初中幾何經(jīng)典培優(yōu)題型(三角形)

1、全等三角形輔助線找全等三角形的方法：1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等； 3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等； 4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法： 延長中線構(gòu)造全等三角形； 利用翻折，構(gòu)造全等三角形; 引平行線構(gòu)造全等三角形； 作連線構(gòu)造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折” 2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中

2、線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折” ，所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定 理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長， 是之與特定線段相等， 再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì) 加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時， 常把某點到原三角形各頂點的線段連接起

3、來，利用三角形面積的知識解答常見輔助線寫法：過點 A 作 BC 的平行線 AF 交 DE 于 F過點 A 作 BC 的垂線，垂足為 D延長AB至C,使BC = AC在AB上截取 AC ,使AC = DE作/ ABC的平分線，交 AC于D取AB中點C,連接CD交EF于G點如圖，AB = CD = 1 , / AOC = 60° 證明：AC + BD > 1。（2007年北京中考）如圖，已知 ABC請你在BC邊上分別取兩點 D、E （ BC的中點除外），連接AD、AE,寫出使此圖中只存在兩對面積相 等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形；AB + AC > AD +

4、AE。請你根據(jù)使成立的相應(yīng)條件，證明已知線段 OA、0B、OC、OD、OE、OF。/ AOB = / BOC= / COD = / DOE = / EOF = 60 ° 且 AD = BE= CF = 2。求證：OAB +OCD + OEF V 麗。如圖1在四邊形 ABCD中，連接對角線 AC、BD，如果/ 1 = / 2,那么/ 3=/ 4。 仔細閱讀以上材料，完成下面的問題。如圖 2，設(shè) P 為口ABCD 內(nèi)一點，/ FAB =/ PCB，求證：/ PBA =/ PDA。集散思想：有些幾何題，條件與結(jié)論比較分散，通過添加適當?shù)妮o助 線，將圖形中分散，遠離了的元素聚集到有關(guān)的圖形上

5、，使它們相對集中， 便于比較，建立關(guān)系，從而找出問題的解決途徑。平移只能用來作為作輔助線的思路，具體做輔助線的時候不能直接說 ABC平移至 DEF。1.在正方形 ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的點，且 EG丄FH，求 證：EG= FH。2.如圖所示, 個四邊形,P為平行四邊形 ABCD內(nèi)一點，求證：以 AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一 并且所構(gòu)成的四邊形的對角線的長度恰好分別等于AB 和 BC。3.如圖，已知 ABC的面積為16,BC= 8,現(xiàn)將 ABC沿直線BC向右平移a個單位到 DEF 的位置。當a= 4時，求 ABC所掃過的面積；連接AE、AD，設(shè)AB =

6、 5，當 ADE是以DE為一腰的等腰三角形時，求a的值。4.如圖，AA BB CC =1 / AOB 纟 BOC MCOA' =60° 求證:SaOBSbOC ScOA例1如圖，E、F分別是正方形 ABCD的邊BC、CD上的點，且/ EAF = 45° AH丄EF, H為垂 足，求證：AH = AB。例2 ABC/ BPC中,/ ACB = 90 ° AC = BC,卩是ABC 內(nèi)的一點，且 AP= 3, CP= 2, BP = 1,求 的度數(shù)。例3已知在 ABC中，AB= AC, P為三角形內(nèi)一點，且/ APB>/ APC,求證：PBvPC。有邊相

7、等或者有角度拼起來為特殊角的時候可以用旋轉(zhuǎn)邊相等時常見圖形為正方形，等腰三角形和等邊三角形等等角度能拼成的特殊角指的是 180° ° 90°等等例4已知 ABC, / 1 = / 2, AB= 2AC, AD = BD。求證：DC 丄 AC。AB = AE, / BAE = 30 ° 求證：BE= CE。例6在ABC 中，E、F 為 BC 邊上的點，已知/ CAE =/ BAF，CE= BF，求證：AC = AB。出現(xiàn)軸對稱的時候可以考慮翻折，尤其注意有角平分線，有角相等或者出現(xiàn) 特殊角的一半的時候，翻折是常用添加輔助線的思想。強調(diào):旋轉(zhuǎn)和翻折只能是一種

8、作輔助線的思路，具體做輔助線的時候不能直接說將 ABC旋轉(zhuǎn)或翻折至 DEF。a。1.如圖，0是邊長為a的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形 紙板的圓心方在 0點處，并將紙板繞 0點旋轉(zhuǎn)，其半徑分別交 AB、AD于點M、N，求 證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值D2. （2008 山東）在梯形 ABCD 中,AB / CD , / A = 90° AB = 2, BC= 3, CD = 1, E 是 AD中點，試判斷EC與EB的位置關(guān)系，并寫出推理過程。3如圖，P是等邊 ABC內(nèi)一點，若 AP = 3, PB= 4, PC = 5,求/ APB的

9、度數(shù)。4已知：在 Rt ABC中，/ BAC=90° AB=AC,點D、E分別為線段 BC上兩動點， / DAE=45°。猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；當動點E在線段BC上，動點D運動在線段CB延長線上時，其它條件不變，中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明。CE'A5.如圖，已知等腰直角三角線 ABC, BD平分/ ABC, CE丄BD ,垂足為E,求證：BD = 2CE。6.如圖，折疊長方形的一邊 AD，使點D落在BC邊的點F處，如果AB = 8, BC = 10,求 EC的長。EF(D)2中點的妙用V一、倍

10、長中線法例1（北京文匯中學 2009-2010期中測試題），AD是 ABC中BC邊上的中線，若 AB 2，AC 4，則 AD的取值范圍是D例2已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長 BE交AC于F, AF EF , 求證：AC BE。例3如圖1 , ABC與 BDE均為等腰直角三角形， BA丄AC, ED丄BD ,點D在AB邊上。連接EC, 取EC中點F，連接AF , DF，猜測AF , DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明。圖1D在CB延長線上，其他條件不變,如圖2,將 BDE旋轉(zhuǎn)至如圖位置，使 E在AB延長線上， 則中AF，DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并加以

11、證明。C圖2已知四邊形ABCD 四邊形。A中，E, F, G, H分別為AB, BC, CD , DA的中點，求證 EFGH為平行如圖，已知四邊形 延長線交于E、F,ABCD中，AB CD，M、N分別為 BC、AD中點，延長 MN與AB、CD 求證/ BEM / CFM已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且/ ABD / ACE=90°，連接DE，設(shè)M為DE的中點。求證：MB MC;設(shè)/ BAD / CAE,固定Rt ABD，讓Rt ACE移至圖示位置，此時 MB MC是否成立？請證 明你的結(jié)論。EE如圖,角形。出現(xiàn)中點的時候一般有以下作輔助線的方法 倍長中線法 構(gòu)造中位線如果是直

12、角三角形，經(jīng)常還會構(gòu)造斜邊上的中線已知 ABC和 ADE都是等腰直角三角形，點 M為EC中點，求證 BMD為等腰直角三1. 在 ABC中，AB 12, AC 30,求BC邊上的中線 AD的范圍。C2. 在 ABC中，D為BC邊上的點，已知/ BAD / CAD , BD CD，求證：AB AC。13. 如圖，在 ABC中，AD丄BC, M是BC中點，/ B 2/ C,如圖，求證： DM AB24.已知 ABC中，AC=7, BC 4, D為AB中點，E為邊AC上一點，且 AED90- C，2求CE的長。5.在任意五邊形 ABCDE中，M,N,P,Q分別為AB、1MN、PQ的中點，求證：KL平行

13、且等于AE。4CD、BC、DE的中點,K、L、分別為延長 AB至U D，使BDAB,6.如圖，已知 ABC中，AB AC, CE是AB邊上的中線, 那么CE是CD的幾分之幾？7.四邊形ABCD四邊中點分別為 E、F、G、H，當四邊形 為菱形；當四邊形 ABCD 時，EFGH為正方形。滿足時，EFGHCABCD滿足為矩形；當四邊形EFGH_時，ABCD滿足例1在 ABC中，/ B=2/ C,/ BAC的平分線 AD交BC與D。求證：AB BD AC。例2ABCD是正方形，P為BC上任意一點，/ PAD的平分線交 CD于Q,求證：DQ AP BP。已知 ABC，/ ABC=90° ,以A

14、B、AC為邊向外做正方形 ABDE和ACFG，延長 BA交EG 于 H，貝U BC 2AH。補形法FAD是 ABC的角平分線，BE丄AD交AD的延長線于 E,EF/AC交AB于F。求證：AF FB。C例5如圖，六邊形 ABCDEF的六個內(nèi)角都相等，已知 BC CD 11, DE AB 3,求DC EF的值。E例6如圖所示：BC>AB, AD AC, BD 平分/ ABC，求證：/ A / C 180°A1.如圖，在 ABC中，AB BD AC，/ BAC的平分線 AD交BC與D，求證：/ B 2/ CC已知 ABC，以AB、AC為邊向外作正方形 ABGF、ACDE , M是BC

15、中點，連接 AM 求證：EF = 2AM且AM丄EF。3. 在 ABC 中，AB AC,/ A 100 ° , BE 評分/ B 交 AC 與 E,如圖，求證：AE BE BC4. 在 ABC中，D、E為AB、AC中點，DE與/ B的平分線交與 F，如圖所示。 求證：AF丄BF5. 在 ABC中，MB、NC分別是三角形的外角/ ABE、/ ACF的角平分線， AM丄BM ,1AN 丄 CN,垂足分別是 M, N。求證：MN/ BC, MN - (AB AC BC)6.在 ABC中，MB、NC分別是三角形的內(nèi)角/ABC、AN丄CN,垂足分另是 M , N。求證：MN/ BC, MN/

16、ACB的角平分線,1-(AB AC BC)AM 丄 BM,M巧構(gòu)等邊、求/ BAD的度數(shù)。D在四邊形 ABCD 中，已知 AB BC CD , / ABC 70° / BCD 170°如圖， ABC 中，AB AC, AD BC，/ A 20° 求/ DCA 的度數(shù)。例3任意 ABC，試在 ABC內(nèi)找一點P,使得PA PB PC的值最小C例4（2000北京初二數(shù)學競賽），在等腰 ABC中，延長邊 AB到點D,延長邊CA到點E,連接DE ,恰有 AD BC CE DE。求證：/ BAC 100°。C例5如圖所示，在 ABC中，/ B 60°/ A 100° E為AC的中點，/ DEC 80° D是BC邊 上的點，BC 1，求 ABC的面積與 CDE的面積的兩倍的和。例6如圖所示，在 ABC中，/ ACB 2/ ABC, P為三角形內(nèi)一點， AP AC , PB PC, 求證：/ BAC 3 / BAP。1如圖所示，在四邊形ABCD中,BC CD , BCA ACD 60 ,求證：AD CD AB。2.在 ABC 中，AB