高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)共87節(jié)201曲線與方程求曲線的方程

1、第二部分 （理科加試內(nèi)容）20、曲線與方程201 曲線與方程 求曲線的方程【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1鞏固前期學(xué)習(xí)的曲線的定義與性質(zhì)，熟悉圓錐曲線的統(tǒng)一定義2體會(huì)曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系3進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想【典型例題】例1（1）圓心在拋物線（）上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（ ）A BC D（2）已知兩點(diǎn)M（1，），N（4，），給出下列曲線方程：4x2y1=0x2y2=3y2=1y2=1在曲線上存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的所有曲線方程的代號(hào)是 （ ）A B C D（3）條件A：曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解；條件B：以方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上則

2、A與B關(guān)系是（ ）AA是B的充分不必要條件 BA是B的必要不充分條件CA是B的充要條件 DA既不是B的充分條件也不是B的必要條件（4）已知曲線C：xy2xky3=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2），則k=（5）點(diǎn)（m,n)在圓x2y22x4y=0外，則m，n滿足的條件是例2求到兩不同定點(diǎn)距離之比為一常數(shù)（0）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3 已知三點(diǎn)A(-2-a,0)，P(-2-a，t)，F(xiàn)(a,0),其中a為大于零的常數(shù)，t為變數(shù)，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M滿足=0，且=+2（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡；（2）若動(dòng)點(diǎn)M的軌跡在x軸上方的部分與圓心在C(a+4,0)，半徑為4的圓相交于兩點(diǎn)S，T，求證：C落在以S、T為焦點(diǎn)過(guò)F的橢圓上例4已知

3、點(diǎn)P(-3,0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足（1） 當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2） 設(shè)軌跡C的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線m交軌跡C于G，H兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作平行于軌跡C的對(duì)稱軸的直線n，且nl=E，試問(wèn)點(diǎn)E，O，H（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是否在同一條直線上？并說(shuō)明理由【課內(nèi)練習(xí)】1方程表示的圖形是（ ）A一條直線和一條雙曲線 B兩條雙曲線 C兩個(gè)點(diǎn) D以上答案都不對(duì)2下列各組方程中表示同一曲線的是 （ ）Ax2=y與x=By2x1=0與Cy=|x|與x2y2=0 Dy1=與y2xxy1=03到x軸y軸距離之積等于常數(shù)k（k0）的點(diǎn)的軌跡所在象限是（

4、 ）A一、三象限 B二、四象限 C第一象限 D第一、二、三、四象限4長(zhǎng)為m的一條線段AB，其兩段分別在x軸正半軸和y軸正半軸上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)軌跡是 （ ）A直線的一部分 B圓的一部分 C橢圓的一部分 D一個(gè)以原點(diǎn)為圓心半徑為的圓5 到兩定點(diǎn)（1，0），（1，0）的距離之比等于2的點(diǎn)的軌跡方程是6已知?jiǎng)訏佄锞€以x軸為準(zhǔn)線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則拋物線的焦點(diǎn)的軌跡方程是7橢圓上一點(diǎn)到其左準(zhǔn)線的距離是2，則到右焦點(diǎn)的距離等于8已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)(3，0)的距離比它到直線x1=0的距離大2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程9拋物線y2=2px(p0)有一內(nèi)接直角三角形，直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，一直角邊的方程為y=2x，斜

5、邊長(zhǎng)為5，求拋物線的方程10已知?jiǎng)狱c(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之和為定值，且的最小值為（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程； （2）若已知，、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上且，求實(shí)數(shù)的取值范圍201 曲線與方程 求曲線的方程A組1方程表示的圖形是 （ ）A一條直線 B兩條平行線段 C一個(gè)正方形 D一個(gè)正方形（除去四個(gè)頂點(diǎn)）2已知線段AB=2，動(dòng)點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離的平方差是10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（ ）A一條直線 B一個(gè)圓 C一個(gè)橢圓 D雙曲線3已知直角ABC的斜邊BC的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸正半軸、y軸正半軸上移動(dòng)，頂點(diǎn)A和原點(diǎn)分別在BC的兩側(cè)，則點(diǎn)A的軌跡是 （ ）A線段 B射線 C一段圓弧 D一段拋物線4拋物線y2=6x的

6、斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程是5點(diǎn)Q是雙曲線x24y2=16上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，4），則內(nèi)分所成比為的點(diǎn)P的軌跡方程是6已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)F1（5，0）且與定圓x2y210x11=0相外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程7已知常數(shù)。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)為方向向量的直線相交于P，其中。試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得為定值。若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。8A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，且|AB|=8，動(dòng)點(diǎn)M到A點(diǎn)的距離是10，線段MB的垂直平分線l交MA于點(diǎn)P，若以AB所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.（）試求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（）直線mxy4m=0(m)與點(diǎn)P

7、所在曲線C交于弦EF，當(dāng)m變化時(shí)，試求AEF的面積的最大值.B組1已知點(diǎn)P（x,y)在以原點(diǎn)為圓心的的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（xy,xy)的軌跡是（ ）A圓 B拋物線 C橢圓 D雙曲線2點(diǎn)P與兩定點(diǎn)F1（a,0),F2(a,0)（a0)的連線的斜率乘積為常數(shù)k，當(dāng)P點(diǎn)的軌跡是離心率為2的雙曲線時(shí)，k的值是（ ）A3BC±D43方程表示的曲線是（ ）A 直線 B雙曲線 C橢圓 D拋物線4過(guò)點(diǎn)M（2，0）作直線l交雙曲線x2y2=1于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為一組鄰邊作OAPB，則P點(diǎn)的軌跡方程是5從直線y=x上一點(diǎn)P引拋物線y=x21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是

8、6已知兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離是6，動(dòng)點(diǎn)M滿足MBA=2MAB，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程7已知常數(shù)在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖），問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8已知當(dāng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b時(shí)，橢圓的面積是ab請(qǐng)針對(duì)橢圓，求解下列問(wèn)題：（1）若m，n是實(shí)數(shù)，且|m|5，|n|4求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率以及點(diǎn)P落在橢圓上的概率（2）若m，n是整數(shù)，且|m|5，|n|4求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率以及點(diǎn)P落在橢圓上的

9、概率201 曲線與方程 求曲線的方程【典型例題】例1、D提示：過(guò)拋物線的焦點(diǎn)（，0）作x軸的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即為圓心，半徑是1（2）D提示：看MN的中垂線與曲線有沒有公共點(diǎn)（3）D提示：聯(lián)想曲線方程的定義（4）提示：坐標(biāo)代入（5）m2n22m4n0提示：（m,n)到圓心的距離大于半徑例2、以兩不同定點(diǎn)A，B所在的直線為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)（x,y）是軌跡上任一點(diǎn)，A(-a,0)，B(a,0)，（a）由題設(shè)得，即，當(dāng)時(shí)，方程x=0表示一條直線當(dāng)時(shí)，方程為，表示一個(gè)圓所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一條直線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓例3、 (1)=0 又=+2M在以F為焦點(diǎn),x=-a為

10、準(zhǔn)線的拋物線上 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程：y2=4ax（2）證明：過(guò)S、T分別作準(zhǔn)線x=-a的垂線，垂足分別為S1、T1，設(shè)S(x1,y1)，T(x2,y2)則SF+TF=SS1+TT1= x1+x2+2a由得x2+(2a-8)x+a(a+8)=0 x1+x2=8-2aSF+TF=8即SF+TF=CS+CTC落在以S、T為焦點(diǎn)，且過(guò)F的橢圓上例4、（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則由得A(0,-)得(3,)=0y2=4x所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程：y2=4x(2)軌跡C的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l：x=-1，對(duì)稱軸為x軸，當(dāng)直線m的傾角為90º時(shí)，直線m的方程為x=1，代入y2=4x，得y=

11、±2，H(1,2),G(1,-2),nl=E(-1,-2),顯然E，O，H三點(diǎn)共線當(dāng)直線的傾角不為90º時(shí)，直線m的方程為y=k(x-1)，代入y2=4x，得y2-y-4=0設(shè)H、G的坐標(biāo)分別為()，()，則y1y2=-4nl=E(-1,y2)y2),-y2-y2=-y2+y2=0E，O，H三點(diǎn)共線【課內(nèi)練習(xí)】1C 提示：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)方程組2D提示：注意：變量的取值范圍3D提示：取一個(gè)具體的k=1，畫圖觀察4B提示：動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)有范圍53x23y210x3=0提示：直接設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)建立方程并化簡(jiǎn)6x2y22y=0(y0)提示：用拋物線定義78提示：聯(lián)想橢圓的兩個(gè)定義8由已知?jiǎng)?/p>

12、點(diǎn)P到定點(diǎn)(3，0)的距離等于到定直線x=3的距離，根據(jù)拋物線定義，P點(diǎn)的軌跡是以(3，0)為焦點(diǎn)，x=3為準(zhǔn)線的拋物線 故P點(diǎn)軌跡方程為：y2=12x9由得，由得交點(diǎn)坐標(biāo)為（8p,4,p),用勾股定理得p2=,因p0，故拋物線的方程是10(1)由題意，設(shè)（），由余弦定理得又·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，· 取最大值，此時(shí)取最小值，令，解得，故所求的軌跡方程為（2）設(shè)，則由，可得，故， 、在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上，故且，消去可得，解得，又，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是201 曲線與方程 求曲線的方程A組1D提示：注意：字母的取值范圍2A提示：建立坐標(biāo)系設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求軌跡方程3A提示：用參數(shù)法設(shè)角為參

13、數(shù)4y=(x)提示：參數(shù)法求軌跡5提示：用定比分點(diǎn)及坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法6根據(jù)已知條件動(dòng)圓與定圓相外切則兩圓心之間的距離等于兩圓的半徑之和，又動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)根據(jù)雙曲線的定義，可直接判斷動(dòng)圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，從而求得動(dòng)圓圓心的軌跡方程故所求軌跡方程為：7根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得 因?yàn)樗缘茫?（i）當(dāng)時(shí)，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （ii）當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，焦

14、點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； （iii）當(dāng)時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)8（）以AB所在直線為x軸，AB中垂線為y軸，則A（4，0），B（4，0）|PA|+|PB|=|PA|+|PM|=10 2a=10,2c=8,a=5,c=4P點(diǎn)軌跡為橢圓=1 （）mxy4m=0，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)B（4，0） (m0)(25+)y2+y81=0|y1y2|=m為直線斜率可令m=tan,代入上式得:|y1y2|= (sin0)=，當(dāng)且僅當(dāng)sin=,|y1y2|max=(SAEF)max=B組1B提示：用參數(shù)法2A提示：求出雙曲線方程及其離心率（含k），再用離心率計(jì)算公式3B點(diǎn)（x,y)到定點(diǎn)（2，2

15、）的距離與到定直線xy3=0的距離之比是4x2y24x=0(x0)提示：利用平行四邊形對(duì)角線互相平分求解5y=2x2x2提示：用法結(jié)合韋達(dá)定理6以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用二倍角的正切公式得到方程，化簡(jiǎn)得：y=0(3x3)或3x2y26x9=07按題意有A（2，0），B（2，0），C（2，4a），D（2，4a）設(shè)，由此有E（2，4ak），F(xiàn)（24k，4a），G（2，4a4ak）.直線OF的方程為：， 直線GE的方程為：.從，消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x，y）坐標(biāo)滿足方程，整理得.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng).當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值.8（1）當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)，且|m|5，|n|4時(shí)，所有形如（m，n）的點(diǎn)覆蓋的圖形的面積是80橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為20故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率為=由于橢圓是條曲線，線上點(diǎn)所占面積