雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(1)

1、從圖中可以看出，雙曲線2 X 2 a§ 2.3.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（1）教學目標1. 掌握雙曲線的幾何性質(zhì)2. 能通過雙曲線的標準方程確定雙曲線的頂點、實虛半軸、焦點、離心率、漸近線方 程.教學重點雙曲線的幾何性質(zhì)教學難點雙曲線的漸近線教學過程I. 復(fù)習回顧：師：上一節(jié)，我們學習了雙曲線的標準方程，這一節(jié)，我們要根據(jù)它來研究雙曲線的 幾何性質(zhì) 同學們可以按照研究橢圓幾何性質(zhì)的方法和步驟，自己推出雙曲線的幾何性質(zhì)， 然后與課文對照，所以，我們來回顧一下研究橢圓的幾何性質(zhì)的方法與步驟.（略）II. 講授新課：1. 范圍：雙曲線在不等式x> a與xw a所表示的區(qū)域內(nèi).2. 對稱

2、性：雙曲線關(guān)于每個坐標軸和原點都對稱，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲 線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫雙曲線中心.3. 頂點：雙曲線和它的對稱軸有兩個交點Ai（ a,0）、A2（a,0）,它們叫做雙曲線的頂點.線段AiA2叫雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半 軸長；線段BiB2叫雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛 半軸長.4. 漸近線我們把兩條直線y= ± -X叫做雙曲線的漸近線;a2乂71的各支向外延伸時,b2與直線y= ± bx逐漸接近.a 關(guān)于“漸近線”的說明:J KIr、 yY d=*=1HOD i 、/ J /J日翳e)-2IU

3、 i、/.i、J'-.，乂一苜4 -E、 H” J、 VJ/、.可以發(fā)現(xiàn)，點 M的橫坐標XM越來越大，d越來越小，但永遠不等于 0 等軸雙曲線：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線. 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖.具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線頂點及第一象限內(nèi)任意一點的位置，然后過這兩點并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線.5. 離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比e=c，叫雙曲線的離心率.a說明：由c>a>0可得e>1 ；雙曲線的離心率越大，它的開口

4、越闊 . 列表：罕再=血>口 * >0）範圍-ci< x<a f -b<y <h應(yīng)或広蘭-cJ, ywR對稱性關(guān)于世標柚.原點都是對稱 的，擁軸、對稱中心）關(guān)千坐標軸、鹿揃隔尿槪 的.對稱如對稱申心）頂點四牛.坐標人（-G），舛0），耳-亦罵D i）二個坐標4 （0,0）珂（口弭）離心離©£,反映橢圓回扇程度 af> 1（教師說明實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長）.師：為使大家進一步熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)，我們來看下面的例題.例3求雙曲線9y2 16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程2解：把方程化為標準方程.

5、篤422x db=3. 1.由此可知，實半軸長a=4，虛半軸長3I 22f 22c M'a b <35.焦點的坐標是(0， 5), (0, 5).離心率e3 4漸近線方程為x y，即yX .4 3例雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12 m,上口半徑為13 m,下口半徑為25 m,高55 m.選擇適當?shù)淖鴺讼担蟪龃穗p曲線的方程（精確到1m）.y吟4 ,rI 1L1,120)解：如圖，建立直角坐標系 xOy，使A圓的直徑AA'在x軸上，圓心與原點重合.這時上、下口的直徑、BB 平行于 x 軸，且 CC =13 X 2 (m),

6、BB =25 X 2 (m).設(shè)雙曲線的方程為2 x 2 a2 y b2(a>0,b>0)令點C的坐標為（13,y).則點B的坐標為（25,y 55)因為點B、C在雙曲線上，所以252122132122(y 55)2b22工b21,解方程組1.2521221321225由方程（2）得y b（負值舍去）.代入方程（1 ）得2521224匹疔12A H廳之亞一M序(y 55)21b21b2(1)化簡得19b2+275b-18150=0(3)解方程(3)得 b-25 (m).2丄-1.6252所以所求雙曲線方程為：144.解這類題目時，首先要解決以下兩個問題；（1）選擇適說明：這是一個有實際意義的題目當?shù)淖鴺讼?；?）將實際問題中的條件借助坐標系用數(shù)學語言表達出來.說明：此題要求學生認識到第二種形式的標準方程所對應(yīng)的雙曲線性質(zhì)與課本性質(zhì)的 相同點與不同點.可讓學生比較得出（作為練習）.III. 課堂練習：（1） 寫出第二種形式的標準方程所對應(yīng)的雙曲線性質(zhì).（2）課本練習F66練