同濟(jì)大學(xué)---高數(shù)上冊知識(shí)點(diǎn)

1、高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)要點(diǎn)、函數(shù)與極限(一)函數(shù)1 1、 函數(shù)定義及性質(zhì)(有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性)；2 2、 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3 3、 初等函數(shù)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù);4 4、 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；函數(shù)f (x)在Xo 連續(xù) lim f (x)f (Xo)x xo第一類：左右極限均存在. .I 第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在.無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、理及其推論. .極限定義數(shù)列極限函數(shù)極限間斷點(diǎn) A可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)零點(diǎn)定理、介值定lim Xnan0,lim f (X) AX Xo0,0,x,

2、當(dāng) oX Xo時(shí)，f(x) A左極限：f(Xo)limX Xof(x)右極限:f (Xo)lim f (x)X Xolim f (x) A 存在X Xof (Xo)f (Xo)2 2、極限存在準(zhǔn)則1 1 )夾逼準(zhǔn)則：1 1 )y XnZn( n no廠 I A2)lim y lim znalim xna厶丿nnn2)2)單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限. .3 3、無窮小(大)量1)1)定義：若lim0則稱為無窮小量；若lim則稱為無窮大量. .2)2)無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮小、k階無窮小Th1Th10()；,lim 存在，則 lim lim(無窮小代換)求極限的方法單

3、調(diào)有界準(zhǔn)則;夾逼準(zhǔn)則;極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性;兩個(gè)重要極限:Th2Th2sin xa)a) 1b)b)1lim (1 x)xx 0lim (1丄)xexxa)a)無窮小代換：(x x 0 0)x sin xtan xarcsinxd)d)ln(1 x)xxg(1 x)花)b)b)1 cosx1x22c c(a 1xlna)e)e)(1 x) 1 x導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)函數(shù)f（X）在Xo點(diǎn)可導(dǎo)f （Xo） f （Xo）幾何意義：f （Xo）為曲線y f （x）在點(diǎn)Xo, f （Xo）處的切線的斜率. .可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系: 求導(dǎo)的方法1 1） 導(dǎo)數(shù)定義；2 2） 基本公式；3 3） 四則運(yùn)算；4

4、 4） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）；5 5） 隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)；6 6） 參數(shù)方程求導(dǎo)；7 7） 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法. .5 5、高階導(dǎo)數(shù)定義：f（xo）limf(x)f(Xo)X左導(dǎo)數(shù):f（X。）XoX xolimf(x) f(Xo)X Xo右導(dǎo)數(shù):f (Xo)x Xo佃f(x) f(xo)X Xox Xod2y d dy1)定義：dx2dx dx三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)中值定理1 1、RolleRolle 羅爾定理：若函數(shù)f (x)滿足:1 1)f(x)Ca,b；2 2)f(x)D(a,b)；3 3)f(a) f(b)；則(a,b),使 f ( )0. .2 2、LagraLagra ngen

5、ge拉格朗日中值定理*:若函數(shù)f (x)滿足：1 1)f(x)Ca,b；2 2)f (x)D(a,b)；貝 S(a,b),使 f(b) f(a)f ( )(b a). .3 3、CauchyCauchy 柯西 中值定理：若函數(shù)f(X),F(X)滿足:1 1)f(x),F(x) Ca,b； 2 2)f(x),F(x) D(a,b)；)F (x)0,x (a,b)(時(shí)使加1(二) 洛必達(dá)法則(三) TaylorTaylor 公式(四) 單調(diào)性及極值LeibnizLeibniz 公式:uv(n)cnwk)(二)微分i i)定義：y f(x。x)f(Xo) A x o( x)，其中A與x無關(guān). .2

6、2)可微與可導(dǎo)的關(guān)系：可微可導(dǎo)，且dy f(X。)x f (xo)dx1 1、單調(diào)性判別法：f(x) Ca, b，f (x) D(a,b)，則若f (x) 0，則f(x)單調(diào)增加；則若f (x)0，則f(x)單調(diào)減少. .2 2、極值及其判定定理：a)a)必要條件：f (x)在X。可導(dǎo)，若X。為f (x)的極值點(diǎn)，貝 S f f (x(xo) ) 0.0.b)b) 第一充分條件：f(x)在xo的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且 f(xf(x) ) 0 0，則若當(dāng)x xo時(shí)，f f(X)0(X)0，當(dāng)x Xo時(shí)，f(X)0,則X。為極大值點(diǎn)；若當(dāng)x Xo時(shí)，f f (x)(x) 0 0,當(dāng)x Xo時(shí)，f (x)

7、0,則Xo為極小值點(diǎn)；若在Xo的 兩側(cè)f(X)不變號(hào)，則X。不是極值點(diǎn). .C)C)第二充分條件：f (X)在xo處二階可導(dǎo)，且 f f (X(Xo) ) 0 0 ,f (Xo) 0，則 若f(X。)0，則Xo為極大值點(diǎn)；若f(X。)0，則xo為極小值點(diǎn). .3 3、凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)X X1X X2 2 f f (x(x1) ) f f (x(x2) )1 1 ) f(x)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若 X Xi,X,X2I,I,七-，則稱 f(x)f(x)在” X-X-!x x2f f (x(x1) ) f f (x(x2) )區(qū)間I上的圖形是凹的；若 X Xi,X,X2I,I, f(f(2

8、-，則稱 f f (X)(X)在區(qū)間I上的圖形是凸的. .2)2)判定定理：f(x)f(x)在a,ba,b上連續(xù)，在(a,b)(a,b)上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則a)a) 若x (a,b), f (x)0, ,則 f(x)f(x)在a,ba,b上的圖形是凹的；b)b) 若x (a,b), f (x)0, ,則 f f (x)(x)在a,ba,b上的圖形是凸的. .3)3)拐點(diǎn)： 設(shè) y y f f (x)(x)在區(qū)間|上連續(xù)，xo是 f f (x)(x)的內(nèi)點(diǎn)， 如果曲線 y y f(x)f(x)經(jīng) 過點(diǎn)(Xo, f (Xo)時(shí)，曲線的凹凸性改變了，則稱點(diǎn)(Xo, f(Xo)為曲線的拐點(diǎn). .(五

9、)不等式證明1 1、利用微分中值定理；2 2、利用函數(shù)單調(diào)性；3 3 、 利用極值(最值) . .(六)方程根的討論1 1 、 連續(xù)函數(shù)的介值定理；2 2 、 RolleRolle 定理；3 3 、 函數(shù)的單調(diào)性；4 4 、 極值、最值；5 5、 凹凸性 . .(七)漸近線1 1、 鉛直漸近線：lim f(x)，則x a為一條鉛直漸近線；xa2 2、 水平漸近線：龍口f(X)b，則 y y b b 為一條水平漸近線；四、 不定積分(一) 概念和性質(zhì)1 1 、 原函數(shù)：在區(qū)間I上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F (x) f(x)，則F(x)稱為f (x)的一個(gè)原函數(shù). .2 2、不定積分：在區(qū)間|上，

10、函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為f(x)在區(qū) 間I上的不定積分. .3 3 、 基本積分表( P188P188 ， 1313 個(gè)公式)；4 4 、 性質(zhì)(線性性) . .) 換元積分法1 1、 第一類換元法(湊微分)：f (x) (x)dx f(u)duu (x)2 2、第二類換元法(變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等)：f (x)dxf (t)(t)dtt1(x)(三)分部積分法：udvuvvdu(反對(duì)幕指三，前U后 v v (四)有理函數(shù)積分1 1、“拆”；2 2、變量代換(三角代換、 倒代換、根式代換等). .五、定積分(一)概念與性質(zhì):nlim0f(i) Xii 12 2、性

11、質(zhì)：(7 7 條)性質(zhì) 7 7 (積分中值定理)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，則a,ba,b，使bf (x)dx f ( )(b a)a(平均值：f()bf(x)dxab a(二)微積分基本公式(N N L L 公式)x1 1、 變上限積分：設(shè)(x) f(t)dt，貝y (x) f (x)ad(x)推廣：丁()f(t)dt f (x)(x) f (x)(x)dx(x)b2 2、N N L L 公式：若F(x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù)，貝 Saf(x)dxaF(b) F(a)定義:bf (x)dxa（三）換元法和分部積分1 1、 換元法：bf (x)dxfa(t) (t)dtb2 2、分部積分法：audvbbuvavduaa（四）反常積分1 1、 無窮積分f (x)dxatlimf (x)dxtabf (x)d