高考數(shù)學(xué)圓錐曲線大題集大全

1、高考二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)：圓錐曲線大題集1. 如圖，直線l1與l2是同一平面內(nèi)兩條互相垂直的直線，交點(diǎn)是A，點(diǎn)B、D在直線l1上(B、D 位于點(diǎn)A右側(cè))，且|AB|=4，|AD|=1，M是該平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M在l1上的射影點(diǎn)是N，且|BN|=2|DM|.2. () 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程()過點(diǎn)D且不與l1、l2垂直的直線l交()中的軌跡C于E、F兩點(diǎn)；另外平面上的點(diǎn)G、H滿足：ADMBNl2l1求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍2. 設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，已知點(diǎn)到這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是4，求這個(gè)橢圓的方程.3. 已知橢圓的一條準(zhǔn)線方程是其左、右頂點(diǎn)分別是A、B；雙

2、曲線的一條漸近線方程為3x5y=0.（）求橢圓C1的方程及雙曲線C2的離心率；（）在第一象限內(nèi)取雙曲線C2上一點(diǎn)P，連結(jié)AP交橢圓C1于點(diǎn)M，連結(jié)PB并延長(zhǎng)交橢圓C1于點(diǎn)N，若. 求證：4. 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,右焦點(diǎn)F（c,0）到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，傾斜角為45°的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn).設(shè)AB中點(diǎn)為M，直線AB與OM的夾角為a.（1）用半焦距c表示橢圓的方程及tg;（2）若2<tg<3，求橢圓率心率e的取值范圍.5. 已知橢圓（ab0）的離心率，過點(diǎn)A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為（1）求橢圓的方程（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線ykx2（k0

3、）與橢圓交于C D兩點(diǎn)問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請(qǐng)說明理由6. 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿足下列條件：；（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍7. 設(shè)，為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量，若，且（）求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程；（）設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB，滿足(1)直線AB過點(diǎn)（0，3），(2)若，則OAPB為矩形，試求AB方程8. 已知拋物線C：的焦點(diǎn)為原點(diǎn)，C的準(zhǔn)線與直線的交點(diǎn)M在x軸上，與C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N（p，0）（）求拋物線C的方程；（）求實(shí)數(shù)p的

4、取值范圍；（）若C的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線為橢圓Q的一個(gè)焦點(diǎn)和一條準(zhǔn)線，試求Q的短軸的端點(diǎn)的軌跡方程9. 如圖，橢圓的中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸AA1在x軸上.以A、A1為焦點(diǎn)的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點(diǎn)，且|CD|AA1|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E，設(shè)，當(dāng)時(shí)，求雙曲線的離心率e的取值范圍.10. 已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上，且點(diǎn)A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)（點(diǎn)A在y軸正半軸上）.若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點(diǎn)，試求直線BC的方程;若角A為，AD垂直BC于D，試求點(diǎn)D的軌跡方程.11. 如圖，過拋物線的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).(1) 設(shè)點(diǎn)分有向線段所成的比

5、為，證明:; (2) 設(shè)直線的方程是，過兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處有共同的切線，求圓的方程.12. 已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（p，-1），Q（p，），過Q作斜率為的直線l，P Q中點(diǎn)M的軌跡為曲線C.（1）證明：l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）若（1）中的其中一個(gè)公共點(diǎn)為A，證明：AP是曲線C的切線；（3）設(shè)直線AP的傾斜角為，AP與l的夾角為，證明：或是定值.13. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)P，坐標(biāo)分別為、，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，曲線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線為曲線，直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，ABO的面積為，（1）求曲線C的方程；（2）求的值。14. 已知雙曲線的左右兩

6、個(gè)焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線右支上.（）若當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí),求雙曲線的方程；（）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程.15. 若F、F為雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在右準(zhǔn)線上，且滿足；.（1）求該雙曲線的離心率；（2）若該雙曲線過N（2，），求雙曲線的方程；（3）若過N（2，）的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別為B、B（B在y軸正半軸上），點(diǎn)A、B在雙曲線上，且時(shí)，直線AB的方程.16. 以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如所示的坐標(biāo)系。設(shè)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，點(diǎn)G的坐標(biāo)為。（1）求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的判斷；（2）設(shè)OFG的面積，若以O(shè)為中心，

7、F為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)G，求當(dāng)取最小值時(shí)橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，C、D是橢圓上的兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。17. 已知點(diǎn)C為圓的圓心，點(diǎn)A（1，0），P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且（）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程；（）若直線與（）中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求FOH的面積的取值范圍。18. 如圖所示，O是線段AB的中點(diǎn)，|AB|2c，以點(diǎn)A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。AOB（1）若圓A外的動(dòng)點(diǎn)P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）經(jīng)過點(diǎn)O的直線l與直線AB成

8、60°角，當(dāng)c2，a1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為E，設(shè)過點(diǎn)B的直線m交曲線E于M、N兩點(diǎn)，且點(diǎn)M在直線AB的上方，求點(diǎn)M到直線l的距離d的取值范圍。19. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),曲線上有兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線對(duì)稱，又以PQ為直徑的圓過O點(diǎn).（1）求的值; （2）求直線PQ的方程.20. 在平面直角坐標(biāo)系中，若，且，（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知定點(diǎn)，若斜率為的直線過點(diǎn)并與軌跡交于不同的兩點(diǎn)，且對(duì)于軌跡上任意一點(diǎn)，都存在，使得成立，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)的值。21. 已知雙曲線（a>0,b>0）的右準(zhǔn)線一條漸近線交于兩點(diǎn)P、Q，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)。（I）求證：PF；（II）若PQF

9、為等邊三角形，且直線y=x+b交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，求雙曲線的方程；（III）延長(zhǎng)FP交雙曲線左準(zhǔn)線和左支分別為點(diǎn)M、N，若M為PN的中點(diǎn)，求雙曲線的離心率e。22. 已知又曲線在左右頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)P是其右準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)是M，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是N，且M、N都在此雙曲線上。（I）求此雙曲線的方程；（II）求直線MN的傾斜角。23. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），P（x，y）（）。設(shè)與x軸正方向的夾角分別為、，若。（I）求點(diǎn)P的軌跡G的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)C（0，-1）的直線與軌跡G交于不同兩點(diǎn)M、N。問在x軸上是否存在一點(diǎn)，使MNE為正

10、三角形。若存在求出值；若不存在說明理由。24. 設(shè)橢圓過點(diǎn)，且焦點(diǎn)為。（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)A、B時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上。25. 平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0）、B（0，2），點(diǎn)C滿足、（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線交于兩點(diǎn)M、N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：.26. 設(shè)，、分別為軸、軸上的點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足：.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過定點(diǎn)任意作一條直線與曲線交與不同的兩點(diǎn)、，問在軸上是否存在一定點(diǎn)，使得直線、的傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.27. 如圖

11、，直角梯形ABCD中，ADBC，AB=2，AD=，BC=橢圓F以A、B為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)D，（）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求橢圓F的方程；CBDA（）是否存在直線與兩點(diǎn)，且線段，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由.28. 如圖所示，B（ c，0），C（c，0），AHBC，垂足為H，且（1）若= 0，求以B、C為焦點(diǎn)并且經(jīng)過點(diǎn)A的橢圓的離心率；（2）D分有向線段的比為，A、D同在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，當(dāng) 5時(shí)，求橢圓的離心率e的取值范圍29. 在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿足下列條件：；（1）求的頂點(diǎn)的軌跡方程；（2）過點(diǎn)的直線與（1）中軌跡交于兩點(diǎn)，求的取值范圍答

12、案：1.解：() 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，l1為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則D(1，0)，B(4，0)，設(shè)M（x，y），則N（x，0）. |BN|=2|DM|，|4x|=2,整理得3x2+4y2=12,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為. ()A、D、G三點(diǎn)共線，即點(diǎn)G在x軸上；又H點(diǎn)為線段EF的中點(diǎn)；又點(diǎn)G是線段EF的垂直平分線GH與x軸的交點(diǎn)。設(shè)l：y=k(x1)(k0)，代入3x2+4y2=12得(3+4k2)x28k2x+4k212=0，由于l過點(diǎn)D(1，0)是橢圓的焦點(diǎn)，l與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，EF的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x0，y0），x1+x2= ，x1x2= ，x0=

13、= ，y0=k(x01)= ，線段EF的垂直平分線為y y0 =(xx0)，令y=0得，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG = ky0+x0 = + = = ，k0，k2>0，3+4k2>3，0<<，<<0，xG= (0，）點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍為(0，）. 2.解：，由得設(shè)橢圓的方程為（）即（）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，則（）若即，則當(dāng)時(shí)，由已知有，得；若即，則當(dāng)時(shí)，由已知有，得（舍去）. 綜上所述，. 所以，橢圓的方程為. 3.解：（I）由已知橢圓的方程為，雙曲線的方程.又雙曲線的離心率（）由（）A（5，0），B（5，0）設(shè)M得M為AP的中點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為將M、p坐標(biāo)代入c1、c2

14、方程得消去y0得解之得由此可得P（10，當(dāng)P為（10，時(shí) PB：即代入 MNx軸即4.解：（1）由題意可知所以橢圓方程為設(shè)，將其代入橢圓方程相減，將代入可化得（2）若2<tg<3，則5.解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab0 依題意解得橢圓方程為（2）假若存在這樣的k值，由得設(shè)，則而要使以CD為直徑的圓過點(diǎn)E（-1，0），當(dāng)且僅當(dāng)CEDE時(shí)，則，即將式代入整理解得經(jīng)驗(yàn)證，使成立綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E 6.解：（1）設(shè)，點(diǎn)在線段的中垂線上由已知；又，又，頂點(diǎn)的軌跡方程為.(2)設(shè)直線方程為：，由消去得：，而由方程知，.7.解：解：令則即即又所求軌跡方程為（）

15、解：由條件（2）可知OAB不共線，故直線AB的斜率存在設(shè)AB方程為則OAPB為矩形，OAOB 得所求直線方程為8.解：（I）由題意，拋物線頂點(diǎn)為（n，0），又焦點(diǎn)為原點(diǎn)m0準(zhǔn)線方程且有m=4n. 準(zhǔn)線與直線交點(diǎn)在x軸上，交點(diǎn)為又與x軸交于（2，0），m=4，n=1拋物線方程為y2=4（x+1）（II）由1k1且k0 AB的中垂線方程為得p（2，+）（III）拋物線焦點(diǎn)F（0，0），準(zhǔn)線x=2x=2是Q的左準(zhǔn)線設(shè)Q的中心為O（x，0），則短軸端點(diǎn)為（±x，y）若F為左焦點(diǎn)，則c=x0，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2依左準(zhǔn)線方程有即y2=2x （x0）若F為右焦點(diǎn)，則x0，故c=

16、x，b=|y|a2=b2+c2=x2+y2 依左準(zhǔn)線方程有即化簡(jiǎn)得2x2+2x+y2=0即（x0，y0）9.解：建立如原題圖所示的坐標(biāo)系，則AB的方程為由于點(diǎn)P在AB上，可設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為則長(zhǎng)方形面積化簡(jiǎn)得易知，當(dāng)（21）解：設(shè)A（c,0）,A1(c,0)，則（其中c為雙曲線的半焦距，h為C、D到x軸的距離）即E點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)雙曲線的方程為，將代入方程，得將代入式，整理得消去由于10.解：1）設(shè)B（,）,C(,),BC中點(diǎn)為(),F(2,0)則有兩式作差有 (1)F(2,0)為三角形重心，所以由，得由得，代入（1）得直線BC的方程為2)由ABAC得（2）設(shè)直線BC方程為，得，代入（2）式得，解得或直

17、線過定點(diǎn)（0，設(shè)D（x,y）則即所以所求點(diǎn)D的軌跡方程是。11.解：(1) 依題意，可設(shè)直線的方程為代入拋物線方程得設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是、是方程的兩根.所以由點(diǎn)分有向線段所成的比為，得又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故點(diǎn)的坐標(biāo)是，從而. 所以(2) 由得點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（6，9）、（4，4）, 由得所以拋物線在點(diǎn)處切線的斜率為, 設(shè)圓的圓心為, 方程是則解得則圓的方程是(或)12.解：（1）直線l的方程是：，即，經(jīng)過定點(diǎn)（0，1）；又M（p，），設(shè)x= p，y=，消去p，得到的軌跡方程為：.由有，其中=4p2+16，所以l經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)而且與曲線C一定有兩個(gè)公共點(diǎn).（2）由，設(shè)A（），則=，又函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，

18、故A處的切線的斜率也是，從而AP是曲線C的切線.對(duì)于另一個(gè)解同樣可證.（3）當(dāng)A（）時(shí)，tan=，tan=，tantan=1，又易知與都是銳角，所以=90°；當(dāng)A（）時(shí)，tan=，tan=， tantan=-1，又易知是鈍角，都是銳角，所以=90°.總之或是定值.13.解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，化簡(jiǎn)得，所以曲線C的方程為；（2）曲線C是以為圓心，為半徑的圓，曲線也應(yīng)該是一個(gè)半徑為的圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以曲線的方程為，該圓的圓心到直線的距離為，或，所以，或。14.解：（）(法一)由題意知, ,（1分）解得. 由雙曲線定義得: ,所求雙曲線的方程為: (法二)

19、因,由斜率之積為,可得解.（）設(shè), (法一)設(shè)P的坐標(biāo)為, 由焦半徑公式得,，的最大值為2,無最小值. 此時(shí),此時(shí)雙曲線的漸進(jìn)線方程為(法二)設(shè),.(1)當(dāng)時(shí), , 此時(shí).(2)當(dāng),由余弦定理得:,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)15.解：（1）由知四邊形PF為平行四邊形，（OP平分，平行四邊形PFOM 為菱形，又.（2）雙曲線的方程為所求雙曲線的方程為（3）依題意得、B、B共線，不妨設(shè)直線AB為：y=kx-3,A(x則有，得，因?yàn)榈臐u進(jìn)線為，當(dāng)時(shí)，AB與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)，又，所求的直線AB的方程為.16.解：（1）由題意知，則函數(shù)在是單調(diào)遞增函數(shù)。（證明略）（4

20、分）（2）由，點(diǎn)G，因在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)，依題意橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F（3，0），設(shè)橢圓方程為，由G點(diǎn)坐標(biāo)代入與焦點(diǎn)F（3，0），可得橢圓方程為：（9分）（3）設(shè)，則，由，因點(diǎn)C、D在橢圓上，代入橢圓方程得，消去，得，又，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。17.解：（1）由題意MQ是線段AP的垂直平分線，于是|CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2>|CA|=2，于是點(diǎn) Q的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)，半焦距c=1，長(zhǎng)半軸a=的橢圓，短半軸點(diǎn)Q的軌跡E方程是：. （2）設(shè)（x1，y1）H（x2，y2），則由，消去y得又點(diǎn)O到直線FH的距離d=1，18.解：（1）以直線AB

21、為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（c，0），B（c，0）依題意：點(diǎn)P的軌跡為以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支軌跡方程為：。（2）法一：設(shè)M（，），N（，）依題意知曲線E的方程為，l的方程為設(shè)直線m的方程為由方程組，消去y得直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)及，從而由得解得且當(dāng)x2時(shí)，直線m垂直于x軸，符合條件，又設(shè)M到l的距離為d，則設(shè)，由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函數(shù)在單調(diào)遞減的最大值又而M的橫坐標(biāo)，法二：為一條漸近線m位于時(shí)，m在無窮遠(yuǎn)，此時(shí)m位于時(shí)，d較大由點(diǎn)M故19.解：(1) 曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓, 圓上兩點(diǎn)P、Q滿足關(guān)于直線對(duì)稱,則圓心在直線

22、上,代入解得(2)直線PQ與直線垂直,所以設(shè)PQ方程為,.將直線與圓的方程聯(lián)立得由解得.又以PQ為直徑的圓過O點(diǎn)解得故所求直線方程為20.解：（1），且，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為4，軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，方程為（2）設(shè)，直線的方程為，代入，消去得，由得，且，設(shè)點(diǎn)，由可得點(diǎn)在上，又因?yàn)榈娜我庑?，又，得，代入檢驗(yàn)，滿足條件，故的值是。21.解：(1) 不妨設(shè)., F.(c,0)設(shè)k2=k1k2=1.即PF. （2）由題. x2bxb2=0, a=1, 雙曲線方程為（3） y= M(N（）.又N在雙曲線上。e=22.解：（I）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-3，0），B（3，0），設(shè)點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo)依次為則有 4-得