容易題卩4.在Rt毎C中

3、，ZC =90 JC=4,則五疋等于門(mén)【解析】因?yàn)閆C = 90s,所以ACCB=ACCB=所以ABACABAC = = (AC-hCByAC(AC-hCByAC = = (AC)(AC)2 2+ACCB+ACCB = = 1616f f故選【命題意圖】本題考查向量的加法的運(yùn)算，向量的數(shù)量積：屬中檔題亠5.等于卩 VA. -2In2B. 2In2C. -In2. D. In2【答案】Ek【解析】因?yàn)?nx/ = -, “X所以f -dx = lnx|2 = ln4-ln 2 =ln 2 ,故選2x x【命題意圖】本題考查基本定理徴積分，常用對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù):屬容易。本題為教材選修2-2,第53頁(yè)，例

4、1第一小題改編而來(lái).原題為：計(jì)算定積分Ax a6.在中，角4B,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 gb,b, c.c.若ZC = 120 cd，則A.ababB.aba007 7ababa a+b因?yàn)閐0上0V所以a-b- 0：所以a方，故選Aa a + + b b【命題意圖】本題考查余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，不等式的性質(zhì)，比較法，屬中檔題.7-在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字也許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同捷 列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位苴上的數(shù)字相 同的信息個(gè)數(shù)為心A. 10B.llC.12D.15【答案】B，【解析】與信息0110至多有兩個(gè)

5、對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類(lèi)：aA. -16【答案】AB. 8C. 8第一類(lèi)：與信息0110有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位直上的數(shù)字相同C；=6（個(gè)片 第二 與信息0110有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C4（個(gè)）卩第三類(lèi)：fflMOllO沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位上的數(shù)字相同1（個(gè)） 與fMMOllO至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位，上的數(shù)宇相同的信息有6+4+1=11（個(gè)）故選氏P【命題意圖】本題考査組合問(wèn)題與分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理屋中檔題.卩X=-丄對(duì)稱(chēng)，則/的值為 22A. -2B.2C.-lD. 1卩【答案】I1【解析】由下圖可以看出庚便/（x） = min|x|f|x+r|的圖象關(guān)于Mx=對(duì)稱(chēng)，則【命題意圖】本題通過(guò)新定義考察學(xué)生

6、的創(chuàng)新能力，考察函數(shù)的圖象，考察考生數(shù)形結(jié)合的 能力，屬中檔題.3二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案域在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫 線(xiàn)上。V9已知一種材料的最佳加入量在1嗨到210g之間，若用0.618法安拄試驗(yàn)，則第一次試點(diǎn) 的加入童可以杲_ 屮【答案】171.8或148.2卩【解析】根S 0.618法，第一次試點(diǎn)加入量為心110+ （210-110） xO.61S=171.8- 210- (210-110) x0.618=148.28.用min a,/（x）=min【命題意圖】本題考京優(yōu)選法的0-618法，屬容易題.卩10如圖1所示,過(guò)QO外一點(diǎn)P作一條線(xiàn)與00交于A, B

7、兩點(diǎn),已知PA=2,點(diǎn)P到00的切線(xiàn)長(zhǎng)PT =4.跟AB的長(zhǎng)為_(kāi) *【答案】2【解析】根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理PTPT2 2= = PAPA PB,PBPB,PB=竺=蘭=8PAPA 2 2所以= = PBPB PAPA= 8-2 = 63【命題意圖】本題考察平面幾何的切線(xiàn)長(zhǎng)定理，屬容易題.卩11在區(qū)間72上陌機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則|x|Wl的概率為_(kāi)【答案】亠3【解析】P (|x|0）的焦點(diǎn)作斜率為1的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，在x軸上的正射影分別為0C.若梯形肋CD的面積為120,則_ a【答案】2卩I【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F （0,斗），則過(guò)焦點(diǎn)斜率為1的直線(xiàn)方程為尸x+斗，a設(shè)人（耳比）（乞宀）（呂

8、X）,由題意可知yy 0sv2 0由X+2，消去y得x x2 2-2px-2p-2px-2p2 2=0, a x1= 2pv由豐達(dá)定理得，Xi +呂=2p5x1x2=-p=-p2 2 所以梯形ABCD的面積為：“s = +乃X七一不）=* 3 +呂+卩）（呂一不）=+昭打+七尸一牡內(nèi)=斗3Pj4p2 + 4p2“所以3y/2p3y/2p1 1=2=2 忑又 p p 0：所如=2a【命題意圖】本題考查拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線(xiàn)的方程，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位貫關(guān)系，考察考 生的運(yùn)算能力:屬中檔題卩15.若數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的從 NN只有有限個(gè)正整數(shù)力使得ajCn成立，記這樣的加的個(gè)數(shù)為（dj，則得到一個(gè)新數(shù)列

9、（%）例如，若數(shù)列qj是123，么，則數(shù)列（%）是0丄2，已知對(duì)任意的xN， = 則（a a5 5X X = =_, ,3()=_【答案】2,宀【解析】因?yàn)橐?,而冬=/,所以m=12所以(5)=2屮 因?yàn)?GIO,(a2)- = L(a3)- = l5(a4)- = LST = 2)=2仏)=2,(遜)=2仏)=2,o = 3 1)=3：(如)=3=3： (%) = 3： (% ) = 3= (q J = 3：所以(Si) = l,(勺丁廣二亠(他)=9, (0)=16, “猜想3)丁 =宀【命題意圖】本題以數(shù)列為背秦，通過(guò)新定義考察學(xué)生的自學(xué)能力、創(chuàng)新能力、探究能力, 屬難題。a三、解答題

10、：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算犧.a16.(本小題満分12分)卩已知函f f(x) =y/3y/3sin 2x-2 sin:x.x. a a(I)求函數(shù)/(x)的最大值；“(ID求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)的集合卩【解析】(I )因?yàn)?(x) = -3 sin 2x- (1 - cos2x)2x)=2sin(2x+) 6所以，當(dāng)2x+蘭=2上；r+蘭，即乂=Qr+壬(上eZ)Bj，函數(shù)/(x)取最大值1*6 2 6(II)解法1由(I )及/(x)= 0sin(2x+-) = A,所以卩6 22x+ =2/CT+, 或2x+ =2k7r+=2k7r+t t即x=Qr.或

11、x=Qr+蘭66663故求函數(shù)/(X)的零點(diǎn)的集合為X | x=Ar迅或X =fKS2 2由f(x)=02y/3f(x)=02y/3sin xcosx= 2sin:x,：sin x = 05l!$/3 cosx = sinx-HP tan x =歷 a 由sinx = 0可知尸Qr,即tan x = V3可知,故求函數(shù)/(x)的零點(diǎn)的集合為X |x=Qr,或X=后+彳,M Z卩【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的恒等變形，簡(jiǎn)單三角方程，二倍角公式、兩角和差的正余 弦公式，考察學(xué)生三角運(yùn)算能力，屬中檔題 217.（本小題滿(mǎn)分12分）a圖4是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月 平均用水量（單位：噸）的頻率

12、分布直方圖.a（I）求直方圖中X的值；“（II）如將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取心3位居民（看作有敢回的抽樣），求月均用水量在心3至4噸的居民數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.“卩【解析】a(I )依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1 + x+0.37 +0.39 = LW#x = 0.12(II)由題意知，X3(3,0.1), a因此 aP( = 0) = Cfx 0.93= 0:729： F(X = l) = Cix O.lxO.9:= 0:243卩P(- = 2) = q:x0.12x0.9 = 0!027lP( = 3) = Cfx0.13=0!001故隨機(jī)變量X的分布列為卩XP322

13、P32P90.7230.24390.027P0.002X的數(shù)學(xué)期望為EX=3xO l=O 3v【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖、二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望。 屬中檔題卩18(本小題滿(mǎn)分12分)a如圖5所示，在正方體ABCD-AjBiCiD】中，E是棱DD】的中點(diǎn)?！?I )求直線(xiàn)BE與平面ABBiAi所成的角的正弦值；3(II)在棱C】D上杲否存在一點(diǎn)F,使BF平面A】BE?【解析】3解法1設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為b如圖所示，以嘰辺申為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.3(I )依題意,得B (1, 0, 0), E (0, 1, -), A (0, 0, 0), D (0, 1, 0

14、),所以 a25 = (-1, lsi),LW = (0,ls0),在正方體ABCD-ABICIDI中，因?yàn)锳D丄平面ABBiAp所以而是平面ABBiAi的一個(gè)法向量.“設(shè)直線(xiàn)BE與平面ABBiAi所成的甬為&,則卩.BE-ADBE-AD12sin6 6= -=s I = = 3IHI 2x1 32即直線(xiàn)BE與平面ABBA】所成的角的正弦值為2. a3亠 1(II)依題意，得A】(0, 0, 1), 54 = (-L0sl)r5 = (-LL-).設(shè)n= (xy;z)杲平面ABE得一個(gè)法向量，則由= 得卩一x+z = 0 x+j+r=0所以x = zsy = iz,取z=2：得n=(2

15、丄2)屮設(shè)F是棱GD】上的點(diǎn),貝IJF (t,l,l) (OWtWl),又Bi (1, 0, 1),所以卩F = （r-1丄0）：而B(niǎo)fBf（z z平面A】BE,于是亠BF/平面AjBE BpF.n= 0 （r-1,1,0）（2丄2） = 0 o 2（z-1） +1 = 0a圖5a0 2 斗 0 尸為C】D的中點(diǎn)。這說(shuō)明在在棱C】D上是否存在一點(diǎn)F （CP的中點(diǎn)），使B）F平面AiBEv解法2如圖（a）所示，取AAi的中點(diǎn)1,連結(jié)EI,BM,阪為E是DD】的中點(diǎn)，四邊 形ADD】A】為正方形，所以EM AD 卩又在正方體ABCD-AiBiCiDj中。AD丄平面ABBiAp所以ELLABB】Ai

16、，從而B(niǎo)I為 直線(xiàn)BE在平面ABBiAi上的射影，ZEBM直線(xiàn)BE與平面ABB】A】所成的角*設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則EI=AD=2, BE= j2：+2】+l：=3,于杲 aEfEf在RTABEM中，sin乙 EBIEBI = = = = -BEBE3即直線(xiàn)BE與平面ABBiAi所成的角的正弦值為2. a3（II）在棱GD上存在點(diǎn)F,使B】F平面AiBE。a事實(shí)上，如圖（b）所示，分別取C】D和CD的中點(diǎn)F,G,連樂(lè)EG, BG, CD】，F(xiàn)G因AjDi B）Ci. BC,且ADi=BC,所以四邊形ABCDi為平行四辺形，因此DC A】B,又fE,G分別為DiD, CD的中點(diǎn)，所以EG DiC

17、,從而EG A）B,這說(shuō)明A】，B, G, E共面， 所以BGU平面AiBE因四辺形CCDDi與BiBCC皆為正方形,F,G分別為C】D】 和CD的中點(diǎn)， 所以FGC】C BiB,且FG=C1C=B1B,因此四辺形BBGF為平行四邊形， 所以B】F BG.而B(niǎo)iFg平面A】BE,BGU平面ABE,故BiF/平面AiBEa圖(a)圖(b*【命題意圖】本題考查直線(xiàn)與平面所成的角，直線(xiàn)與平面平行，考察考生探究能力、空間想 象能力。“19.（本小題滿(mǎn)分13分）卩為了肴察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川上相距8km的B兩點(diǎn)各建一個(gè)考察基 地.視冰川面為平面形，以過(guò)方兩點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段.拐的垂直平分

18、線(xiàn)為3軸建立 平面直角坐標(biāo)系（圖6）.在直線(xiàn)x = 2的右側(cè)，考察范圍為到點(diǎn)/的距離不超過(guò) 座山 的區(qū)域；在直線(xiàn)x = 2的左側(cè)，考察范圍為到.4, B兩點(diǎn)的距離之和不超過(guò)4$km的區(qū)域.卩（I）求考察區(qū)域邊界曲線(xiàn)的方程；“（II）如圖6所示，設(shè)線(xiàn)段召珂，冬瑪是冰川的部分邊界線(xiàn)（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時(shí)，邊畀線(xiàn)沿與其垂直的方向朝若察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后每年移動(dòng)的 距離為前一年的2倍，求冰川邊界線(xiàn)移動(dòng)到考察區(qū)域所需的最短時(shí)間.卩【解析】（I）設(shè)邊界曲線(xiàn)上點(diǎn)P的坐標(biāo)為（兀0當(dāng)心2時(shí)，由題意知（4）2+八學(xué)當(dāng)xv2時(shí)，由|PA|+|PB|=4h點(diǎn)P在以A,B焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

19、a=42a=4 的橢圓上。此時(shí)短半軸長(zhǎng)b b = = q(2q(2 躬 y y _4_4：=2,因而其方程為- + =1204故考察區(qū)域邊界曲線(xiàn)(如圖)的方程為“Cj：(x-4)2+ y2= (x 2)和：:(x-4)2+y+y2 2= (x 2)卩,516x:+ 10V3wx+5(w:-4) = 0,3由厶=100 x3w2-4xl6x5(m2-4) = 0s解得m=8,或m=-8.從圖中可 以看出川 當(dāng)力=時(shí)，直線(xiàn)/與C：的公共點(diǎn)到直線(xiàn)/1的距離最近，此時(shí)直線(xiàn)/的方程為二辰+8,又直線(xiàn)Z到c：和 6 的最短距離(1=6竽而d、3,所以考察區(qū)域辺界到冰川邊界的最短S巨離為3彳設(shè)冰川邊界線(xiàn)移動(dòng)

20、到考察區(qū)域所需時(shí)間為n年，則由題設(shè)及等比數(shù)列求和公式，得“ 噸 T)遼所亦川2-1冰川邊界線(xiàn)移動(dòng)到肴察區(qū)域所需的最短時(shí)間為4年.設(shè)直線(xiàn)/平行于直線(xiàn)/1，其方程為p =代入橢圓方程務(wù)】 ，I I與人之間的距離為d =的方程分別為|14一8|【命題意圖】本題以應(yīng)用題為背景，考查考察考生數(shù)學(xué)建模能力，考查圓的方程、橢圓的定義與方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位苴關(guān)系、等比數(shù)列求和。本題屬難題。卩20 (本小題滿(mǎn)分13分)卩已知函數(shù)/(X)+bx+c(c e對(duì)任意的x e R恒/(x) /(x)P(I)證明：當(dāng)xhO時(shí)，/(x) 0即當(dāng)no時(shí)，/(x)bcbt t當(dāng)C |幾有M n幾0-f6 = L-叮rb：_

21、b=L L _b_bc-ZTc c + + b b令 2.則-1宀1匚2 = 2-丄：而函數(shù)(0 = 2-丄(-1bcb時(shí)，Moo)的取值集合為斗，+oo) a當(dāng)C= I bl時(shí)，)由(I )易知，b=b=2 2t tc c = = 2 2/(c) -f(b)f(b)= -8或3從而/-/)電2一於”3綜上所述，1得最小值為斗【命題意圖】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，函數(shù)的值域，不等式的證明，考 查考生轉(zhuǎn)化與化歸能力.本題屬難題.a21(本小題荷分13分)aT數(shù)列a (we.V*)中，a】是函數(shù)/心)=討-2(34 +/)乂2+3/%的極小值點(diǎn).a(I )當(dāng)a = 0時(shí)，求通項(xiàng) a(II)是否存在彳使數(shù)列印 是等比數(shù)列？若存在，求&的取值范圍；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由異【解析】易知(x) = -(3 +/)x+3n& =(x-3a*)(x-/)2令f fn n(x)(x)= 05得尸込，x=nx=n2 2)(1)若3qnn2 2 =| 引,因11于是C戈1,且c22當(dāng) 0,仗洋調(diào)遞增;a當(dāng)込vxvn時(shí)乞(x)0,(.屛調(diào)遞減;“當(dāng)x0, (x)單調(diào)遞増;卩故(x)在x=巾詞:取得極小值。卩(2)若3a3an n n n2 2: :仿(