萬有引力定律優(yōu)秀教案

1、六 萬有引力和天體運(yùn)動(dòng)（一） 開普勒行星定律1. 第一定律軌道定律所有行星圍繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽處于所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。因此地球公轉(zhuǎn)時(shí)有近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)2. 第二定律面積定律太陽和行星的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。因此行星的公轉(zhuǎn)速率是不均勻的，在近日點(diǎn)最快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)最慢。3. 第三定律周期定律所有行星橢圓軌道的半長軸R的三次方及公轉(zhuǎn)周期T的平方的比值都相等。k k是及行星無關(guān)，而及太陽有關(guān)的量。（1） 若公轉(zhuǎn)軌道為圓，那么R就是指半徑。（2） 第三定律針對(duì)的是繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)的各星體，若中心天體不同，不能死套周期定律：例如比較地球和火星，就有kk是一個(gè)及中心天體太陽有關(guān)的常數(shù)

2、，及行星無關(guān)。例如比較月球和人造衛(wèi)星，就有k k 是一個(gè)及中心天體地球相關(guān)的常數(shù)，及衛(wèi)星無關(guān)。例如行星的衛(wèi)星并非主要繞太陽運(yùn)動(dòng)，不能直接和行星比較，即例1. 已知日地距離為1.5億千米，火星公轉(zhuǎn)周期為1.88年，據(jù)此可推算得火星到太陽的距離約為A. 1.2億千米 B. 2.3億千米C. 4.6億千米 D. 6.9億千米解：B（二） 萬有引力定律1. 基本概念（1） 表述：自然界中任何兩個(gè)物體都是相互吸引的引力普遍存在；引力的大小跟這兩個(gè)物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的二次方成反比F萬（2） 公式： F萬G其中G稱為引力常量，適用于任何物體，由卡文迪許首先測(cè)出。它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1

3、kg的質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)的相互作用力：G6.67×1011N·m2/kg2。（3） 定律的適用范圍： 定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，公式中的R是所研究的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。 定律還可用于兩均勻球體間的相互作用，公式中的R是兩球心間的距離。 定律還可用于一均勻球體和球體外另一質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，公式中的R是球心及質(zhì)點(diǎn)間的距離。例2. 已知月球中心到地球中心的距離約是地球半徑的60倍，兩者質(zhì)量之比M月M地181。問由地球飛往月球的飛船距月球中心多遠(yuǎn)時(shí)，地球及月球?qū)︼w船的萬有引力的合力恰好為零？解：設(shè)飛船質(zhì)量為m，所求距離為d，據(jù)平衡條件有 GG 解得d6 R地2. 萬有引力和重力（1）

4、地面上物體的重力mg是地球?qū)υ撐矬w的萬有引力的一個(gè)分力。 隨著緯度的升高，物體所需向心力減小，物體的重力逐漸增大。 事實(shí)上，地球表面的物體受到的萬有引力和重力十分接近。例如，在赤道上的一個(gè)質(zhì)量為1kg的物體，用F萬G計(jì)算出來的萬有引力是9.830N，用F向m R計(jì)算出來的的向心力是0.034N，那么物體受到的重力是mgF萬F向9.796N。因此（2） 在地面及附近，可認(rèn)為mgG那么重力加速度gG黃金代換例3. 已知地球的半徑約為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T。又知月球的公轉(zhuǎn)可看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試用上述物理量表達(dá)出地月距離L（L遠(yuǎn)大于R）。解：L遠(yuǎn)大于R，可將地球和月球視

5、為質(zhì)點(diǎn)，由萬有引力定律和牛頓第二定律有Gm月L 在地球表面，有 m物gG 聯(lián)立、式解得 L（3） 地球表面附近高度為h（h R）的地方，仍可視為重力等于萬有引力：mg G故距地面高度為h的地方，重力加速度g g 可見，隨高度的增大，重力加速度迅速減小。例4. 在地球某處海平面上測(cè)得物體自由下落高度h時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為t。在某高山頂上測(cè)得物體下落同樣的高度所需時(shí)間增加了t。已知地球半徑為R，試用上述各量表達(dá)山的高度H。解：設(shè)地面的重力加速度為g，據(jù)直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有g(shù)設(shè)高山頂上的重力加速度為g，同理有g(shù)則 ()2 在地面附近，可認(rèn)為重力等于萬有引力，有mgGmgG則 ()2 聯(lián)立式得 解得HR3. 利

6、用萬有引力定律測(cè)量天體質(zhì)量和密度（1） 以天體表面的物體為研究對(duì)象設(shè)星球半徑為R，在天體表面有： mgG得M；而VR3 ，則例5. 已知地球表面的重力加速度為9.8m/s2，地球半徑為6.4×103km，引力常量為6.67×1011N·m2/kg2。（1）試估算地球的平均密度。（2）已知地核的體積約為整個(gè)地球體積的16%，地核的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的34%，試估算地核的平均密度。解：設(shè)地面上有一質(zhì)量為m的物體，它所受到的地球引力近似等于它的重力：mgG 得 M地地 kg/m35.48×103kg/m3 核地11.6×103kg/m3例6. 宇航員在

7、地球表面以一定的初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過5t的時(shí)間后小球才落回原處（地球重力加速度取g10m/s2，空氣阻力不計(jì)），求：（1）該星球表面附近的重力加速度；（2）已知該星球的半徑及地球半徑之比為R星R地14，求該星球的質(zhì)量和地球質(zhì)量之比。解：物體作豎直上拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，上升時(shí)間t則a 即 得g星2 m/s2在星球表面有mgG，故有MgR 2 即（2） 以繞中心天體運(yùn)動(dòng)的物體為研究對(duì)象設(shè)物體的軌道半徑為r，由牛頓第二定律及萬有引力定律有F萬F向Gmm2rmvmrm42f 2r得Mrr 3 ；若已知中心天體的半徑R，VR3 ，則特

8、別地，若物體是在中心天體表面附近飛行，則有Rr例7. 一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，測(cè)得飛船繞行一周所需時(shí)間為T，若該行星的密度可視為是均勻的，求該行星密度的表達(dá)式。（引力常量為G）解：據(jù)萬有引力和牛頓第二定律有Gmr得Mr 3由于飛船是在行星表面附近飛行，可認(rèn)為軌道半徑r及星球半徑R相等，有Vr 3 則（三） 人造衛(wèi)星1. 人造衛(wèi)星的發(fā)射所謂“發(fā)射速度”并非指火箭的起飛速度，而是衛(wèi)星脫離火箭進(jìn)入軌道時(shí)的速度。2. 人造衛(wèi)星的在軌運(yùn)行 很多人造地球衛(wèi)星進(jìn)入軌道后，就以一穩(wěn)定的速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道中心在地心。其運(yùn)動(dòng)所需的向心力由地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供。于是有Gmm2rmrm4

9、2f 2r其中r為軌道半徑，設(shè)地球半徑為R，衛(wèi)星距地面的高度為h，則rR地h。衛(wèi)星按照不同的用途被安排在距地高度不同的圓軌道上。比較不同軌道上的衛(wèi)星，它們的運(yùn)行參數(shù)和軌道半徑間有下列關(guān)系：繞行速度v和半徑r：由Gm得v 2，可見r越大，繞行速度越小。即衛(wèi)星的軌道越高，其線速度越小。角速度和半徑r：由Gm2r 得2可見r越大，角速度越小。環(huán)繞周期T和半徑r：由Gmr 得T 2r 3可見r越大，周期T越大。衛(wèi)星的向心加速度a和半徑r：由Gma得a可見r越大，向心加速度a越小。例8. 火星有兩顆衛(wèi)星，分別是火衛(wèi)一和火衛(wèi)二，它們的軌道近似為圓，已知火衛(wèi)一的周期為7h39min，火衛(wèi)二的周期是30h18

10、min，那么兩顆衛(wèi)星相比較：A. 火衛(wèi)一距火星表面近B. 火衛(wèi)二的角速度較大C. 火衛(wèi)一的運(yùn)動(dòng)速度較大D. 火衛(wèi)二的向心加速度較大解：AC3. 三種宇宙速度（1） 第一宇宙速度衛(wèi)星脫離火箭，被火箭發(fā)射到軌道上時(shí)，有一個(gè)最小發(fā)射速度，若衛(wèi)星脫離火箭時(shí)的速度比它還小，衛(wèi)星將象炮彈一樣落回地面。這一最小發(fā)射速度稱為第一宇宙速度，記為v。衛(wèi)星以該速度運(yùn)行時(shí)，處于最低的近地軌道，如果軌道再低，衛(wèi)星的運(yùn)行將受到空氣阻力的影響，會(huì)墜落回地面。此時(shí)軌道距地面約200km，其軌道半徑可視為地球半徑。 v是衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，若發(fā)射速度達(dá)不到v，衛(wèi)星將墜回地面。 v是衛(wèi)星軌道為圓形時(shí)的最大繞行速度，若速度再增大，

11、軌道將不再是圓。例9. 已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，（1）試推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達(dá)式。（2）若某衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T。解：（1）衛(wèi)星繞地運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)軌道半徑為r，據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有： Gm 由于衛(wèi)星此時(shí)在地表附近飛行，有 mgG rR 聯(lián)立可解得v7.9km/s （2）據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有： Gm(Rh) 對(duì)于地面上的物體，有 m物gG 聯(lián)立可解得T2（2） 第二宇宙速度和第三宇宙速度如果第三級(jí)火箭進(jìn)入圓軌道后，發(fā)動(dòng)機(jī)繼續(xù)工作，使得衛(wèi)星的發(fā)射速度大于7.9km/s，那么衛(wèi)星將沿橢圓軌道

12、運(yùn)行；若衛(wèi)星的發(fā)射速度進(jìn)一步增大，達(dá)到11.2km/s時(shí)，衛(wèi)星就會(huì)脫離地球的引力而不再繞地運(yùn)行。此后衛(wèi)星將成為繞太陽運(yùn)行的人造行星或者向其它行星飛去。這個(gè)速度是航天器能夠脫離地球引力的最小速度，稱為第二宇宙速度，記為v，也稱為地球表面的逃逸速度。如果發(fā)射速度進(jìn)一步增大，達(dá)到16.7km/s以上時(shí)，航天器將脫離太陽引力束縛，飛到太陽系以外的宇宙中，不再返回太陽系或地球。這一速度稱為第三宇宙速度，記為v。4. 地球同步靜止衛(wèi)星衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)周期及地球自轉(zhuǎn)周期完全相同，相對(duì)位置保持不變。此衛(wèi)星在地球上看來是靜止地掛在高空，稱為地球同步靜止衛(wèi)星，簡稱同步衛(wèi)星或靜止衛(wèi)星。（1） 同步衛(wèi)星的特點(diǎn) 軌道為圓

13、。如果它的軌道是橢圓，則地球應(yīng)處于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，衛(wèi)星在繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的過程中就必然會(huì)出現(xiàn)近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)，當(dāng)衛(wèi)星向近地點(diǎn)運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星的軌道半徑將減小，地球?qū)λ娜f有引力就變大，衛(wèi)星的周期變??；反之，當(dāng)衛(wèi)星向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星的軌道半徑將變大，地球?qū)λ娜f有引力就減小，衛(wèi)星的周期變大，這也就不能保持同步了。所以同步衛(wèi)星軌道不是橢圓，而只能是圓。 軌道平面及赤道共面。假設(shè)衛(wèi)星發(fā)射在北緯某地的上空的B點(diǎn)，其受力情況如圖1所示，由于該衛(wèi)星繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力只能由萬有引力的一個(gè)分力F1提供，而萬有引力的另一個(gè)分力F2就會(huì)使該衛(wèi)星離開B點(diǎn)向赤道運(yùn)動(dòng)。所以衛(wèi)星若發(fā)射在赤道平面的上方(或下方)某處，則

14、衛(wèi)星在繞地軸做圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，也向赤道平面運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)就不會(huì)穩(wěn)定，從而使衛(wèi)星不能及地球同步，所以要使衛(wèi)星及地球同步運(yùn)行，必須要求衛(wèi)星的軌道及地球赤道共面。 高度固定。在赤道上空的同步衛(wèi)星，它受到的唯一的力萬有引力提供衛(wèi)星繞地軸運(yùn)轉(zhuǎn)所需的向心力。當(dāng)衛(wèi)星離地面的高度h取某一定值時(shí)，衛(wèi)星繞地軸運(yùn)轉(zhuǎn)就可以及地球自轉(zhuǎn)同步，兩者的周期均為T=24h。設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，衛(wèi)星質(zhì)量為m，離地面的高度為h，則有Gm(Rh) 得hR將R=6400km，G=6.67×10-11N·m2/kg2，M=6.0×1024kg，T=24h=86400s代入上式得h=3.6×

15、;104km即同步衛(wèi)星距離地面的高度相同(均為h=3.6×104km)，必然定位于赤道上空的同一個(gè)大圓上。赤道上空的這一位置被科學(xué)家們喻為“黃金圈”，是各國在太空主要爭(zhēng)奪的領(lǐng)域之一。（2） 同步衛(wèi)星的發(fā)射同步衛(wèi)星的發(fā)射，通常都采用變軌發(fā)射的方法。如圖所示，先是用運(yùn)載火箭把衛(wèi)星送入近地圓軌道1，待衛(wèi)星運(yùn)行狀態(tài)穩(wěn)定后，在近地點(diǎn)(a點(diǎn))，衛(wèi)星的火箭開始點(diǎn)火加速，把衛(wèi)星送入橢圓軌道2(稱為轉(zhuǎn)移軌道)上，橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)(b點(diǎn))距地心距離等于同步軌道半徑。以后再在地面測(cè)控站的控制下，利用遙控指令選擇在遠(yuǎn)地點(diǎn)啟動(dòng)星載發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火加速，使衛(wèi)星逐步調(diào)整至同步圓軌道3運(yùn)行。相反，對(duì)返回式衛(wèi)星(或飛船)在

16、回收時(shí)，應(yīng)在遠(yuǎn)地點(diǎn)b和近地點(diǎn)a分別使衛(wèi)星(或飛船)減速，使衛(wèi)星從高軌道進(jìn)入橢圓軌道，再回到近地軌道，最后進(jìn)入大氣層，落回地面。試比較下列速度：衛(wèi)星在近地軌道上的繞行速度v1，衛(wèi)星在橢圓軌道近地點(diǎn)的速度v2，衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的速度v3，衛(wèi)星在同步軌道上的繞行速度v4：據(jù)v可知，圓軌道半徑越大，繞行速度越小，故v1v4；衛(wèi)星在a點(diǎn)要點(diǎn)火加速，故v2v1；橢圓軌道上近地點(diǎn)速度要大于遠(yuǎn)地點(diǎn)速度，故v2v3；衛(wèi)星在b點(diǎn)要點(diǎn)火加速，故v4v3。綜上所述有v2v1v4v3。5. 雙星和多星系統(tǒng)宇宙中的那些相距較近，質(zhì)量可以比擬的兩顆星球，它們離其他星球較遠(yuǎn)，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可忽略。在這種情況下，它們將各自圍繞其連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這種結(jié)構(gòu)稱為雙星。（1）雙星系統(tǒng)中的兩顆星球及其固定點(diǎn)共線，只受相互間的萬有引力，它們運(yùn)轉(zhuǎn)的角速度和周期相同。（2）固定點(diǎn)離質(zhì)量大的星球較近。如圖，設(shè)雙星繞固定點(diǎn)O運(yùn)轉(zhuǎn)，雙星間距為L，雙星的質(zhì)量分別是m1和m2，它們到固定點(diǎn)的距離分別是r1和r2，由于雙星運(yùn)轉(zhuǎn)的角速度相同，由Fm2r得r即 又r1r2