第九章 重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)_第1頁
第九章 重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)_第2頁
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文檔簡介

1、第九章 重積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)一、知識脈絡(luò) 二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1重點(diǎn)：求二重積分、求三重積分2難點(diǎn)：將二重積分化為二次積分，將三重積分化為三次積分三、問題與分析1重積分中有4個(gè)關(guān)鍵步驟：任意分割積分區(qū)域；在分割后的小區(qū)域中任意取點(diǎn)；求和；求極限；2計(jì)算重積分的關(guān)鍵是化為累次積分，根據(jù)具體題目，要能正確選擇坐標(biāo)系以及要正確考慮積分的先后次序；3二重積分的幾何意義：當(dāng)時(shí)，表示以曲面為頂，以為底的曲頂柱體體積；當(dāng)時(shí)，的面積；4二重積分的物理意義：當(dāng)表示平面薄片的面密度時(shí)， 表示的質(zhì)量；5三重積分的物理意義：當(dāng)表示空間立體的體密度時(shí)，表示的質(zhì)量。四、計(jì)算二重積分時(shí)，應(yīng)注意的問題1選系：當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部

2、分，被積分函數(shù)含有或兩個(gè)積分變量之比，時(shí)，一般可選用極坐標(biāo)系來計(jì)算；2選序：當(dāng)選用直角坐標(biāo)系時(shí)，要考慮積分次序，先對哪個(gè)變量積分較好；3積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性的正確配合，例如當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于軸對稱時(shí)，應(yīng)配合被積函數(shù)關(guān)于的奇偶性；4特例：當(dāng)被積分函數(shù)的變量可分離，并且積分區(qū)域?yàn)閮舌忂叿謩e與兩坐標(biāo)軸平行的矩形時(shí)，則二重積分可化為兩個(gè)定積分的乘積。五、解題示范例1： 改變二次積分的積分次序。解：積分區(qū)域：改寫為：故。例2：計(jì)算，其中是由直線及拋物線所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域?yàn)椋海谑亲⒁猓喝绻葘髮Ψe分，此時(shí)為，于是。由于的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，積分難以進(jìn)行，故本積分不能按此次序。例3：計(jì)算，其中為。解：用極坐標(biāo)，此時(shí)為：于是注：如用直角坐標(biāo)，則由于不能用初等函數(shù)表示，積分就難以進(jìn)一步計(jì)算。例4：計(jì)算，其中為平面，所圍成的四面體。解：積分區(qū)域?yàn)椋谑窃?。例5：求，其中是由曲面及所圍成的區(qū)域。解：積分區(qū)域?yàn)?，于是原?例

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