探討定積分不等式的證明方法

1、v1.0可編輯可修改探討定積分不等式的證明方法摘要：文章針對(duì)被積函數(shù)的特性，給出了幾種關(guān)于定積分不等式的有效 證明方法。關(guān)鍵詞：定積分不等式證法不等式的證明在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中很常見(jiàn)，但關(guān)于定積分不等式的證明 卻一直是一個(gè)難點(diǎn)。要證明定積分不等式，首先要看被積函數(shù)，其性質(zhì)確定 證明方法。本文根據(jù)被積函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等分別給出幾種證 法。1. 運(yùn)用定積分中值定理證明定積分中值定理是將定積分轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上某點(diǎn)的函數(shù)值與該區(qū)間長(zhǎng)度的乘積，即將定積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)證明不等式。例1:設(shè)f(X)在0,1上連續(xù)且單調(diào)不增,a證明 a 0,1有 0 f (x)dx1a 0 f (x)dx.a

2、證明：由原不等式變形得0 f (x)dx aa(0 f(x)dx10f (x)dx),a1即是要證：(1 a)0 f(x)dx a0f(x)dx,(1故由定積分中值定理知：10, a 使aa)0 f (x)dxa(1a)f( 1),冋理對(duì)右式：21a,使a0f(x)dx a(1 a)f( 2),顯然，1 f (2)a1故原不等式0 f (x)dx a 0 f (x)dx成立.定積分中值定理的運(yùn)用直觀易懂，它的條件也極其簡(jiǎn)單，易于掌握。2. 運(yùn)用輔助函數(shù)證明構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)證明不等式，首先是做函數(shù)將要證結(jié)論中的積分上限(下限)換成x，移項(xiàng)使不等式的一邊為零，另一邊的表達(dá)式即是輔助函數(shù)。然后再

3、求F (x)，并運(yùn)用單調(diào)性及區(qū)間端點(diǎn)值特性證明不等式。例2:設(shè)f(x)在a，b上連續(xù)，且f (x) 0.bb 1試證：af(x)叭帀dX(b a)2證明：構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)xf(t)dt a亠a f(t)(x (將b換成x)， x 1則 F(x) f(x)afdt=輕t-a f(t)=嚴(yán)-a f(t)1皿t a f (x) 空 2)dt f(x)xf (t)dt 2(xax2dtaa)7.xz、c .f (t) f(X) O,. f(t) f (x)又a0,證明(b a) f (a) bf(x)dx (b a)f(a) f(b)ab證明：先證左不等號(hào)：(b a) f (a) a , f(x)

4、單調(diào)增加，所以 f(x) f(a)b故 a f (x)dx (b a)f(a) ( 1)a再證右不等號(hào)：:f(x)dx0,所以 f(t) f(x) f(x)(t x),b,ta分別代入上式并相加得:f(a)f (b) 2f (x) (a b)f(x)2xf (x)，將此式在a,b上積分得:f (a)f(b) (b a)b 2 a f (x)dx (abb)(x)dxb2 aXf (x)dx ,有 2 f (a) f (b)( bba) 4 f (x)dx,ab故 f(x)dx (baafV ( 2)綜合(1)、(2),原不等式得證.Taylor公式的應(yīng)用在大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)絕對(duì)的難點(diǎn)，往往

5、很難掌 握。一個(gè)題目在你用其他方式很難解決時(shí)， Taylor公式常會(huì)給你意想不到的 突破。6.運(yùn)用柯西一斯瓦茲不等式證明柯西一斯瓦茲不等式:例7:設(shè)f(x)在0,1上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且f(1) f (0)1 ,1 2試證：0f(x)2dx 1.證明： f(1)1f(0)0 f(x)dx ,又 f(1)f(0)11，所以 0f(x)dx 1,因 f (x)在0,1上可導(dǎo),所以f(x)在0,1上連續(xù),由柯西一斯瓦茲不等式得:0dx0f(x)2dx1 2(0f(x)dx)21 ,即是 0f(x)2dx 1.柯西一斯瓦茲不等式是大學(xué)數(shù)學(xué)中的又一難點(diǎn)，雖然記憶起來(lái)并不困難, 但應(yīng)用是靈活多變的。7.運(yùn)用重

6、積分證明重積分要化為定積分來(lái)計(jì)算，這是眾所周知的事實(shí)，但反之定積分的乘 積往往又可以化為重積分，將定積分不等式的證明化為重積分不等式來(lái)證明, 也是一種常見(jiàn)的方法。設(shè)f(x)是在0 , 1上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),試證:13xf3(x)dx012xf20(x)dx1 3f3(x)dx01 20f2(x)dx證明:1 31 21 312xf 3(x)dx f 2(x)dx f 3(x)dx xf 2(x)dx0000xf3(x)f 2(y)dxdy f 3(x) f 2(y)ydxdyDf 3(x)f 2(y)(x y)dxdy .( 1)D同樣1f2(x)f3(y)(y x)dxdy .( 2)D(1)+（ 2）可得2I (x y)f2(x)f3(y)(f(x)Df(y)dxdy,由于f(x)在0 ,1上單調(diào)增加，故（X y）（ f （x）f(y) 0,.I0，從而1xf 3(x)dx 10 / 0f 2(x)dxf3(x)dx；xf 2(x)dx1 3f3(x)dx01013xf3(x)dx一 0即 1