《高等數(shù)學二》期末復習題及答案_28171462418361700

1、、選擇題高等數(shù)學(二)期末復習題1、若向量b與向量a (2, 1,2)平行，且滿足a b 18,則b (2、3、(A)(C)(4, 2, 4)(4, 2, 4 )在空間直角坐標系中，方程組(A)直線(B)拋物線(A)(xD20 d(C)4、設L為:(A) 95、6、7、(B) (2, 4, 4 )(D) ( 4,4, 2 ).y2)dxdy ,其中區(qū)域2 .a rdrar2dr0x 1,0(B) 6(A)發(fā)散(B)重積分定義式(A)小區(qū)間的長度3 .士的弧段2(C)的斂散性為條件收斂f(x, y)d(D)z 0代表的圖形為()(C)圓(C)(B)nlim0.i 1(D) 圓柱面2 一 .a所圍

2、成,2a adr 2rdrL6ds(D)f(絕對收斂(D)斂散性不確定中的代表的是()(B)小區(qū)域的面積 (C)小區(qū)域的半徑 (D)以上結果都不對設f(x, y)為連續(xù)函數(shù)，則二次積分1dx0f(x,y)dy 等于()1(A) odyf (x,y)dx(B)11 y0dy 0 f (x, y)dx1 x 1(C) 0 dy 0f (x, y)dx(D)10dy10 f (x,y)dx8、方程2z x22y表小的二次曲面是 (A)拋物面(B)柱面(C)圓錐面(D) 橢球面精選9、二元函數(shù)z f (x,y)在點(xo ,yo)可微是其在該點偏導數(shù)存在的(A)必要條件(B)充分條件(C)充要條件(D

3、)無關條件10、設平面曲線L為下半圓周 yJi x2,則曲線積分L(x2 y2)ds(A)0(B)(C)(D)11、若級數(shù) an收斂，則下列結論錯誤的是n 112、(A)2an 收斂(B)n 1重積分(A)函數(shù)f及變量(C)函數(shù)f及區(qū)域13、已知ab且a(A) -2(ann 1的值與x,y有關;D有關;(1,2, 1),b(B) 214、在空間直角坐標系中，方程組(A)拋物線 (B)雙曲線2)收斂(C)(B)(D)(x,4,區(qū)域an收斂(D)1003an收斂1D及變量x,y無關;函數(shù)f無關,2),則 x =(C)-3區(qū)域D有關。(D) 315、設 z arctan(x(A)sec2 (x y)

4、1 (x y)2(B)16、11重積分0dy y21(A)dx01(C) dx017、若已知級數(shù)(A) Sn18、設L為圓周:22x y代表的圖形為y 1(C)(D)直線1 (x y)2(C)1 (x1 (x y)2f (x, y)dx交換積分次序為x0 f (x, y)dy10 f (x, y)dyUn收斂,1(B)(B)(D)Sn是它的前Un(C)y2dx0x210 f (x, y)dy0dx 0 f (x, y)dyn項之和，則此級數(shù)的和是(lim Sn n(D)lim Un n16 ,則曲線積分I ?2xyds 的值為(19、(A)1(B) 2設直線方程為(A) 過原點且(C) 過原點

5、且20、平面 2x y z(A) (1, 1, 2)(Q 1(D)-,則該直線必(0 12x軸z軸(B)(D)(B)(24)(0(121、考慮二元函數(shù)的下面 4條性質:f(x, y)在點(Xo, y°)處連續(xù);f (x, y)在點(%, yo)處可微;若用“ P Q”表示可由性質(A)(B) d22、卜列級數(shù)中絕對收斂的級數(shù)是(A)c 11)n(B)n 123、xsin y ,則一z y1,一 424、25、26、(A)2(B) 一2a為常數(shù)，則級數(shù)(A)發(fā)散設常數(shù)k(A)發(fā)散1dx0(B)o,2ye dy填空題條件收斂過原點且y軸過原點且*軸的交點坐標為(2, 2)(D)(2, 1

6、, 1)f(x,y)在點(Xo, yo)處的兩個偏導數(shù)連續(xù);f(x,y)在點(x°, yo)處的兩個偏導數(shù)存在.P推出性質1)ntan(Q(C)(C)(D)(C)1)(B)條件收斂1(B) e -1)n*1(D) ln(1 -) n 1na cosn絕對收斂(C)(C)絕對收斂(D)(D)收斂性與a的取值有關(D)斂散性與k的取值有關1、lim x 01y 0 xyxy2、二元函數(shù)sin (2 x3y),則 x3、積分Ic* y2ze y dx2 y2 4的值為4、若 a, b為互相垂直的單位向量，則 a b5、1x2交換積分次序0 dx ° f (x, y)dy6、的和是

7、7、2 ,4 xy lim x 0 xyy 08、二元函數(shù)z sin (2 x 3 y),則一zy9、設f(x, y)連續(xù)，交換積分次序1dx0f (x,y)dy10、設曲線L： x則?(2sinLx 3ycosx)ds11、若級數(shù) (unn 11)收斂，則lim unn12、若 f (x y, xy)2 一. -y 則 f(x,y)13、limx 0y 0xy14、已知b且 a (1,1,3),b (0,x, 1)，則 x =15、設 zln(y3),則 dz(i,i)16、設f(x, y)連續(xù)，交換積分次序ydy y2 f (x,y)dxunn 1un 1的和是18、設L為圓周:R2 ,則

8、曲線積分I?l xsin yds的值為精選19、22、1 cos(x y ) lim 2-(x，y)(0，0) (x2 y2)exy20、v v r rr v r已知 a i j ,bk ,貝U a b21、.sin(xy) limx 0 y a22、r r r r r已知向量a、b滿足a b 0 ,23、設L為連接(1,0)與(0,1) 兩點的直線段，則 l (x y)ds 24、lim(x,y)(0,0)25、4,r rra與b的夾角是萬，則a精選26、已知三角形的頂點A(1,1, 1),B(2,1,0),C(0,0,2)，則 ABC的面積等于 27、點 Mi 2,3,1 到點 M2 2,

9、7,4 的距離 M1M2 xy28、若 a 3 i j 2k,b i 2 j k,則 ab 29、limx 0y 030、函數(shù) f(x,y) x2(y 3) (x 1)exy，求 fx(1,3) 三、解答題1、(本題滿分12分)求曲面z ez 2xy 3在點(1,2,0)處的切平面方程。x2、(本題滿分12分)計算二重積分eydxdy ,其中D由y軸及開口向右的拋物線D2y x和直線y 1圍成的平面區(qū)域。3、(本題滿分12分)求函數(shù)u ln (2x 3y 4z2)的全微分du。2j y 2 , (x,y) (0,0)4、(本題滿分12分)證明：函數(shù)f (x, y)x4 y2在點(0, 0)的兩

10、個0, (x,y) (0,0)偏導數(shù)存在，但函數(shù) f （x, y）在點（0, 0）處不連續(xù)。5、（本題滿分10分）用比較法判別級數(shù)()n的斂散性。 n i 2n V6、（本題滿分12分）求球面x2y2 z2 14在點（1,2,3）處的法線方程。7、（本題滿分12分）計算I(x2 y2)dxdy,其中 D (x,y)1 x2 y2 4。Dur8、（本題滿分12分）力Fx, y,x的作用下，質點從（0,0,0）點沿Lx ty 2t移至z t2ur（1,2,1）點，求力F所做的功W。9、（本題滿分12分）計算函數(shù)uxsin（ yz）的全微分。10、（本題滿分10分）求級數(shù)的和。n 1 n(n 1)1

11、1、（本題滿分12分）求球面x222y z 14在點（1,2,3）處的切平面方程。12、（本題滿分12分）設z in （x22z zxy y ),求x y。 x y13、（本題滿分12分)求(1D2、yHxdy 其中 D是由 y x, y 0, x y 1在第一象限內所圍成的區(qū)域。x 014、（本題滿分12分）一質點沿曲線y t從點（0,0,0）移動到點（0,1,1），求在此過程中,z t2力FV1x4i yj k所作的功W 。115、（本題滿分10分）判別級數(shù)nsin-的斂散性。n 1 n16、（本題滿分20分）求一條過點A（ 1,0,4）與一平面 ：3x 4y z 10 0平行，且與直線L

12、: - y 工相交的直線方程 .1 1217、（本題滿分20分）求橢球面x2 2y2 3z2 21上的點M ,使直線L>x62點的切平面上.18、（本題滿分12分)計算二重積分Ixy dxdy。lx ly 119、（本題滿分12分)已知yz zxxy 1,確定的zz(x, y),求 dz。20、（本題滿分12分)x y設z f(x, y)是由方程e； e72e所確定的隱函數(shù)，求zx、 zy.21、（本題滿分10分)計算二次積分y 2dy y cosx dx2212dy y cosx dx .222、（本題滿分10分)計算函數(shù)z2esinxy的全微分.23、（本題滿分10分)計算二重積分D

13、:0WxW1,0WyW1 .24、（本題滿分10分)已知向量a(1,1,1), b i 2j25、（本題滿分10分)求曲面x xy xyz9在點（1,2,3）處的切平面方程.選擇題高等數(shù)學（二）»期末復習題答案1、解：利用平行向量對應的坐標成比例,(2t, t,2t),又因18 (2, 1,2) (2t, t,2t)4t4t9trb ( 4,2, 4)2、解：將z 1代入x20得到此時圖形為圓。3、解：用極坐標計算方便,(x222y )dxdy 0 dr2rdr02 1a44、解：利用曲線積分的性質，則L6dsds36 (- 0) 925、B解：由萊布尼茲判別法可得到級數(shù)n 11)”

14、收斂，但(nn 11)n1 n.c 1發(fā)散，所以 (1)n 1是條件收斂。n 1n6、D解：二重積分定義式f(x,y)dDnlim f( i, i) i中的是分割細度，代表 0 i 1的是n個小閉區(qū)域直徑中的最大值。7、B解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得11 x11 y0dx 0 f(x, y)dy 0dy 0 f (x, y)dx8、A 解：2z x2 y2在三維空間里表示的是拋物面。9、B解：z f(x, y)在點(x0,y0)可微一定能推出偏導數(shù)存在，所以是充分條件。10、C解：利用曲線積分的性質，則沿著下半圓周yJix2的曲線積分22L(x y )ds1 1

15、ds 2L 2(an 2)n 111、B解：若級數(shù)an收斂，由收斂的性質 A,C,D三個選項依然是收斂的，而n 1未必收斂，或者排除法選擇 Bo12、C解：二重積分(工”足fdw的值與函數(shù)有關，與積分區(qū)域有關，而與積分變量的字母表達沒關系13、B解：利用平行向量對應的坐標成比例,a (1,2, 1),b (x,4, 2),則 x=214、B解：將y 1代入z2 x2 y2得到z2x2 1代表的圖形為雙曲線。z 115、B解：對y求偏導時，x看作常數(shù)，z arctan(x y),則 =2y 1 (x y)16、A解：畫出積分區(qū)域，確定每個變量的上下限，交換積分次序以后，得 1111|1x0 dy

16、 y2 f ( x, y )dx 0dx 0 f (x, y )dy17、C解：利用級數(shù)收斂的定義可得unlim Snn18、D解：利用曲線積分的性質，被積函數(shù)關于x是奇函數(shù)，由對稱性，可得則曲線積分?L 2 xyds19、A解：直線方程為x y z,則原點坐標（0,0,0）滿足方程，該直線必過原點，直線0 12的方向向量為（0,1,2） , 乂軸的方向向量為（1,0,0）,又因為（0,1,2） （1,0,0）過原點且 x軸。20、C解：將直線方程寫成參數(shù)式，代入平面方程求交點坐標，或者代入法驗證也可。t交點坐標為t代入2x y2t(1, 22)21、A解:熟悉二元函數(shù)的概念之間的聯(lián)系，偏導數(shù)

17、連續(xù)可微 連續(xù);或者偏導數(shù)連續(xù)可微 偏導數(shù)存在22、解:11tan 2nn1 tan 2絕對收斂。n23、解:y求偏導時,看作常數(shù)，zx sin代入點的坐標24、25、26、1,_ 4C解:B解:C解:1dx0a cos- n2a2n2(1)nn 1a cos- n絕對收斂。(1)n -n(1)n1)n1 n1)條件收斂交換積分次序后計算簡單dy1y 2dy ey dx00ydy2y dy二、填空題1、2解:第一步分母有理化，第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。. xy lim1 xy 1limxy(，1 xy 1)xy 0 (J1 xy 1)( J1

18、 xy 1)xy 12、2cos(2x 3y)解：對x求偏導時，y看作常數(shù),sin(2 x 3 y)-2cos(2 x 3y) x3、，4(e 1)解：用極坐標求解簡單x2 e42 er2 rdr0r2dr2r2 20(e41)4、5、10dy解:1兩個向量垂直,則點積為6、7、yf(x,y)dx解:畫出積分域，再確定積分限1dx0x2f(x, y)dy10dy1n f(x,y)dx解:121 12131 13解:第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。limx Iy 1xylimx (y (24 xy 2 . 4xy 2 .、4 xyx

19、ylim x 0y 0xy44 xy4 xy8、limx 0y 02 % 4 xy3cos(2 x 3 y)解:y求偏導時，x看作常數(shù),zz sin (2x 3y) 3cos(2x 3 y)y1 y一.9、 °dyf (x, y)dx解：回出積分域，再確定積分限1 x1y0dx x2 f(x,y)dy 0dy y f (x,y)dx10、Q解：利用曲線積分的性質，奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為?(2sin x 3ycosx)ds 0L11、-1解:(un 1)收斂n 1lim(nUn 1)lim un1n12、xy 解：設 x y u,xuv f (u, v) uv f (x, y) x

20、y13、1“- 解：第一步分子有理化,2第二步分子利用平方差公式,第三步分子分母約去公因子,第四步利用連續(xù)性求解極限。xy . limx 0y 01. 1 xy 1,1 xyxy 11 xylimx (y (14、15、1 xyxy 1 J xylim01y 0 1.1 xy3解：兩個向量垂直，則點積為 03dx -dy22解：考查全微分的概念，先求兩個偏導，求全微分，再代入定點3z ln( xy3)3x2zx 3x3y2-3又因為dz zxdxx yZydydz(1,1)3dx23-dy2116、dx0f(x,y)dy 解:畫出積分域，再確定積分限1 y1°dy y2 f(x,y)

21、dx 0dx"xf (x,y)dy17、 2S u1 解： un S n 1U n 1 S U1U nn 1n 1un2S u118、0解:利用曲線積分的性質,奇函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分為I?l xsin yds 019、0解：本題用到了連續(xù)函數(shù)的性質，等價無窮小的替代,2222、1 cos(x y )1 cos(x y )lim ,丁 lim 2"2o(x,y) (0,0) (x2 y2)ex y (x,y) (0,0)(x2 y2)e0(x,yi)m(0,0)/ 22、cos( x y )222、(x y )精選20、21、22、23、(x,yi)m(0,0)r rj,b

22、122 2巾 y ) 0(x y )解：本題用到向量積的求解方法解:解:解:段的長度是24、2limsy)limsin(xy)xya b cos 4L為連接（1,0）與（0,1）兩點的直線段，此線段的方程是x y 1 ,此線,2L(x y)dsL1ds 壺解：第一步分母有理化,第二步分母利用平方差公式，第三步分子分母約去公因子，第四步利用連續(xù)性求解極限。(x,y)m(0,0)22x yy2 11(x,y)m(0,0)(x2 (vx2y2)(x2 y2 11)y2 11)(，x211)(x,y)m(0,0)(x2y2)( x2y2 1 1)1 1lim(x,y) 1（0,0）y2 125、12解

23、：利用向量積的模的求解方法sin 21 1226、解:利用向量積的模的幾何意義，三角形的面積1 uuur一ABuuirACuuirQ ABuuurAC(1, 4, 1)1 uur 一AB227、5解:M1M2uuurACj ,12( 4)2( 1)2段利用兩點間的距離公式.(2 2)2 (7 3)2 (4 1)24232精選28、3 解：利用點積公式 a b (3, 1, 2) (1,2, 1) 3 2 2 329、第三步分子分母約去公因1 解：第一步分子有理化，第二步分子利用平方差公式,2子,第四步利用連續(xù)性求解極限。limx 0y 0.xy 1xy1=limx 0y 0.xy 1 1 .

24、xy 1 1xy -xy 1 1=limx 0y 0xy 1 1xy xy 1 1xylim x 0 y 0f(x,y) x2(y 3) (x 1)exy對應的切平面法向量n (Fx,Fy,Fz) (1,2,0)limx 0y 0 xy330、e 解：對x求偏導時，y看作常數(shù)，求完偏導以后代入已知點的坐標fx(x,y) 2x(y 3) exy (x 1) y exy 代入點的坐標fx(1,3) 2 1 (3 3) e3 (1 1) 3 e3三、解答題1、(本題滿分12分)解：設 F(x,y,z) z ez 2xy 3則 Fx 2y , Fy 2x , Fz 1 ez代入（1, 2, 0）可得法

25、向量：（4, 2, 0）則切平面方程：4( x 1) 2( y 2) 0(z 0) 0或 2x y 4 02、（本題滿分12分）y2 xdy 0 eydxx解： eydxdyD2x yyeydy010( yey y )dy3、（本題滿分解：因為xdu所以du4、（本題滿分解：fx(0,0)同理所以函數(shù)在（yeyey12分)22x 3y 4z22x 3y 4z8z2x 3y 4z2udxxu dyyu dzz2x 3y-2 dx 4z2x 3y12分)x,0)xf (0,0)8z2x 3y 4z2 dzfy(0,0) 00）點兩個偏導數(shù)存在。yim2 f (x, y)x 0k1 k2lim f

26、(x, y)不存在x 0y 0因此函數(shù)在（0, 0）點不連續(xù)5、（本題滿分10分）解:(-A-)nsn (1)n,2n 1 2n 21 n （1）n是收斂的等比級數(shù)n 1 2'原級數(shù)收斂6、（本題滿分12分）解：設 F (x, y,z) x2 y2z2 14貝UFx 2x , Fy 2yFz 2z對應的法向量n (Fx，F(xiàn)y,Fz)(1,2,3)代入（1,2,3）可得法向量：（24, 6)則法線方程： 土-y2 127、（本題滿分12分）2解：I015萬8、（本題滿分12分）lFdsl xdx ydy xdz12tdt 4tdt 2t dto_ 2-(2t 3t)dt9、（本題滿分12

27、分）Q ux sin yz , uyxz cos yz uz xy cos yzdu Uxdx UydyUzdzsin( yz)dxxz cos( yz)dy xy cos( yz)dz10、（本題滿分10分）1解：Q -n(n 1) nSnn(n 1)J(1 1).(- ,22 3 n n 11lim Sn lim(1)1n nn 11，一，所以級數(shù)的和為n 1 n(n 1)11、(本題滿分12分)解：設 F(x,y,z) x2 y2 z2 14則 Fx 2x , Fy 2y , Fz 2z xyz對應的切平面法向量n (Fx, Fy,Fz) (1,2,3)代入(1,2,3)可得法向量：(2

28、, 4, 6)則切平面方程:2(x 1) 4(y 2) 6(z3) 0或 x 2y 3z 14 012、(本題滿分12分)z 2x y z x 2y解：因為 一 2; -'x x xy y y x xy y22z z 2x xy xy 2y 所以 x y -3一'22x y x xy y13、(本題滿分12分)x解：令ycos sin2 2 1所以(1 x2 y2)dxdy04 d°(1D2) d1614、（本題滿分12分）W F d sLl . 1 x4dx ydy dz10( t 2t)dt1 tdt 01215、(本題滿分10分)1斛：iun n sin n.1sin于是 lim unlim Tn1 0nn 1n故 un發(fā)散。n 116、（本題滿分20分）x t 1解：直線L的參數(shù)方程為 y t 3z 2trr所求直線的方向向量為s （t,t 3,2t 4）與平面的法向量n （3, 4,1）垂直，即3t 4(t 3) (2t 4) 0得 t 16rs (16,19,28)一 , x 1所求直線為x116_y19z 42817、