1.2chapter閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、教學要求：教學要求：1. 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì), 并會應用這些性質(zhì)并會應用這些性質(zhì). .最大值和最小值定理最大值和最小值定理一一 .介值定理介值定理二二 .應用舉例應用舉例三三 .最大值和最小值定理最大值和最小值定理一一定義定義:.)()()()()()()(,),( 0000值值小小上的最大上的最大在區(qū)間在區(qū)間是函數(shù)是函數(shù)則稱則稱都有都有使得對于任一使得對于任一如果有如果有上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù)對于在區(qū)間對于在區(qū)間IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 并不是每一個函數(shù)都有最值并不是每一個函數(shù)都有最值. . 1, 12 , 0 sin 最最小小值值上上

2、有有最最大大值值在在閉閉區(qū)區(qū)間間 xy.)1 , 0( 內(nèi)沒有最值內(nèi)沒有最值在開區(qū)間在開區(qū)間而而xy 定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值. .如下圖如下圖ab2 1 xyo)(xfy 注意注意: (1)證明從略證明從略. (2)定理為充分條件定理定理為充分條件定理, 條件缺一不可條件缺一不可, 否則就有可能否則就有可能 沒有最值沒有最值. xyo2 )(xfy xyo)(xfy 211定理定理2(2(有界性定理有界性定理) )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該

3、區(qū)間上有界. .Proof. ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 則有則有.,)(上上有有界界在在函函數(shù)數(shù)baxf .介值定理介值定理二二定理定理3(3(零點定理零點定理) ) . 0)(),( , 0)()()2( , , )()1( fbabfafbaxf使得使得則至少存在一點則至少存在一點且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè).),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 幾何說明幾何說明: xoyab1 2 3 4 5 6 7 定理定理4(4(介值定理介值定理) ) .)(),( ,)()(

4、)3( ),()()2( , , )()1( CfbabfafCbfafbaxf 使得使得則至少存在一點則至少存在一點之間的任意一個數(shù)之間的任意一個數(shù)與與為介于為介于且且上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)設(shè)Proof. ,)()( Cxfx 設(shè)設(shè)., )( 上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則bax ,)()(Cafa ,)()(Cbfb . 0)()( ba 由零點定理得由零點定理得, 至少存在一點至少存在一點),(ba . 0)( 使使得得.)( Cf 即即推論推論: 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) f(x) 必取得介于最大值必取得介于最大值 M 與與最小值最小值 m 之間的任何值之間的任何

5、值.Proof. ,)(,)( 21Mxfmxf 設(shè)設(shè), ,)( 1221上上連連續(xù)續(xù)或或在在函函數(shù)數(shù)則則xxxxxf由介值定理由介值定理, ),( MCmC 對對任任何何實實數(shù)數(shù).)( ),( ),(1221Cfxxxx 使使得得或或都都有有 . 1 12 . 1的的正正根根至至少少有有一一個個小小于于驗驗證證 xxexSolution. , 12)( xxxf設(shè)設(shè).1 , 0 )(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則xf, 01)0( f又又, 01)1( f, 01)1()0( ff即即由零點定理由零點定理, . 0)( ),1 , 0( f使得使得至少存在一點至少存在一點 , 012 即即

6、 . 1 12 的的正正根根至至少少有有一一個個小小于于即即方方程程 xx .應用舉例應用舉例三三Proof.,)()( xxfxF 設(shè)設(shè)那么那么 F(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0,1上連續(xù)上連續(xù). , 0)0()0( fF又又. 01)1()1( fF由零點定理得由零點定理得, ),1 , 0( 至至少少存存在在一一點點, 0)( F使使得得.)( f即即.)(),1 , 0(: , 1)(0,1 , 0 )( . 2 fxfxfex使使得得至至少少存存在在一一點點證證明明且且上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)ex3. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 0,a上連續(xù)上連續(xù), ,), 0(, 0)

7、(0, 0)()0(上上任任一一點點為為時時當當alxfaxaff ).()( )(0, lffa 使使得得證證明明至至少少存存在在一一點點Proof.),()()( xflxfxF 設(shè)設(shè), 0 )( 上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則laxF , 0)()0()()0( lfflfF又又. 0)()()()( laflafaflaF), 0(), 0( ala 至至少少存存在在一一點點, 0)( F使使得得).()( flf 即即., )0, 0(sin . 4bababxaxex 并并且且它它不不超超過過正正根根至至少少有有一一個個其其中中證證明明方方程程Proof. ,sin)( bxax

8、xf 設(shè)設(shè), 0 )( 上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則baxf , 0)0( bf又又)sin()(baaabaf ,0)( )1(時時當當 baf. sin 的根的根是方程是方程即即bxaxba ,0)( )2(時時當當 baf, 0)( ), 0( fba使使得得至至少少存存在在一一點點.sin ba 即即 ., 0( sin上上至至少少有有一一個個根根在在babxax . 0)sin(1 baa,由零點定理得由零點定理得ex5. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), ,21bxxxan ,1使得使得上必有上必有則在則在 nxxProof., )(1上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉

9、區(qū)區(qū)間間nxxxf.)( ,MxfmmM 且且與與最最小小值值最最大大值值,)( ,1Mxfm 從從而而,)(2Mxfm ,)(Mxfmn .)()()(21nMxfxfxfnmn .)()()()(21nxfxfxffn .)()()( 21Mnxfxfxfmn 即即由介值定理得由介值定理得, 使得使得至少存在一點至少存在一點 ,),( 11nnxxxx .)()()()(21nxfxfxffn .)3 , 2( ,)2 , 1( 03162715 . 6內(nèi)內(nèi)另一根在另一根在內(nèi)內(nèi)有一根在有一根在試證方程試證方程 xxxexProof.)2)(1(16)3)(1(7)3)(2(5)( xxxx

10、xxxf設(shè)設(shè).3 , 2 or 2 , 1 )( 連續(xù)連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則xf, 010)1( f, 07)2( f. 032)3( f. 0)( ),2 , 1( 11 f使使得得至至少少存存在在一一點點所以結(jié)論成立所以結(jié)論成立. 0)( ),3 , 2( 22 f使使得得至至少少存存在在一一點點ex7. 設(shè)設(shè) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)上連續(xù), , , 2121證證明明為為兩兩正正數(shù)數(shù)與與且且ttbxxa ).()()()( 212211Cfttxftxft 使使得得Proof.方法方法1., baC 至少存在一點至少存在一點, )(上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間baxf.

11、)( ,MxfmmM 且且和和最最小小值值最最大大值值,)( ,1Mxfm 從而從而,)(1111Mtxftmt ,)(2Mxfm ,)(2222Mtxftmt ,)()()()(21221121Mttxftxftmtt .)()( 212211Mttxftxftm 即即由介值定理可知由介值定理可知, 使使得得至至少少存存在在一一點點 , baC ).()()()(212211Cfttxftxft 方法方法2.).()()()()( 212211xfttxftxftxF 設(shè)設(shè), )( 21上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間則則baxxxF )()()()()(12122111xfttxftxftxF

12、 ),()(122xfxft )()()()()(22122112xfttxftxftxF ),()(211xfxft . 0)()()()(2122121 xfxfttxFxF,0)()( )1(21時時當當 xFxF),()( 12xfxf 則則1xC ,0)()( )2(21時時當當 xFxF使使得得至至少少存存在在一一點點 ,),( 21baxxC . 0)( CF).()()()( 212211Cfttxftxft 即即使使得得至至少少存存在在一一點點 , 21baxxC ).()()()(212211Cfttxftxft ,)(lim ,), )( . 8存在存在且且上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)xfaxfexx.), )( 上有界上有界在在證明證明axfProof.)(lim