狀態(tài)反饋控制器設(shè)計方案書

1、Chapter5狀態(tài)反饋控制器設(shè)計控制方式有“開環(huán)控制”和“閉環(huán)控制”?！伴_環(huán)控制”就是把一個確定的 信號（時間的函數(shù)）加到系統(tǒng)輸入端，使系統(tǒng)具有某種期望的性能。然而，由于 建模中的不確定性或誤差、系統(tǒng)運(yùn)行過程中的擾動等因素使系統(tǒng)產(chǎn)生一些意想不 到的情況，這就要求對這些偏差進(jìn)行及時修正，這就是“反饋控制”。在經(jīng)典控制理論中，我們依據(jù)描述控制對象輸入輸出行為的傳遞函數(shù)模型來設(shè)計控制器， 因此只能用系統(tǒng)輸出作為反饋信號，而在現(xiàn)代控制理論中，則主要通過更為廣泛 的狀態(tài)反饋對系統(tǒng)進(jìn)行綜合。通過狀態(tài)反饋來改變和控制系統(tǒng)的極點(diǎn)位置可使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的動 態(tài)特性。利用狀態(tài)反饋構(gòu)成的調(diào)節(jié)器，可以實(shí)現(xiàn)各種目

2、的，使閉環(huán)系統(tǒng)滿足設(shè)計 要求。參見P38例5.3.3,通過狀態(tài)反饋的極點(diǎn)配置，使閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量 p 5% , 峰值時間（超調(diào)時間）tp 0.5s,阻尼振蕩頻率 d 10。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué) 習(xí)5.1線性反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)設(shè)系統(tǒng) S （A,B,C）為 x Ax Bu y Cx（5-1）圖5-1 經(jīng)典控制-輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)經(jīng)典控制中采用輸出（和輸出導(dǎo)數(shù)）反饋（圖5-1 ）:其控制規(guī)律為：u Fy v F為標(biāo)量，v為參考輸入（5-2）x Ax Bu Ax B （ Fy v） （A BFC） x Bv可見，在經(jīng)典控制中，通過適當(dāng)選擇F，可以利用輸出反饋改善系統(tǒng)的動態(tài)性能 現(xiàn)代控制中采

3、用狀態(tài)反饋（圖5-2）:其控制規(guī)律為：U Kx v . Km n（5-3）（K的行=u的行，K的列=x的行）稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)Sk （Ak，B,C）的狀態(tài)空間表達(dá)式為x （A BK）x Bv AKx Bv y Cx（5-4）AK A-BK圖5-2現(xiàn)代控制-狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)式中:若K FC，“狀態(tài)反饋”退化成“輸出反饋”，表明“輸出反饋”只是“狀態(tài)反 饋”的一種特例，因此，在經(jīng)典控制理論中的輸出反饋”(比例控制P)和 輸出導(dǎo)數(shù)反饋”(微分控制D)能實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，狀態(tài)反饋必能實(shí)現(xiàn)，反之則未必。 文 檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)定理5-1 ( P24定理5.1.1)若n階系統(tǒng)S

4、 (A,B,C)是狀態(tài)完全能控的，則經(jīng)過狀 態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)Sk (Ak，B,C)仍然是狀態(tài)完全能控的。即 狀態(tài)反饋不改變 系統(tǒng)的能控性。但狀態(tài)反饋不一定能保持原系統(tǒng)的能觀性。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人 學(xué)習(xí)證明 對系統(tǒng)(5-1)的任意能控狀態(tài)X,根據(jù)能控性定義，在0 t ta時間內(nèi)， 存在一個控制作用U(t),使得在該控制作用下X(0) X(t) X(ta) 0。對(5-1)加了狀態(tài)反饋控制律u Kx v后、需要證明X仍然是閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)的能控狀態(tài)。事實(shí)上，在時間段0 t ta上，取v U KX(5-5)文檔收集自網(wǎng)絡(luò),僅用于個人學(xué)習(xí)則由于 X (A BK)X(t) BU(t) KX

5、(t)AX(t)BU(t)所以,X也是閉環(huán)系統(tǒng)(5-3)的能控狀態(tài)X的任意性，定理得證。例5-1E 才“ 4X112X10原系統(tǒng)為u,x231x21y (1 2) x1 ,狀態(tài)反饋矩陣為X231),討論系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋前后的能控性和能觀性。左力02斛：rank (B AB) rank 11c. C2 n, rank CArank原系統(tǒng)能控且能觀；經(jīng)狀態(tài)反饋后,1Ak A BK028 / 23系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后能控性不變;0 rank(B AKB) rank 1C1 2但rank rank 1 n,系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)反饋后不能保持原系統(tǒng)的能觀性 CAk1 2（狀態(tài)反饋有可能改變輸出端）。定理5-2（P26定

6、理5.1.2） “輸出反饋”不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性（證明略） 定理5-3 （ P26定理5.1.3）對能控的單輸入、單輸出系統(tǒng)，“狀態(tài)反饋”只改變傳遞函數(shù)的分母多項式的系數(shù)，而不能移動系統(tǒng)的零點(diǎn)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)狀態(tài)空間模型證明：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 G（s） C（sI A） 1B,由于系統(tǒng)的能控性,必能通過非奇異變換得到（等價于）能控標(biāo)準(zhǔn)型(A,B,C)ana1an 1an 1sa0B(san 1s.a°)、 - .，一 A由上式整理可得（si A） B1nn 1s an 1sa0由于等價的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)，所以C(sI A) 1B(C0C1.Cn 1)n

7、 1an 1sa0Cn 1nsn 1an 1s"C(si.a0A) 1B (1)采用狀態(tài)反饋一 . _K v 后,同理可得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)CsI(A 【BK) 1B n 1Cn 1 s. C| s C0(an 1 kn 1)sn 1 . (a°k°)(2). ,其中K k0k1. kn 1（1）、（2）可知，狀態(tài)反饋只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)多a。由關(guān)系式（si A）項式(只改變傳遞函數(shù)的分母多項式的系數(shù))，而不會改變分子多項式的系數(shù)。 此時，只要不發(fā)生零極點(diǎn)相消的現(xiàn)象，狀態(tài)反饋就不能改變零點(diǎn)。證畢。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)5.2 穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計本節(jié)的目

8、的就是要尋找“反饋控制器”或者說求出“控制律”，使系統(tǒng)穩(wěn)定 以及使系統(tǒng)的性能滿足設(shè)計要求。穩(wěn)定是一個系統(tǒng)正常運(yùn)行的首要條件。若一個系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須運(yùn)用外部控制 設(shè)法讓其穩(wěn)定。如何確定增益矩陣 K,使下面閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的？文檔收集自 網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)x (A BK)x Bv AKx Bv| y Cx(5-6)根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(5-6)漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是存在一個 二次型的Lyapunov函數(shù)V(x) xTPx,其中P是待定的對稱正定矩陣。可以通過 使標(biāo)量函數(shù)V(x) xTPx的時間導(dǎo)數(shù)是負(fù)定的來確定 P和K。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個 人學(xué)習(xí) 5.2.1 Riccat

9、i矩陣方程處理方法這種方法可用來處理非線性系統(tǒng)、時滯系統(tǒng)等各類系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，也可用 于魯棒控制器的設(shè)計。(魯棒是Robust的音譯，也就是健壯和強(qiáng)壯的意思。魯棒性(robustness)就是系統(tǒng)的健壯性。它是在異常和危險情況下系統(tǒng)生存的關(guān)鍵。比如說，計算機(jī)軟件在輸入錯誤、磁盤故障、 網(wǎng)絡(luò)過載或有意攻擊情況下，能否不死機(jī)、不崩潰，就是該軟件的魯棒性。所謂魯棒性”，是指控制系統(tǒng)在一定(結(jié)構(gòu)，大小)的參數(shù)攝動下，維持某些性能的特性。根據(jù)對性能的不同定義，可分為穩(wěn)定魯棒性 和性能魯棒性。以閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性作為目標(biāo)設(shè)計得到的固定控制器稱為魯棒控制器)文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)對標(biāo)量函數(shù)V(x) x

10、TPx求時間導(dǎo)數(shù)，并利用狀態(tài)方程 x Ax Bu得：dV(x) xTPx xT Px xT(AT P PA)x uTBTPx xTPBu(5-7)dt應(yīng)用PT P可知，后面兩項“標(biāo)量”相等uTBTPx xTPBu(5-8)于是此金1 xT(ATP PA)x 2xT PBu(5-9)dt若選取控制律u具有以下結(jié)構(gòu)形式|u kBTPx| k 0(5-10)dV3 xT(ATP PA)x-2kxTPBBTPx xT(ATP PA-2kPBBTP)x (5-11) dt進(jìn)一步，選取矩陣PT P使其滿足Riccati (里卡提)矩陣方程ATP PA-2kPBBTP I(5-則dV）xTx 0 ,滿足漸進(jìn)

11、穩(wěn)定的充要條件。dt從（5-12）解出正定對稱矩陣PT P,代入（5-10）就可得到控制規(guī)律。這種基于Riccati矩陣方程（5-12）的穩(wěn)定化控制器設(shè)計方法稱為 Riccati方程處理方法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)PA-2k0PBBT P)xxTx 0若對給定的k0 0, Riccati方程有一個正定對稱解矩陣P ,則對任意的k ko,dV(x) xT(ATP PA-2kPBBTP)x xT(ATPdt 因此，對任意k k°, u kBTPx都是系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制律。這表明穩(wěn)定化控制律ukBTPx具有正無窮大的穩(wěn)定增益裕度，這在實(shí)際應(yīng)用中是非常有用的，操作人員可以根據(jù)實(shí)際情況，

12、在不破壞系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，調(diào)節(jié)控制器的 增益參數(shù)，使系統(tǒng)滿足其他性能要求。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)例5-2 （ 為例題5.2.1）對（凡7例4.4.3）的雙積分系統(tǒng)Xix2XiX2設(shè)計穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。解：已經(jīng)討論，系統(tǒng)不是一個漸近穩(wěn)定的，取1,Riccati方程為ATPPA-2kPBBTP ATPPA-2PBBTP IPi2 P2P3PiPiP2P2P3P1P2P2P3PiP2P2P3(01)PiP2P2P3P1 P32 P222 p2P2 P3P2 P32P322P22P2P3 2 P2 P32p"10 ,可以求得:1Pi3 3J3/P21一,2 P23；.3 12P

13、i2.PiP3P21所以，P是正定的，因此，對任意的kukBTPxk(0 1) p1 p2 xk(p2 P3)k( 132 一 3)xP2 p32都是所考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器(取 k 2畫圖)。5.2.2 線性矩陣不等式處理方法根據(jù)線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性定理，閉環(huán)系統(tǒng)|x (A BK)x Bv|漸近穩(wěn)定的充 要條件是存在一個正定對稱矩陣 P ,使得(A BK)TP P(A BK) 0(5-13)求解上述P和K耦合的非線性矩陣方程十分困難，為此，先將上式寫開成 PA ATP KTBTP PBK 0兩邊左 XP1、右XP1 對稱矩陣AP 1 P1AT(P1KT)BTB(KP1)0記X P 1

14、 0, Y KP 1(5-14)AX XAT YTBT BY 0(5-15)不等式(5-15)是一個關(guān)于矩陣變量X、Y的線性矩陣不等式。如果能從(5-15)確定X、Y (X正定對稱矩陣)，則Y KP1是系統(tǒng)(5-1) x Ax Bu的一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋增益矩陣， X 1 P 0是|x (A BK)x Bv|相 應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的一個Lyapunov矩陣。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)例 5-3 (P130 例 5.2.2,略)5.3 極點(diǎn)配置在實(shí)際控制系統(tǒng)設(shè)計中，不僅要保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且還要使系統(tǒng)具有 某些我們所希望的動態(tài)性能。特別地，希望選擇合適的矩陣K ,使得加入負(fù)反饋 后的閉環(huán)系統(tǒng)|x (

15、A BK)x Bv|的極點(diǎn)(特征值)|detsI (A BK) 0|位于復(fù)平面 上預(yù)先給定的位置，這樣就能保證系統(tǒng)具有我們指定的動態(tài)響應(yīng)特性，這樣的方法稱為“極點(diǎn)配置”。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)對給定系統(tǒng)，要解決其極點(diǎn)配置問題，需要回答兩個問題：(1)對什么樣的系統(tǒng)，極點(diǎn)配置問題可解，即使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的狀態(tài)反饋控制器存在性；(2)如何設(shè)計使閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的狀態(tài)反饋控制器。定理5-4系統(tǒng)S (A B,C)存在狀態(tài)反饋增益矩陣K, u Kx,使相應(yīng)的閉環(huán)系 統(tǒng)Sk (A BK , B, C)的極點(diǎn)可以任意配置的 充要條件是系統(tǒng)S是狀態(tài)完全能控。文 檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)

16、證明：必要性。假設(shè)被控對象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，則一定存在某個非奇異矩陣T使X集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)Tx ,使變換后得到等價系統(tǒng)Sk 。文檔收x (A BK )x Bv , y Cx11T x T (A BK )T 1Tx TBv , y CT xx (TAT 1 TB KT 1)x TBv (A BK)x Bv ； y CT 1 x ;比較得到變換后的等價系統(tǒng)：(5-16)(5-17)A TAT 1 AK KT 1 (KC KC), C CT 1(A11,反)是能控子系統(tǒng)的能控對，A22是不能控子系統(tǒng)部分。所以 detsI (A BK ) det sI (T 1A

17、T T 1B KT)detT 1sI (A B K)T detT 1 detsI (A B K) detT det(T 1 T) detsI (A B K) detsI (A B K)這表明，非奇異變換不改變系統(tǒng)的特征值0進(jìn)一步A12 , B TBB10A220detsI (A B K) det sI11121 (Kc Kc)0A220detsI(A1B1Kc)(%BiKc)0sIA22detsI (A11B1KC) det(sI A22)(5-18)能控子系統(tǒng)不能控子系統(tǒng)結(jié)論(5-18)表明:狀態(tài)反饋的能控分量Kc只能通過輸入矩陣的能控部分 R來改變被控對象的能 控子系統(tǒng)再i的極點(diǎn)，而不能改

18、變不能控子系統(tǒng) A22的極點(diǎn)。因此S (A,B,C)系統(tǒng) (完全)能控是能夠任意配置(改變)極點(diǎn)的必要條件。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)狀態(tài)反饋的不能控分量 KC對“極點(diǎn)配置”沒有貢獻(xiàn)。充分性。如果S (AB,C)完全能控，就能保證通過改變狀態(tài)反饋增益K,使det sI (A BK )0的極點(diǎn)任意配置。推論5-1當(dāng)系統(tǒng)S (A,B,C)不是完全能控時，通過狀態(tài)反饋u Kx v使其閉環(huán) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 是系統(tǒng)S的不能控極點(diǎn)det(sI A22) 0都具有負(fù)實(shí)部(稱為能 穩(wěn)定或能鎮(zhèn)定的Stabilizable)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)能控穩(wěn)定最好的，也可以通過 極點(diǎn)配置K改造成更穩(wěn)定

19、不穩(wěn)定可以通過極點(diǎn)配置K改造AAk A BK不能控穩(wěn)定能鎮(zhèn)定的，雖不能通過極點(diǎn)配置改造，但也無妨不穩(wěn)定最糟糕！不穩(wěn)定，還不能通過 極點(diǎn)配置改造5.3.1能控標(biāo)準(zhǔn)形的極點(diǎn)配置設(shè)被控對象為能控標(biāo)準(zhǔn)形(A,b), A010000an 11a1 a0a0a1.原系統(tǒng)的特征多項式為det( I A) n an 1希望狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)為特征值集合 1 . n的特征多項式ndet( I Ac) det I (A bk) <<(i 1i)nn 1bn 1b1b00100A (A bk)a0k0a11an 1 kn 1b01blbn 1比較兩邊系數(shù)可得:k (k0 k1. kn 1) (b0 a

20、0 bl a1 bn 1 an 1)(5-19)0 10.一例5-4 (電3例5.3.1) 2階單輸入線性定常系統(tǒng)為xx u ,求狀態(tài)反231饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為(23) o解：利用系統(tǒng)特征多項式和希望的特征多項式相等的充要條件，使兩多項式同 次幕的系數(shù)相等，可以直接解出增益矩陣 K ,稱為直接法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)本題采用直接設(shè)計方法，設(shè)u (k0 k1)x,代入系統(tǒng)方程得01001x(k0 k1) xx2312 k03k12det(sI Ac)(3 kJ2 k。，希望狀態(tài)反饋后的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項2式為， (i) (2)(3)2 5 6i 1比較可得：3 k15 ,2 k0

21、6 K 2 , k08所求的狀態(tài)反饋為u kx (8 2) x1x2例5-4圖閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖對于一般狀態(tài)方程，如果他是能控的，即總是存在線性變換x Tx,將狀態(tài)方程等價的變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型。0100-000A0001%aan 1A TAT 1, B TB01B , Tc(A,B) c1(A, B)0因此，對于一般狀態(tài)方程，只要他是能控的，就可以進(jìn)行任意極點(diǎn)配置。而 直接配置方法適用于一般狀態(tài)方程。5.3.2極點(diǎn)配置設(shè)計狀態(tài)反饋控制器的算法單輸入系統(tǒng)的極點(diǎn)配置主要采用變換法和直接法：通過能控標(biāo)準(zhǔn)型(非能控 標(biāo)準(zhǔn)型可以通過非奇異變換T變成能控標(biāo)準(zhǔn)型)的設(shè)計方法稱為變換法；利用系 統(tǒng)特征多項

22、式和希望的特征多項式相等的充要條件，使兩多項式同次幕的系數(shù) 相等，可以直接解出增益矩陣 K,稱為直接法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)10例5-5 (%6例5.3.2)被控對象的傳遞函數(shù)為G(s) ，設(shè)計一個狀s(s 1)(s 2)態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為2, 1 j。解：為了使設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器便于實(shí)施， 描述被控對象的狀態(tài)空間模型應(yīng)當(dāng) 盡可能地選擇那些易于直接測量的信號作為狀態(tài)變量。將傳遞函數(shù)做一下串聯(lián)分解，將串聯(lián)子系統(tǒng)-,，的輸出選為狀態(tài)變量, x2, x3,顯然，這s s 1 s 2X1（t） X2（t）X2（t）X2（t） X3（t） y 10X1 （10 0 0）xX3（

23、t）2X3 （t） u（t）樣的狀態(tài)變量容易直接測量。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)1Xi（s） X2（s） s1X2（s） X3（s）s 1 1X3（s） U（s） s 2由此得到狀態(tài)空間模型為0 u, y （10 0 0）x1顯然，這是一個“非能控標(biāo)準(zhǔn)型”的狀態(tài)空間模型?？梢酝ㄟ^“變換法”將其變 換成“能控標(biāo)準(zhǔn)型”。(1)變換法首先確定非奇異變換X Tx,將串聯(lián)分解實(shí)現(xiàn)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型001原系統(tǒng)的能控性矩陣為：C (B AB A2B) 0 131241001221C1013310124100由圖我們得到 det(sI A) s(s 1)(s 2) s3 3s2 2s 0010因此，能控標(biāo)

24、準(zhǔn)型為A001 , B023001 2 C (B A A B) 013根據(jù)不定理3.1.4,狀態(tài)變換矩陣為T( A A2)(B AB A2B) 10012 2 1013 3 1013 710 0100100_ 1010, T 01001 10 1 1可以驗(yàn)證：TAT100 01010 0101100010 010 102 0 11010001A02310 0 0TB 010 001111由于所希望的f希望(s 2)(s 1 j)(s 1 j) s3 4s2 6s 4要設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器增益為（K為能控標(biāo)準(zhǔn)型的配置）A BK 0110 020 (k1k2k3)1011k1k22 k3detsI

25、 (A BK)s3 (3 k3)s2 (2 k2 k3)s k1f希望(s 2)(s 132j)(s 1 j) s 4s 6s 4比較可知 3 k3 4 2 k2 k36 kl4即 k31k23 kl 4 u Kx （ 431）x工程實(shí)踐中，系統(tǒng)的動態(tài)特性往往以時域指標(biāo)給出， 比如要求超調(diào)量小于等 于多少，超調(diào)時間不超過多少，阻尼振蕩頻率不大于多少等。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于 個人學(xué)習(xí)例5-6 （%8例5.3.3）如圖被控系統(tǒng)，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，而且閉環(huán)系統(tǒng)的：超調(diào)量 p 5% ,峰值時間（超調(diào)時間）tp 0.5s ,阻尼振蕩頻率 d 10。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個

26、人學(xué)習(xí)解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，可以得到被控系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間模型0 1 00x 012 1 x 0 u, y （1 0 0）x0 0 61容易檢驗(yàn)該系統(tǒng)是能控的，因此，可以通過狀態(tài)反饋來實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的任意 極點(diǎn)配置。本題無開環(huán)零點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能完全由閉環(huán)極點(diǎn)所決定。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)由于所考慮的系統(tǒng)為3階系統(tǒng)，故有3個閉環(huán)極點(diǎn)。期望的3個極點(diǎn)可以這 樣安排：一個極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，對閉環(huán)系統(tǒng)性能影響極小，于是可將系統(tǒng)近似成只 有一對主導(dǎo)極點(diǎn)為1,2n j n 2的2階系統(tǒng)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)-2階系統(tǒng)的阻尼比；n-2階系統(tǒng)無阻尼自振頻率。由關(guān)系式:2e 35%, tp0.5s

27、,1當(dāng) ；0707， n經(jīng)配置后（上式取等號）10, n 7.07時，滿足上述條件閉環(huán)系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)為：12 n j n.127 07 j7.07此時，1,2n 10,取另一 “遠(yuǎn)離虛軸”極點(diǎn)為 310 1,2100故希望的閉環(huán)特征多項式 _2_232_fk( ) (100)( 2 2 n2)3 114.1151010000有兩種方法配置：（1）把它轉(zhuǎn)換成能控標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行配置（書上）因?yàn)閭鬟f函數(shù)為G（s）1s(s 12)(s 6)1s3 18s2 72s可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)型(2)直接配置 設(shè)K (k1 k2 k3)detsI (A BK) 0 s 121s3 (6 k3)s2 (12k3 k2

28、72)s k1k1k2s 6 k36 k3 114.112k3 k2 72 1510k1 10000反饋增益為 K (10000 284.8 108.1)所求的狀態(tài)反饋為u kx v （ 10000284.8108.1)x v例5-7 （50例5.3.4）倒立擺系統(tǒng)的線性化狀態(tài)空間模型（對應(yīng) 0）為x Ax Bu0 10 00 01 0x0 0010 0 11 001u , y Cx (1 0 0 0)x01其中x （y y）T是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，是擺桿的角位移，y是小車的位移，u是作用在小車上的力設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器u Kx ,使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是121 j解：開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式為det（s

29、I A） s2（s 布）（s /1）,對應(yīng)極點(diǎn)（0 0 后111）因此，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這和直觀感受到的現(xiàn)象是一致的。以初始狀態(tài) x（0） （0.1 00.1 1）T的開環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量x1 y （左上，小車位移），x2 y1（右上，小車速度），x3（左下，擺桿角位移），x4（右下，擺桿角速度）軌跡圖進(jìn)一步驗(yàn)證了這一事實(shí)，它們都遠(yuǎn)離原點(diǎn)，都是不穩(wěn)定的。文檔收集自網(wǎng)絡(luò),僅用于個人學(xué)習(xí)-xU五名行 A 356 % * qR'EUA3R 晶Response to Ini rial Conditionto lililial Condniori但倒立擺系統(tǒng)是能控的，因此可以進(jìn)行極點(diǎn)配置,以保證

30、閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的用直接法求得u Kx(k1k2 k3 k4)x(0.4 1 21.4 6)x0100閉環(huán)系統(tǒng)為x (A BK)x0.4120.46x00010.4110.46再在閉環(huán)系統(tǒng)中考察初始狀態(tài)x(0) (0.1 00.1 1)T的響應(yīng)，編制和執(zhí)行以下m-文件(參見P42),可得乜城口5.3.3 Ackermann 公式Ackermann公式給出了極點(diǎn)配置K的解析表達(dá)式，特別適合于編程計算。假設(shè)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，給定的期望閉環(huán)極點(diǎn)為1, 2, 一線性狀態(tài)反 饋控制器為uKx ,得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為x (A BK)x AK A BK(5-20)則極點(diǎn)配置要求K滿足 det( I

31、Ak) ( i)(2) ( n)n dni n1 d1 d0 f希望()(5-21)根據(jù)凱萊-哈米爾頓定理，Ak應(yīng)滿足其自身的特征方程，即f(Aj AK dn 1AK1d1AK d0I 0(5-22)為簡化推導(dǎo)，以n 3為例，可以方便地推廣到任意階的單輸入系統(tǒng)考慮恒等式IIAK A BKaK A即 “Ak) f (A) dBK d2ABK dzBKAK A2BK ABKAk BKaK應(yīng)用(5-22)-2_2 -f(A) B(dK d2KAK KAk) AB(d2K KAk ) A BK2d1K d2KAK KAK(B AB A2B) d2K KAk(5-23)K由于系統(tǒng)完全能控，能控性矩陣可逆

32、，故 d1K d2KAK KAK_2 _ 1 -(B AB A B) f (A) d2K KAk ABK BKAkaK AK兩邊左乘(0 0 1),(最后一行的“提取”向量)可得K (0 0 1)(B AB A2B) 1f (A)顯然，此結(jié)果推廣到n階單輸入系統(tǒng) A2BK ABKAk bkaK將上述等式分別 d。、4、d'并相加得d°I dA<d?AKaKd0I d1(A BK) d2(A2 ABK BKAK) A3 A2BK ABKAK BKAK2 32_2(5-24)d0I d1A d2A2 A3 d1BK d2ABK d2BKAK A2BK ABKAK BKAKK

33、(0 01)(BABAn1B)1f(A)|(5-25)式中：f (A) An dn1An1d1A d0If希望()ndm n1 d1do(5-25)稱為 Ackermann 公式。5.3.4 應(yīng)用Matlab求解極點(diǎn)配置Matlab提供了兩個函數(shù)acker和place來確定極點(diǎn)配置的增益矩陣 K。函數(shù)acker就是基于Ackermann公式，他只能應(yīng)用到單輸入系統(tǒng)，要配置的閉環(huán)極點(diǎn)中可以包括多重極點(diǎn)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)如果系統(tǒng)有多個輸入，則滿足條件的K不唯一，從而有更多的自由度去選擇 K ,如何利用這些自由度，使得系統(tǒng)具有給定的極點(diǎn)外，還具有一些其他附加功 能，就是“多目標(biāo)控制”。

34、文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)一種方法就是在使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的同時，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度最 大化，稱為“魯棒”極點(diǎn)配置法，Matlab函數(shù)place就是基于“魯棒”極點(diǎn)配 置法設(shè)計的。盡管函數(shù)place適用于多輸入系統(tǒng)，但它要求在期望閉環(huán)極點(diǎn)中的 相同極點(diǎn)個數(shù)不超過輸入矩陣 B的秩。特別地，對單輸入系統(tǒng)，函數(shù)place要求閉環(huán)極點(diǎn)均不相同。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)對單輸入系統(tǒng)，函數(shù)acker和place給定的增益矩陣K相同。如果一個單輸入系統(tǒng)接近于不能控，即其能控性矩陣的行列式接近于零，則 應(yīng)用acker函數(shù)可能會出現(xiàn)計算上的問題，這種情況下，函數(shù)place可能是更合 適的，但必

35、須限制所期望的閉環(huán)極點(diǎn)均不相同。 文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)函數(shù)acker和place的一般形式為(5-26)(5-27)K acker(A, B, J)K place(A, B, J)J (Si S 與)是由n個期望的閉環(huán)極點(diǎn)構(gòu)成的向量。 得到反饋增益后, 可以用命令eig(A B* K)來檢驗(yàn)閉環(huán)極點(diǎn)例5-8 ( P147例5.3.6)線性化狀態(tài)空間為x Ax Bu10,進(jìn)而對設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器u Kx,使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是2 4j給定的初態(tài)x(0) (1 0 0)T,畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線解：執(zhí)行以下應(yīng)用acker函數(shù)編制的m-文件A010;0 0 1;156;B 0； 0；

36、1；J-2j*4;-2 j*4;10;K acker(A, B, J)可得K 199 55 8若執(zhí)行以下應(yīng)用place函數(shù)編制的m-文 件A010;0 0 1;156;B 0； 0； 1；J-2j*4;-2 j*4;10;K place(A,B,J) 則可得place： ndigits 15K199.0000 55.0000 8.0000對給定的初態(tài)x(0)(1 0 0)T ,應(yīng)用initial函數(shù)畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線, 執(zhí)行以下m-文件A 0 1 0; 0 0 1;156; % 輸入 A 矩陣B 0; 0; 1; %輸入B矩陣J -2 j*4; -2 j*4;10; %輸入期望特征值J

37、向量K place(A, B, J);sys ss(A - B* K, 0;0;0, eye(3),0);t 0:0.01:4; %時間t從。一4 (秒)間隔0.01秒取值 x initial(sy s,1;0;0, t);x1 1 0 0*x ；x2 0 1 0*x ;x3 0 0 1*x ;subplot(3,1,1); plot(t, x1), gridtitle ('Response to Initial Condition') % 題頭寸T印 Response to InitiaiCondition (對初條件的響應(yīng))ylabel('x1') % y

38、軸打印 x1subplot(3,1,2); plot(t, x2), gridylabel('x2') % y 軸打印 x2subplot(3,1,3); plot(t, x3), gridxlabel('t(sec)') % x 軸打印 t(sec)ylabel('x3') % y 軸打印 x3可得如圖所示響應(yīng)曲線。5.4跟蹤控制器設(shè)計例5-9 (P149例5.4.1)被控對象為x Ax Bu01034 x 15y (3 2)x34 I設(shè)計狀態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)是45 ,討論閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能o解：被控對象為能控標(biāo)準(zhǔn)型，系統(tǒng)能控，特征多

39、項式為det( I A) det 3于是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為(分母為特征多項式1,2 ( 13)(1)det(sI A) s2 4s 3,分子為b1s b02s 3bs bo,而 y (bo bi)x (3 2)x)Go(s) (2)s a1s a0 s 4s 3期望的閉環(huán)特征多項式為f( ) (4)(5)2 920(3)所要設(shè)計的狀態(tài)反饋增益矩陣為K (20 3 9 4) (17 5)(4)01所以，相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣為A BK(5)209對應(yīng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為(分母為期望的閉環(huán)特征多項式f(s) s2 9s 20,分子為bs b0,而 y (b0 bi )x (3 2)x)b1s b0Gc(s

40、)sas a02s 3 6s2 9s 20考察參考輸入為單位階躍函數(shù)u(t) 1(t), R(s) 1/s,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為From IJ例5-9圖1開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(無靜定義經(jīng)典控制理論結(jié)論y( ) lim y(t)lim sY(s) lim sG(s)R(s) G(0) (sR(s) 1)由(2)開環(huán)系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)值為 y0( ) G0(0) 1 ,說明開環(huán)系統(tǒng)無靜差(參見 例5-9圖1)。而由(6)閉環(huán)系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)值為yc( ) Gc(0) 0.15,閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生了靜20態(tài)絕對誤差yc( ) 0.15,相對誤差15%。(參見例5-9圖2)。結(jié)果表明，極點(diǎn)配置盡管改善了閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性

41、，卻使穩(wěn)態(tài)性能變差了。 此外實(shí)際系統(tǒng)還不可避免的存在隨機(jī)擾動(只知道其均值、方差等統(tǒng)計特性)和 確定性擾動(具有確定的函數(shù)形式)。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)實(shí)際中，許多系統(tǒng)都存在確定性擾動，如陣風(fēng)對雷達(dá)天線的擾動，海浪對船 體縱搖或橫搖的擾動，飛行體在大氣中受到氣浪的擾動等， 確定擾動的函數(shù)形式 如沖擊函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、正弦函數(shù)等。此處只討論確定性擾動。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)在諸如數(shù)控機(jī)床、導(dǎo)彈控制等實(shí)際控制中，常常要求閉環(huán)系統(tǒng)的輸出以給定 精度跟蹤參考輸入信號，實(shí)現(xiàn)精確的跟蹤控制。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)以下針對外部階躍擾動的線性時不變系統(tǒng)，提出一種能實(shí)現(xiàn)“無靜差”

42、跟蹤 參考輸入信號的漸近跟蹤調(diào)節(jié)器設(shè)計方法。文檔收集自網(wǎng)絡(luò),僅用于個人學(xué)習(xí)考慮以下狀態(tài)空間模型描述的 m維輸入、p維輸出x Ax Bu d, y Cxd(t)是 n維擾動輸入(5-28)假定系統(tǒng)的參考/&入是階躍輸入r(t) r01(t),階躍擾動為d(t) d01(t),控制的目的是在存在階躍擾動d(t)的情況下,仍希望閉環(huán)系統(tǒng)的輸出y(t)能很好地跟蹤參考輸入r(t)。為此，定義偏差向量 e(t) y(t) r(t)僅用于個人學(xué)習(xí)引入偏差向量的積分q(t) q(t)° e( )dTttq (t) 4(t)q2(t)qp(t) 00( )d 02( )dq(t) e(t)

43、Cx(t) r(t)5-29)文檔收集自網(wǎng)絡(luò),(5-30)t0ep( )d (5-31)在狀態(tài)方程中，將積分器的輸出選擇為狀態(tài)向量的分量,按此，也可以將q(t)選為狀態(tài)向量的分量，于是，綜合(5-28)、(5-31)可得“增廣系統(tǒng)”方程為文xA0 xB udx y (C 0)qC0 q0rq檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)(5-32)新的狀態(tài)向量是n p維的。對系統(tǒng)(5-32),若能設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器xu (Ki K2)KiX K2qq使增廣的閉環(huán)系統(tǒng)(5-33)代入(5-32)x A BK1BK2 x dq C 0 q r(5-33)(5-34)是漸近穩(wěn)定的，此時，矩陣A BK1CBK2是非

44、奇異的，可逆的。對(5-34)0x(s)兩邊取Laplace變換，得到q(s)sI1A BKi BK2 d(s)12(5-35)C 0r(s)由Laplace終值定理(參考輸入r0/s和外部擾動d0/s都是階躍信號)x(t)x(s) (5-35)A BK1limlim slim s sIt q(t) s 0 q(s) s 0C1BK2d0/s0r0 /sA BK1C0,所以si 0)這表明x(t)、q(t)都趨于常值向量，因此x(t)、q(t)都必將趨于0lim q(t) lim (y(t) r)0 lim y(t) lim r(t)(5-36)從而實(shí)現(xiàn)精確地跟蹤控制。小結(jié)：對增廣系統(tǒng)（5-32）設(shè)計一個穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器，就可以保證系統(tǒng)輸 出跟蹤階躍參考輸入，而且沒有穩(wěn)態(tài)誤差。進(jìn)一步，可以通過對增廣系統(tǒng)的極點(diǎn)配置，使其具有一定的動態(tài)性能，但要求增廣系統(tǒng)是能控的。文檔收集自網(wǎng)絡(luò)，僅用于個人學(xué)習(xí)定理5-5 （ P52定理5.4.1